2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1 基本计数原理

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第五章计数原理

§1基本计数原理

1.1分类加法计数原理

1.2分步乘法计数原理

1.3基本计数原理的简单应用

基础过关练

题组一分类加法计数原理

1.（2020重庆期末）完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外

有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选

法共有（）

A.5种B.4种C.9种D.45种

2.（2020福建泰宁第一中学月考）李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期

中到东亚文化之都一一泉州参加两日游,若他们不同一天出现在泉州，则他们出

游的不同方案共有（）

A.16种B.18种C.20种D.24种

3.（2020天津宝抵期中）用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一

个数作分母,则可构成真分数的个数为（）

A.8B.9C.10D.11

题组二分步乘法计数原理

4.（2020湖南永州期末）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度,研究决定将6

名优秀干部安排到该村进行督导巡视,周一至周四这四天各安排1名，周五安排2

名，每名干部只去一天,则不同的安排方法共有（）

A.320种B.360种C.370种D.390种

5.（2020山东烟台第一中学月考）现用4种不同的颜色对如图所示的四个部分进

行着色,要求4种颜色都用，则不同的着色方法共有（）

A.24种B.30种C.36种D.48种

6.（2020重庆巴蜀中学月考）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学

只能去一个场馆,则不同的安排方法共有（）

A.729种B.726种

C.543种D.540种

7.（2020河南平顶山一模）已知集合M={l,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M,N中

任选两个元素作为点（a,b）的坐标,则这样的点（a,b）在平面直角坐标系中可表示

第一、二象限内不同的点的个数是（）

A.24B.18C.14D.6

8.（2020山东东营一中期末）从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分

别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值？

题组三两个计数原理的综合应用

9.从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有（）

A.27个B.30个C.36个D.60个

10.（2021河南信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相,每一个人的出生年份对

应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一

种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛

和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，若三位同学对选取的礼

物都满意，则不同的选法有（）

A.30种B.50种C.60种D.90种

11.（多选）（2020北京第六十六中学期中）某校实行选科走班制度,张毅同学选择

的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课

程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习，则下列说

法正确的是（）

第一节第二节第三节第四节

地理化学A地理化学A

1班层3班2班层4班

生物A化学B生物B历史B

层1班层2班层2班层1班

物理A生物A物理A生物A

层1班层3班层2班层4班

物理B生物B物理B物理A

层2班层1班层1班层4班

政治物理A政治政治

1班层3班2班3班

A.此人有4种不同的选课方式

B.此人有5种不同的选课方式

C.自习课不可能安排在第2节

D.自习课可安排在4节课中的任一节

12.(2020山东青岛二中期末)如图,在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使

灯发光的方法有种.

48g

-------Il-----1

13.某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12

人,高三年级9人.

⑴选其中一人为负责人,有多少种不同的选法？

(2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法？

(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？

能力提升练

题组两个计数原理的综合应用

1.（2020湖北宜昌期末）如果一个三位正整数如“aaa」满足aDa2,且azVa3,则

称这样的三位数为凹数（如102,434,725等），那么所有凹数的个数为（）

A.240B.285

C.729D.920

2.（2020安徽合肥月考）周六晚上,小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购

的4张电影票恰好在同一排且连在一起,为安全起见,每个孩子至少有一侧有家

长陪坐，则不同的坐法种数为（）

A.8B.12C.16D.20

3.一个非负整数的有序数对（x,y）,如果在做x与y的加法时不用进位,则称（x,y）

为“中国梦数对"，x+y称为“中国梦数对"（x,y）的和，则和为2018的“中国

梦数对"的个数为.

4.按照下列要求给如图所示的A,B,C,D涂色.

ABCD

⑴选用3种不同颜色给A,B,C,D四个区域涂色,且相邻区域不同色,若按从左到

右依次涂色,有多少种不同的涂色方案？

⑵若恰好用3种不同颜色给A,B,C,D四个区域涂色,且相邻区域不同色,共有多

少种不同的涂色方案？

⑶若用3种不同颜色中的2种涂完四个区域,且相邻区域不同色,共有多少种不

同的涂色方案？

5.假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市有

甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日〜4月29日）内选择一天出游,在①甲

只选择空气质量为优的一天出游;②乙不选择4月27日出游;③丙不选择4月24

日出游;④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个,求这三人出游

的不同方法的种数.

