2020-2021学年高中数学新教材第一册学案：3. 2 .1 单调性与最大（小）值

【新教材】3.2.1单调性与最大（小）值

r人救A版）

学习目标

1、理解增舀教、减法教的概念及法教单调性的定义;

2、会根据单调定义证明函教单调性；

3、理解函教的最大（小）值及其几何意义；

4、学会运用函教图象理解和研究函教的性质。

重点难点

重点：1、函数单调性的定义及单调性到新和证明；

2、利用函教单调性或图像求最值.

难点:根据定义证明函教单调性.

学习过程

-、预习导入

阅读课本76—80页,填写。

1.增收教、臧函教的定义

增函数减函数

一般地，设函数火%）的定义域为/:如果对于定义域/内某个区间

D上的_____两个自变量的值片,%2,当X1<X2时，都有

定

火光1）_______人%2）火修）____y（%2）

义

那么就说函数火%）在区间。上那么就说函数火%）在区间。

是增函数上是减函数

图

象函数火%）在区间。上的图象是函数火%）在区间。上的图象

特_____的是_____的

在L，

\1_____________y[\___

㈣曲）

图I'

/仅2）

示於1）1111

1111

1111

______1______________|_a______I______|_____»

0Xix2X0Xix2X

2、单调性与单调区间

如枭法教y=f（x）在区间D上是增收教或减法教,那么就说函教

y=f（X）在这一区间上具有（严格的）,区间D叫做y二

f（xj的.

［点睛，一个舀教出现两个或者两个以上的单调区间时，不能

用“U”连接，而应该用连接.如舀教y二工在C-oo,

X

0）,（0,+8）上单调的减，却不能表述为：函教y=L在（-8,

JC

0JU（0,+8）上单调的减、

3、法教的最大（小）值

最大值最小值

一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果—实

数M满足：对于—的xG/,都有

条件

於)—Mf(x)._M

存在x°G/,使得_________

称M是函数y=/（x）

结论称M是函数y=/（x）的最小值

的最大值

几何Ax溷象上最—点

1/（X）图象上最—点的纵坐标

意义的纵坐标

•卜试牛刀

1,到新（正确的打y”,错凝的打“X”）

（1）所有的函教左其定义域上都具有单调性.（）

（2）在增法教与减法教的定义中，可以把“任意两个《变量”改

为“存在两个自变量()

C3J任何函教都有最大值或最小值.()

(4J法教的最小值一定比最大值小.()

2o函教的图象如图所示，其增区间是()

y

-4-3O14x

A.f-4,4JB.[-4,-3],[1,4]

C.f-3,ljD、[-3,4J

3,法教y=/(x)在1-2,2]上的图象如图所示，则此法教的最

小值、最大值分别是()

1

A1OBO2C2D-2

Z•2

4,下列函教应¥)中，满足对任意Xl,X2€CO,+00),当X1VX2

时,都有/(为)>/(工2)的是()

A.f(x)=x2B./⑴二错误！

C.f(x)=\x\D.f(x)=2x+1

5.函教/(x)=错误!12,4，则/(x)的最大值为;最

小值为_________

自主探究

题型一利用图象确定函数的单调区间

例1求下列法教的单调区间，并指出其在单调区间上是增收教

还是减函教：

⑴产3x—2;(2)户-%

跟踪训练一

i.已知x€R,函数f(xj=x|x—2|,我画出y=f(xj的图象，并

结合图象写出函数的单调区间。

题型二利用舀数的图象求舀数的景值

例2已知函教y二一|x-l|+2,画出函数的图象，确定函教的最

值情况，并写出值域.

艰踪训练二

1.已知法教f(x)=fx)0<x<1>

(x,1<x<2.

(U画出fCxJ的图象；

(2)利用图象写出该舀教的最大值和最小值。

题型三证明舀数的单调性

例3求证:函数f(x)=x+L在区间(0,1)内为减函数.

跟踪训练三

lo求证：函数f(x)二上在CO,+8)上是减法教，在(一8,

X

0)上是增收教.

题型印利用的数的单调性求索值

例4已知改数f(x)=x+

ri)到新f(X)在区间n,刀上的单调性；

(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间［1,2］上的最值.

跟踪洌练回

1.已知法教f(x)Cx€［2,6］J求函数的最大值和最小值.

题型五曲数单调性的应用

例5已知函教f(x)在区间(0,+8)上是减法教，试比较f(a2—a+1)

与fg］的大小。

跟踪训练五

lo已知g(x)是定义在［-2,2］上的增函数，且gftj>gCl-3t),

求t的取值范围。

题型六单调性录值的实际应用

例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它

达到最高点时爆裂.如枭烟花距地面的高度h(单位：mJ与时间

tr单住:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后

什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精

确到ImJ?

艰踪训练共

lo禁租赁公司拥有潞车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，

可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会

增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每

辆每月需要维护费50元。

(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆？

(2J当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最

大月收益是多少？

当堂检测

L/G)对任意两个不相等的实教m仇总有与普＞。，则必有()

A、函教/(%)先增后臧B.函教/(%)先减后增

C.函教/(x)是R上的增函教D,函教/(%)是R上的减函

教

2o已知函数凡¥)=-％2+4x+。，f0,1J,若/(x)的最小

值为-2,则/G)的最大值为()

A、-1B.0

C.1D.2

3.已知函数/。)=4%2-h-8在区间(5,20)上既没有最大值也

没有最小值，则实教上的取值范囹是()

A、f160,+co)B.(-oo,40J

C.(-00,40]u[160,+00JD.(-00,20]u

f80,+co)

4o若函数y=于(x)的定义域为R,且为增函教，f(1-a)</

(2a-l),则〃的取值范围是。

5.f(x)是定义在fO,+8)上的减函教，则不等式f(x)<f

(-2x+8)的解集是____________.

