八年级寒假班-04-函数的复习-教师版

八年级寒假班

初二数学寒假班（学生版）

教师日期

学生

课程编号课型新课

课题函数的复习

教学目标

1.熟悉正反比例及一次函数的概念和性质

2.能利用函数的性质解决相应的问题即求角或者边之间的关系

3.能够运动数形结合的思想解决几何背景下的函数问题.

教学重点

1.熟练的运用函数的性质

2.运用一次函数模型解决实际问题.

3.运用一次函数的图像与性质求解初步几何问题.

教学安排

版块时长

1正反比例函数20min

2一次函数30min

3函数的综合50min

4作业20min

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函数的复习

知识结构

模块一：正反比例函数

知识精讲

1、正比例函数：y=kx（存0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；人＞0时，随着x

的逐渐增大，函数值y的值越来越大；M0时，随着x的逐渐增大，函数值y的值越来

越小.

2、反比例函数：-（际0）,图像是双曲线，与坐标轴无交点；A0时，在每一象限内,

X

随着x的逐渐增大，函数值y的值越来越小；％V0时，在每一象限内，随着x的逐渐增

大，函数值y的值越来越大.

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例题解析

【例1】（1）正方形的周长C与正方形的对角线长a正比例（填“成”或“不成”）；

（2）已知正比例函数的自变量x减少2时，对应函数的值增加3,则这个函数的解析式

为.

【难度】★

3

【答案】⑴成；（2）=

2

/y「4x—ci

【解析】（1）正方形的对角线长为a,则正方形的边长为卫，则'=—==2痣，

2aa

为一定值，所以成正比例.

3

（2）设.二履,则由题意，口J得：y+3=k（x—2）,解得:k=—,

从而可得这个函数的解析式为夕=-,》.

【总结】考察正比例的定义和正比例函数解析式的求法.

【例2】（1）如果产6+2上+x是正比例函数，求上的值；

（2）如果y=（，"-l）x"jm+3是反比例函数，求加的值.

【难度】★

【答案】（1）0；（2）4.

【解析】（1）因为是正比例函数，所以2A=0,解得：k=0；

（2）因为函数是反比例函数，

所以可得，，，..机=4.

|加一1二0

【总结】考察正比例函数和反比例函数的定义，注意比例系数要不为零.

【例3】（1）正比例函数>>=（"/-吟经过第象限，y随X增大而

（2）反比例函数y=（小一⑼X"、"川经过第象限，在同一象限内，丁随

X增大而.

【难度】★

【答案】（1）一、三，增大：（2）一、三，减小.

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【解析】⑴因为是正比例函数，所以可得收一.+1=1,解得：机=3,

函数解析式为y=6x,图像过一、三象限，夕随x的增大而增大；

(2)因为是反比例函数，所以可得[1一.+1=-1,解得：m=2,

[m~一加w0

2

・•・函数解析式为y=图像过一、三象限，V随X的增大而减小.

x

【总结】考察正、反比例函数的概念和性质，注意比例系数不为零.

【例4】已知正比例函数尸hx,函数值y随着x的增大而减小，反比例函数尸4的＜0),

X

它们在同一直角坐标系中的图象大致是().

【难度】★

【答案】A

【解析】由题意可知：正比例函数在二、四象限；反比例函数在二、四象限，故选A.

【总结】考察正、反比例函数的图像及性质.

【例5】(1)已知歹=%+8，且必与x成正比例，%与x+3成正比例，当k1时，y=-l,

当x=3时，y=9,求x=5时，y的值；

(2)已知了与x成反比例关系，且x=2时，y=-3a；当x=a+l时，y=6.求y与x之间

的函数解析式.

【难度】★★

T.

【答案】⑴19；(2)y=士.

x

【解析】(1)设外=〃a，y2=n(x+3),则y=(/W+N)X+3〃，

Jm+n+3n=-1解得：＜7,；.y=5x-6

由题意可得:

[3（w+〃）+3〃=9n=-2

二当x=5时，y=19；

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k

t-=-3Q1

⑵设y=。,则可得:2,，；♦"=一5

XK_r1,

【总结】本题一反面考察了复合函数解析式的确定，另一方面考查了反比例函数的概念.

【例6】已知正比例函数的图像上一点尸的横坐标是2,作PDL轴(0是坐标原点，。是

垂足)，A0P。的面积是6,求这个正比例函数的解析式.

【难度】★★

【答案】夕=3X或了=-3》.

【解析】由题意可得：；0PPD=6,0P=2,则尸。=6,P(2,6)或P(2,-6)

则正比例函数的解析式为y=3x或y=-3x

【总结】考察正比例函数解析式的求法，注意长度转成点坐标需要注意正负.

【例7】已知如图，点48是反比例函数y=3图像上的点，分别经过小8两点向x轴、y

X

轴做垂线段，若胸影=1,则[+S2=(s-S?指的是空白矩形的面积).

【难度】★★

【答案】4

【解析】TS]+S阴影=3,S2+S阴影=3，S阴影=1，

,5\=2,52=2,；・$+S2=4.

【总结】考察反比例函数的面积问题.过反比例函数y=«

X

上任意一点作x轴、y轴的垂线，构成的矩形的面积为闷.

【例8】已知”(0,4)、8(6,4)、C(6,0)三点，经过原点的一条直线把矩形O48C

的面积分成1:2两部分，求这条直线的函数解析式.

【难度】★★

【答案】y=x或y=gx.

【解析】矩形ON8C的面积为24,因为直线将矩形分成1:2两部分，则其中较小部分的面

积为8.当经过原点的一条直线与AB相交时，其交点为。，则、4x=8,则/£>=4,

2

/.£)(4,4),此时正比例函数解析式为夕=x；

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当经过原点的一条直线与C8相交时，其交点为E,则2x6xCE=8,则CE=g,

23

此时正比例函数解析式为y

【总结】考察面积的处理方法和正比例函数解析式的求法，注意分类讨论.

【例9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点4的坐标为（1,0）,在直线y=上

取一点P，使得AO/尸是等腰三角形，求所有满足条件的点尸的坐标.

【难度】★★★

【答案】当或尸「叵」］或尸（-也」］或尸艮遮.

126）（22）［22）（22）

【解析】当OP=ZP时，尸点在。1的线段垂直平分线上，则P点的横坐标为,，

2

代入函数解析式可得纵坐标为——•,pj-,——

当。f=。力时，

6\26,3

22J122J

当NP=OZ时，设尸n,—n

3

尸（0,0）或哈用

,其中与原点重合舍去.

或卑）

综上所述,满足题意的点坐标为P

【例10］已知如图，矩形。18c的顶点5（加，2）在正比例函数y=的图像上，点/在

X轴上，点。在y轴上，反比例函数的图像过边上点M,与力5边交于点N,且

BM=3CM,求此反比例函数的解析式及点N的坐标.

【难度】★★★

【答案】y=~~1

【解析】YB（机，2）在正比例函数夕=；x的图像上，...加=4.

,;BM=3CM,:.BM=3,CM=1,二例（1,2）,

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...反比例函数的解析式为y=^,：.N（4,g）.

【总结】考察反比例函数的解析式的求法和点坐标的求法.

【例11】正比例函数、=%/的图像与反比例函数、=%的图像相交于点/、B（如图），

X

点/在第一象限，且点/的横坐标为1,作NOLx轴，垂足为。点，=1.

（1）求点A的坐标；

（2）求这两个函数的解析式；

（3）如果AO/C是以0/为腰的等腰三角形，且点C在x轴上，求点C的坐标.

【难度】★★★y1

【答案】见解析.|\/

【解析】（1）由题可知，点/坐标为：/（1,2）：

（2）反比例函数解析式为夕=2；正比例函数解析式为尸2x；710

（3）当。4=0C时，0力="，则c（VLo）或c（-VLo）,/\|

当O/=4C时，由等腰三角形三线合一性质可得：OD=DC=\,AC（2,0）

综上所述：C（Go）或。卜石，0）或C（2,0）.

【总结】考察正反比例函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论.

【例12］如图所示，已知正方形/8C。的边长是3厘米，动点P从点8出发，沿BCDA方

向运动至点/停止.点夕的运动的路程为x厘米，A/8尸的面积为y平方厘米.

（1）当点尸在8c上运动时，求y关于x的解析式及定义域；

（2）当点尸在CL•上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；

（3）当x取何值时，A/8尸的面积为1.5平方厘米？----------------f

【难度】★★★【答案】见解析.