6.证明函数f(x)=M在定义域上为减函教。

7o有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是来)围

成一个矩形花圃，设该花圃宽45为x米，面.因运冷来，

(1J求出y关于x的法教解析式，并指出x溜虱值二百;

(2)当花圃一边A6为多少米时，花圃面积最大？并求出这

个最大面积？

小试牛刀

E(UX(2)XC3JX(4)V

24CCB

3.1错误!

4主探究

例1【答案】见解析

【解析】(1)函教y=3x—2的单调区间为R,其在R上是增收教.

(2)函数y=-的单调区间为(一8,0),fO,+oo),其在(-8,0)及

X

(0,+8)上均为增强教.

跟踪洌练一

【答去】单调增区间为(-8,1],f2,+8)；单调减区间为[1,2]

【解析】f(xj=x|x—2|=愣一式/图象如下图所示。

乙A.JtA乙,

由图象可知，法教的单调增区间为C-OO,1J,[2,+8)；单调减

区间为n,2jo

例2【答去】最大值为2,没有最小值。所以其1岁闲之,2]

【解析】y=—Ix-l|+2=｛二黑盘函教图象如图所

由图象知通教y=-|x—l|+2的最大值为2,没有最小值。所以其

值域为(—8,2]

跟踪洌练二

【答案】(1)见解析(2J最小值为f(1)=1,无最大值

【解析】(U函教f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值。

例3

【答案】见解析

【解析】证明：设阳，12是区间(0,1)内的任意两个实数，且为＜%2,

则加)/02)=3+力-3+3

=(X1—X2)+盘=GN2)(L/)

=(%1•2)(%1%2-1)

%1%2.

:0<¥1<X2<1,.*.XlX2>0,%1%2-1<0,%1--X2<0,.*./(Xl)—Ax2j>0,

即人刈)＞八12)。

故函数f(x)=x+］在区间CO,1J内为减函教。

跟踪训练三

【答案】见解析

【解析】对于任意的Xi,X2€(-OO,0),且X1<X2,有f(xD

1

-f(X2)~2-错误！=错误！=错误!。

X»1

\*X1<X2<0,

.•.X2~Xl>0,Xl+X2<0,X/X错误！>0。

/.f(Xl)-f(X2)<o,即f(x>vf(X2).

...法数f(x)=(一8,0J上是增收教.

对于任意的X1,X2€(0,+8),且X1VX2,有

f(X1J-f(X2J=错误!。

*/0<XI<X2,/.X2-XI>0,X2+X1>0,X错误!X错误！>0.

f(xi)-f(X2)>0,即f(xi)>f(X2),

函教f(x)=错误!在CO,+8)上是减法教.

例4【答案】见解析

【解析】(1)设不，尬是区间n,2j上的任意两个实教，且

Xl<X2,

44

则即於2)』%2十五

K2

(勺-K2)(%1久2-4)

=(%1-%2)

巧久2

"Xl<X2,.,.Xl-X2<0.1&X1<X2<2时,X1X2>O,1<X1%2<4,

即X\X2—4<0o

即在区间［1,2］上是减函教。

(2)由(1)知的最小值为/(2),/(2)=2+=4次X)的

最大值为人1).

•/(1)=1+4=5,.：/(x)的最小值为4,最大值为5.

艰跺训练0

【答案】见解析

【解析】设Xi,X2是区间［2,6］上的任意两个实教，且X1VX2,

则ffxi)-f(X2)=错误！一错误！=错误！=错误!.

由2&X1VX246,得X2-X1>0,(XI-1)fX2-1J>0,于是f

fxi)-f(x2J>0,即f(Xi)>f(x2).所以法教f(x)=错误!是

区间［2,6］上的减函数.

因此，函教f(x)=错误!在区间［2,6_7的两个端点处分别取得最大

值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2,在x=6时

取得最小值，最小值是0。4o

例5

【答去】f(I)>f(a2—a+ljo

【解析】•//—a+l*一岁+|二

与a?—a+l都是区间(0,+8)上的值.

•..fCxJ在区间(0,+8)上是减函教，

/.f(|)>f(a2—a+1).

艰踪训练五

【答案】t的取值范围为G』。

【解析】Vg(x)是［-2,2］上的增困数,且gCt)>g(l—3tJ,

(-2WtW2,

•・J—2Wl—3tW2,

lt>1-3t,

’-2WtW2,

即-三twi,

卜>3'

/.i<t<lo/.t的取值范囹为61］.

例6

【答嗓】t的取值范围为&1］。

【解析】画出函数hCtJ=—4。9?+14.7t+18的图象(图3.2—4).

显然，曲教图象的顶点就是烟花

上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，

纨生林就是这时距地面的高度。

由二次函数的知识，对于函数/1(，)=一4.9r十14.〃+18,我们有:

147

当1=一"二0尸.5时,函数有最大值

乙ZX\J)

4X(—4.9)X18-14.7?

-29.

4X(-4.9)

于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.

跟踪洌练去

【答嗓】见解析

【解析】(1)当每辆车的月租金为3600元时，

未租出