【解析】（1）当点尸在8c上运动时，PB=x（0<x<3）

y=—xABxBP=—x（0<x<3）；

(2)当点尸在CO上运动时，BC+CP=x,

/.y=」xABxBC--(34x46)；

22

(3)—xABxh=\.5,.*./?=1

2

当尸在BC边上时，x=l；当尸在。“边上时，x=8.

A

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模块二：一次函数

知识精讲

1.函数的概念和图像及性质

(1)定义：解析式形如y=Ax+b/=0)的函数叫做一次函数.

(2)一次函数的图象满足：

①形状是一条直线；②始终经过(0,b)和(-2,0)两点；

k

(3)定义：直线y=+6/片0)与y轴的交点坐标是(0,6),截距是6；

(4)一次函数卜=h+6口工0),当%>0时、函数值y随自变量x的值增大而增大；当k<0

时，函数值y随自变量x的值增大而减小.

2.函数的应用

(1)实际问题；

(2)数形结合类.

(B例题解析

【例13](1)已知一次函数y=fcr+6,当x=-3时，尸1；当尸2时，y=-6,求这个一次函

数的解析式；

(2)已知一次函数y=f(x),且/(-I)=-3,/(I)=1,求函数/(x)的解析式.

【难度】★

【答案】⑴=；(2)f(x)=2x-l.

f_弘+/)=]k=—

【解析】(1)由题意可得：，解得：2，

12%+6=-6b^--

.~~T

则一次函数解析式为y=

(2)设f(x)=kx+b,

,口h七〜口/一%+6=-3/,力’口\k=2

由题尽可得：\,解得：\，

[k+b=\[6=—1

则一次函数解析式为/(x)=2x-l.

【总结】考察利用待定系数法求一次函数解析式的求解析式.

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【例14](1)若一次函数严发(1-x)+3的图像在y轴上的截距是-5,求这个函数解析式;

(2)若一次函数y=(2-")x+(4-/)的图像经过原点，求女的值.

【难度】★

【答案】(I)y=-8x—5：(2)k=-2.

【解析】(1)若一次函数严4(1-x)+3的截距为&+3=-5,则&=-8,

所以这个函数的解析式为y=-8x-5

(2)•.•图像过原点，

4一〃2=。且2-4工0,/.k=-2

【总结】考察一次函数的截距等概念.

【例15](1)若直线产丘+6与直线y=-2x+4无交点，且直线受履+6与x轴的交点是

(3,0),求此函数解析式；

(2)己知一次函数的图像经过点(1,-2)、(-2,I).求这个一次函数的解析式.

【难度】★

【答案】(1)y=-2x+6；(2)y=-x-\.

【解析】(I)直线尸Ax+b与直线尸-2x+4无交点，

.■♦直线尸fcv+6与直线产-2x+4平行，.％=-2,故解析式为y=-2x+b,

直线广丘+6与x轴的交点是(3,0),6=6,

函数解析式为y=-2x+6；

(2)y=kx+b,

由题意可得：了]，解得：则一次函数解析式为y=-x-l.

【总结】考察一次函数解析式的求法，注意两直线的位置关系与左和人的关系.

【例16](1)若把函数、=-!》的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位，求平移

后的函数解析式：

(2)若一次函数的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的函数解析式是

y=--x,求平移前的函数解析式.

3

【难度】★★

【答案】(1)y=——x--；(2)y=——x+—.

-3333

【解析】(1)利用平移规则，可知平移后的函数解析式为：^=-1(x-2)-4=-1x-y；

(2)利用平移规则，可知平移后的函数解析式为：j=--(x+2)+4=--x+—.

333

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【例17】已知直线产履+4经过点尸（1,m）,且平行于直线y=-2x+l,它与x轴相交于点

A,求△。力的面积.

【难度】★★

【答案】2.

【解析】：直线尸tr+4平行于直线厂办+1,k=-2,则y=-2x+4,

则它与x轴相交于点4（2,0）.

♦.,直线y=-2x+4经过点P（1,tn）,：.m=2,尸（1,2）.

二△尸ON的面积为：-xOAxP=-x2x2=2.

2,v2

【总结】考察一次函数的图像性质及与三角形面积的结合.

【例18]已知一次函数y=Ax+6的自变量的取值范围是-24x46,相应的函数值的范围是

-H<y<9,求这个函数的解析式.

【难度】★★

【答案】y=-yX+4Wt=1-x-6.

【解析】当左<0时，则有=9,解得：卜=-g,

W+6=-n[h=i

这个函数解析式为y=-gx+4；

当A>0时，贝情（口+6=T1,解得：M=|,

I6k+b=9[6=-6

这个函数解析式为y=gx-6.

【总结】考察一次函数的性质，注意此类题要有两种情况的分类讨论.

【例19】已知直线/过点（-2,4），且与两坐标轴围成一个等腰三角形，

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）所得三角形的周长及面积.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】设一次函数的解析式为、=履+6,

•.•函数图像与两坐标轴围成一个等腰三角形，A\b\=--,则％=1或-1

k

当A=1时，一次函数为丁=x+6,直线/过点（-2,4）,:・b=6,：.y=x+6

与坐标轴的交点为（0,6）,（-6,0）,此时周长为12+6五，面积为18；

当攵二一1时，一次函数为y=+直线/过点（・2,4）,:•b=2,y=-x+2,

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与坐标轴的交点为(0,2),(2,0),此时周长为4+2拉，面积为2.

【总结】考察一次函数的性质，注意线段长与点坐标之间的转换.

【例20】某中学初二年级准备购买1()只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x(x>3)支水笔作为

奖品.已知/、8两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为

20元，每只水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，Z超市所有商品均打九折销

售，而8超市买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列

的问题：

(1)如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去哪家超市购买更合算？

(2)当％=12时，请设计最省钱的购买方案.

【难度】★★★

【答案】见解析.

【解析】(1)/家超市共付(10x20+10x)x0.9=180+9x(x>3)；

8家超市共付I0X20+10X-30=10X+170(x>3)；

当180+9x=10x+170时，则x=10：当180+9x>10x+190时，则x<10；

当180+9x<10x+190时，则x>10；

所以每只笔袋配10只笔时，A.8两家超市都一样；

每只笔袋配超过10只笔时，选/家超市更合算；

每只笔袋配超过10只但是不少于3只笔时，选8家超市更合算；

(2)当％=12时，即要10支笔袋，配120支笔.

设总费用为从在/超市买a只笔袋，在8超市买只，送了3(10-a)支笔，

则b=0.9x[20a+120-3(10-a)]+20(10-a)

/>=0.7a+281(0<a<10)

故当a=0时，总费用最少，为281元，

因此在B超市买10只笔袋，在A超市买90支水笔是最省钱的购买方案.

【总结】考察一次函数的应用.

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【例21］若直线y=+6过^=3》-5与^=-2x+10的交点4,y=fcv+6与y轴于8,

夕=-2》+10交工轴于（7,若%sc=12,求直线尸y=Ax+6的解析式.

【难度】★★★

【答案】y=2x-2.

【解析】••一=3》-5与卜=-2*+10的交点4为（3,4）,y=H+6与y轴交于点8（0,b）,

y=-2x+10交x轴于点C（5,0）

又：直线了=依+6过”为（3,4）,3k+b=4,

...过4作ZELx轴，垂足为E,

当0<644时，

S^ABC=$四边形“BO£+S2EC-SMe=］义3x0+4）+—x2x4——x5x/>=12,

解得：b=-2（舍去）

当b<0时，设直线/E与BC相交于F

S^ABC=S&AFC+S&BFC

V3左+6=4,k=2,b=—29

...直线解析式为y=2x-2.

【总结】考察面积问题的处理方法，注意分类讨论.

模块三：综合

例题解析

【例22】已知反比例函数了=&”#0）和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图像经过点

（k,5）.

（1）试求反比例函数的解析式；

（2）若点N在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求点力的坐标.

【难度】★★

【答案】（1）V=T；（2）4（3,5）・

【解析】（1）•••一次函数y=2x-l经过点（k,5）,...4=3,...点坐标为（3,5）,

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又因为这个点在反比例函数上，所以反比例函数的解析式为y="；

X

(2)令”=2x-l,解得：Xj=--,x2=3,代入■可得：m=-6,%=5,

x2x

•点Z在第一象限，.•.1(3,5).

【总结】考察反比例解析式的求法和交点坐标的求法.

【例23］如图，一次函数y=fcc+6(%*0)的图像与x轴、y轴分别交于点48两点，且与

反比例函数y='(wHO)的图像在第一象限交于C点，C。垂直于x轴，垂足为。.若

x

OA=OB=OD=\.

(1)求点/、B、。的坐标；

(2)求一次函数和反比例函数的解析式.

【难度】★★

【答案】(1)4(-1,0),1(0,1),1(1,0);

，c、,2

(2)_y=x+1,y=--

x

【解析】(1)'：OA=OB=OD=\,：.J(-1,0),5(0,1),2)(1,0)；

(2)：一次函数〉=履+6(人二0)的图像与x轴、y轴分别交于点/、8两点,

/.J7=X+1；

・.・。在丁=1+1上，Ac(l,2).

；C(l,2)在夕=%上，：,y=~.

XX

【总结】考察反比例函数和一次函数的解析式求法.

【例24］如图，一次函数卜=履+万伏h0)的图像与与反比例函数y=的图像交于/、B

X

两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,

求：(1)一次函数的解析式；(2)A/08的面积.

【难度】★★

【答案】(1)y=-x+2；(2)6.

【解析】(1):点/的横坐标和点8的纵坐标都是-2,

且两点都在反比例函数＞的图像上，

X

：.A(-2,4),5(4,-2)

,/两点都在一次函数y=h+b(%工0)上，

.1一24+b=4.(k=-l

必+6=-2b=2

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一次函数解析式为：y=-x+2；

（2）:一次函数y=-x+l与x轴的交点为（2,0）,

S&AOB=S^OE=—X2x4+yX2x2=6.

【总结】考察反比例函数和•次函数解析式的求法及三角形面积的求法.

【例25】已知点力（加，2m）（其中,心0）在双曲线夕=»上，直线y=Ax+6过点4并且与

X

坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18,求直线的解析式.

【难度】★★

【答案】y=-x+6或y=-4x+12.

【解析】I•点力（加，2加）（其中〃?>0）在双曲线丁=»上，

x

Q

A2m=—,，"？=2或-2,w>0,：.m=2,，/（2,4）

m

•直线严区+6过点/,2左+6=4

•.•直线差船+6与坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18,

方［一.）=18,解得：4=-1或-4

当％=-1时，6=6,直线的解析式为y=-x+6；

当％=-4时，b=12,直线的解析式为y=-4x+12.

【总结】考察反比例函数、一次函数解析式的求法和面积问题的处理方法.

【例26】已知一次函数与反比例函数的图像交于点P（-3,2）、Q（2,-3）.

(1)求这两个函数的函数解析式;

(2)在给定的直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像;

(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?当x为何值时，一•次函数的

值小于反比例函数的值?

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(2)如右图;

(3)当》<-3或0<x<2时，一次函数的值大于反比例函数的值；

当-3<x<0或x>2时，一次函数的值小于反比例函数的值.

【总结】考察反比例函数、一次函数的解析式的求法和函数性质的分析.

【例27】已知一次函数y=(w-2)x+2机-3；

(1)求证：无论m取何实数，函数的图像恒过一定点；

(2)当x在14x42内变化时，y在44y45内变化，求"?的值.

【难度】★★★

【答案】(I)见解析；(2)〃?=3.

【解析】(1)y=w(x+2)-2x-3,当x+2=0,即x=-2时，y=\,

无论加取何实数，函数的图像恒过一定点(-2,1)；

/m—2+2m—3=4

(2)当加一2>0时,解得：机=3；

[2(w-2)+2m-3=5

加一2+2加-3=5

当w-2<0时,二解不等式后不存在这样的m值,

2(/n-2)+2"[-3=4

所以加=3.

【总结】考察解析式图像恒过一定点的条件和一次函数的增减性的运用.

【例28］如图所示，双曲线y=2在第一象限的一支上有一点C(1,5),过点C的直线

X

y=fcr+b(k>0)与x轴交于点/(〃，0)、与y轴交于点艮

(1)求点/的横坐标。与人之间的函数关系式;

(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点。的横坐标是9时，求ACO。的面积.

【难度】★★★

【答案】(I)a=匚;(2)—.

k9

【解析】(1),点C(1,5),A(a,0)在歹=履+6上

I.〃+b=5,ka+b=0,

・_k-5

••Q一,

k

的横坐标是9,且双曲线y=』

(2)x,

分别过点C作CELx轴,过点。作。轴,

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则S2OCD~S四边形区7)/一S2FD~S梯形(石2+S0)CE-S&JFD

=-x54—x8H—x5x1x9x-

219)229

200

=---.

9

【总结】考察反比例函数与一次函数解析式的求法，图中由于△OCE和△OF。的面积相等,

则△OC。的面积与梯形CEFD的面积相等.

随堂检测

【习题1](1%与x成正比例,且x=4时,j=-4,那么y与x之间的函数关系式为；

(2)产1与z成正比例，比例系数为2,z与x-1成正比例，当x=-l时，y=7,那么y

与x的函数关系式为

【难度】★

【答案】(1)y=-x；(2)y=-4x+3.

【解析】(1)由题意可知，函数关系式为：j=-x；

(2)：尹1与z成正比例，比例系数为2,

，歹+1=2z；

Vz与x-1成正比例，，设2=人(工一1)，

»+1=2左(1-1)，

当x=-l时,产7,k=-29

/.y=-4x+3.

【总结】考察正比例的定义.

【习题2]已知y是x的函数，八与x-1成正比例，如果这个函数的图象经过点(a,a)(a/0),

【难度】★

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【答案】B

【解析】与x-1成正比例，.•.y=Mx-lX%wO),则此函数为一次函数，且不经过原点,

则选B.

【总结】考察正比例的定义和函数图像的画法.

【习题3】已知产3与x成正比例，且尸2时，y=7.

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)计算x=4时y的值；

(3)计算尸4时x的值.

【难度】★

【答案】(1)y=2x+3；(2)II；(3)-.

2

【解析】(1)设y-3=H,,.,尸2时，y=l,:.k=2,...y=2x+3；

(2)当x=4时，y=ll；

(3)当y=4时，x=；.

【总结】考察正比例的定义，及根据其中一个变量的值求另一个变量的值.

【习题4】已知一次函数的图像交x轴于月(-6,0),交正比例函数的图像于点8,且点5

在第三象限，它的横坐标为-2,A/1O8的面积为6,求正比例函数和一次函数的解析

式.

【难度】★★

【答案】正比例函数：y=x-,一次函数：y=-^x-3.

【解析】：A4O8的面积为6,04=6

：.-x()BD=6,：.BD=2

2

•.•点8在第三象限，它的横坐标为-2,

5(-2,-2)

则正比例函数的解析式为y=x.

设一次函数的解析式为＞=日+6

「6%+6=0一..卜=-；，

l-2k+b=-2『J

一次函数的解析式为y=-；x-3

【总结】考察一次函数的解析式的求法和面积的处理方法.

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A

【习题5】已知函数产上的图象和两条直线尸、产2x在第一象限内分别交于Pi和02两点,

X

过点P］分别作X轴、y轴的垂线P01、PiRi,垂足分别为。、Ri；过点P2分别作X轴、

X

4

・,.一=x,：.x=2,・•・4（2,2）

**,0矩形。0阴］=2x（2+2）=8,0矩形。02P/2=2*（拉+2拉）=6^2

,8<6后,・・。矩形00出曷<C矩形OQ2P述［.

【总结】考察函数交点的求法及几何图形的周长及大小比较.

【习题6】如图，正方形OZAC的面积为9,点。为坐标原点，点8在函数歹=«(左>0,x>0)

x

的图象上，点P(，〃，〃)是函数j，=«(A>0,x>0)的图象上任意一点，边点尸分别作

X

X轴、y轴的垂线.垂足分别为E、F,并设矩形OEPF和正方形0/8C不重合部分的面

积为S.(提示：考虑点尸在点B的左侧或右侧两种情况)

(1)8点的坐标是；k=：)

Q

(2)S=-时，P的坐标是；

2-----------------

C

(3)求出S关于加的函数关系式.

F

【难度】★★

【答案】(1)1(3,3),k=9；(2)(6,3)或(之,6)；

22~0

27

(3)5=9——(加N3)或S=9—3加(0<加<3).

m

【解析】(1)由正方形OZ8C的面积为9,得8(3,3),

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9

...反比例函数的解析式为：y=2；

x

(2)当点P在点8右侧时，

V3xOF=-,：.OF=-,，P的纵坐标为一.

222

：尸点在函数、=^|的图像上，

当点P在点B左侧时，同理可得P点的坐标为(|,6),

综上，点P的坐标为(6，)或(2,6)；

22

(3)\'PCm,n)是函数y=2上，设尸(加，？].

x\m)

o2797

当点尸在点8的右侧时，5,=OFOA=3x-=—,A5=9——(m>3)；

r(mmm

当点P在点8的左侧时，Sl(<=OCOE=3m,5=9-3w(0<w<3).

【总结】考察反比例函数的解析式的求法和面积的处理方法，注意分类讨论.

【习题7】为了更好的治理某个湖水水质，保护环境，治污公司决定购买10台污水处理设

备，现有/、8两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

4型5型

价格(万元/台)ab

处理污水量(吨/月)240200

经调查：购买一台/型设备比购买一台8型设备多2万元，购买2台/型设备比购买

3台8型设备少6万元.

(1)求a、6的值；

(2)经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几

种购买方案？

(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理该湖泊的污水量不低于2040吨，为了节约资

金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】⑴由题意，可得：!a~b=2,解得：?=12;

[2a+6=3b[b=10

(2)设购买A型设备x台，则购买B型设备(10-x)台，

由题意，可得：12x+10(10-x)4105,解得：x<2.5.

取自然数，x为0,1,2.

.••该公式有三种购买方案：①购买10台B型设备；②购买1台A型设备，9台B型设

备；③购买2台A型设备，8台B型设备.

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(3)由题意，可得：240x+200(10-x)22040,解得：x>\,的值为1或2.

当x为1时，共需花费1x12+(10-1)x10=102,

当x为2时，共需花费2x12+(10-2)x10=104,

最省钱的购买方案是购买1台A型设备，9台B型设备.

【总结】考察一次函数在实际问题中的应用，此题是有关最优方案的问题，解题时注意进行

讨论.

【习题8】已知在直角坐标平面内，直线经过原点。和点(1,-26)，点尸是直线48

上一点，若过点P向y轴作垂直，垂足为且AOPM的面积为9百，求点尸的坐标.

【难度】★★★

【答案】43,-66)或尸(-3,66).

【解析】•••直线N8经过原点。和点(1,-2百)，

二直线为正比例函数，解析式为y=-2怎.

设P(m,2出zw)

/XOPM的面积为94，•|w|•|—2>/3w|=9y/i,解得：m=+3

：..(3,-66)或尸卜3,6回.

【总结】考察面积的处理方法，注意点坐标和线段长的转换中正负号或绝对值的添法.

【习题9】如图，在梯形A8CD中，AB=CD=5,AO=7,8c=13,E为A。上一定点，A£=4,

动点尸从。出发沿着0c向C点移动，设点尸移动的距离为x,AAPE的面积为y,

求y与x的函数解析式，并画出图象.Af__ED

【难度］★★★

【答案】y=-x,图像略.

5B/-LM------N

【解析】分别过点/、。作DNJLBC,垂足分别为M、N.

可得：BM=CN=3,AM=DN=4.

SADP

,:DP=x,S^ADC=--AD-AM==,：.^=—,即$44砒=上,

22S△皿DC145

•c_HY,•S—EP_4E即S”EP_X丫•_8

••y—x•

••^^ADP*・《一:77，~TA一二7，一丁x，

5S△的AD\±x755

5

【总结】考察面积中同底等高的处理方法.

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【习题10］在平面直角坐标系中，函数尸2%+12的图像分别交X轴、y轴于/、8两点.过

点4的直线交y轴正半轴于点且点M为线段。8的中点.

（1）求直线的解析式；

（2）试在直线⑷V/上找一点P,使得，求出点。的坐标.

【难度】★★★

【答案】（1）y=x+6t（2）尸（6,12）.

【解析】（1）•••函数产2x+12的图像分别交x轴、y轴于/、B两点,

A（-6,0）,5（0,12）.

:点〃为线段08的中点，

二A/（O,6）.

利用待定系数法，可得直线4