未来六天空气质量预报

4月4月4月4月4月4月

24日25日26日27日28日29日

优优优优良良

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C因为只会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选法,

只会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选法，因此一共

有5+4=9种选法.

2.C国庆节共7天，设7天分别为①②③④⑤⑥⑦,相邻两天的组合一共有6

种情况:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,分两类情况讨论即可.若李雷选

①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择,若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅

梅有3种选择,故他们不同一天出现在泉州的不同方案共有2X4+4X3=20种,

故选C.

3.D分四类:①当分子为1时,有;,：,小共4个真分数;②当分子为3时,有

2489

7,|,|三,共3个真分数;③当分子为5时,有J,I，共2个真分数;④当分子为7

489389

时，有:，9,共2个真分数.根据分类加法计数原理,知可构成4+3+2+2=11个真

分数.故选D.

4.B周一有6种安排方法,周二有5种安排方法,周三有4种安排方法，周四

有3种安排方法,周五有1种安排方法，由分步乘法计数原理,可知不同的安排

方法共有6X5X4X3X1=360种.故选B.

5.A①给C块着色,有4种方法;②给A块着色,有3种方法;③给B块着色，

有2种方法;④给D块着色有1种方法（因为要求4种颜色都用）.由分步乘法

计数原理知,共有4X3X2X1=24种不同的着色方法,故选A.

6.A每名同学只能去一个场馆，同学不可剩余,把同学当成主体,首先从6名

同学中选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种,然后从剩下的5名同学中

选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种，依次类推,6名同学去甲、乙、丙

三个场馆做志愿者的不同的安排方法共有36=729种.

易错警示本题的难点在于找不到主体，不知道是从场馆还是同学入手分析，

分不清是3,还是6\题目中的6名同学去甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名

学生只能去一个场馆，说明6名同学可以都去一个场馆，且同学不能剩余，所以

从同学入手分析,把6名同学当成主体,一个一个分析即可.

7.A因为M,N中元素互不相同,可看成是从P={1,-2,3,-4,5,6,-7}中任选2

个元素,b有4种选择,a有6种选择,所以共有4X6=24个.

陷阱分析从集合M,N中任选两个元素作为点（a,b）的坐标是指可以从M中选

两个元素，可以从N中选两个元素，或者从M,N中各任选一个元素，同时，并没

有限定集合M中选择的元素就是a,集合B中选择的元素就是b,不要遗漏了任

何一种情况.

8.解析第一步，取底数，有8种取法；

第二步,取真数,有7种取法.

根据分步乘法计数原理,共得到8X7=56个对数.

但在这些对数中，Iog24=log39,Iog42=log93,Iog23=log49,Iog32=log94,所以可以

得到56-4=52个不同的对数值.

9.B分0在末位与2或4在末位两种情况讨论.当0在末位时,前两个位置中

第一个位置有4种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有

4义3=12个；当0不在末位时,2或4在末位有2种选法,前两个位置中第一个

位置有3种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有2X3X3=18

个,所以从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有

12+18=30个，故选B.

10.B①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的

选法种数为2X10=20;

②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种

数为3X10=30.

综上,总共有20+30=50种不同的选法.

故选B.

11.BD由于生物在B层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类：

若生物选第2节,则地理可安排在第1、3节，有2种选法,其他任意选即可,故

有2X2=4种(此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节)；

若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节，自习只能选在第2

节,故有1种.

根据分类加法计数原理可得,共有4+1=5种不同的选课方式.由以上分析可知，

自习课可安排在4节课中的任一节.

12.答案21

解析分两步:第1步,A组开关闭合一个,有2种闭法,A组开关闭合2个,有

1种闭法;第2步,B组开关闭合1个，有3种闭法,B组开关闭合2个，有3种

闭法,B组开关闭合3个，有1种闭法.此时共有(2+1)X(3+3+1)=21种闭法.

13.解析(1)根据题意，选其中一人为负责人,可分为3类.

第1类:选出的是高一学生,有13种选法；

第2类:选出的是高二学生,有12种选法；

第3类:选出的是高三学生,有9种选法.

由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种不同的选法.

(2)根据题意,共分为3步.

第1步:从高一学生中选出1人，有13种选法；

第2步:从高二学生中选出1人，有12种选法；

第3步:从高三学生中选出1人，有9种选法.

由分步乘法计数原理可得,共有13X12X9=1404种不同的选法.

(3)根据题意,可分为3类.

第1类:选出的是高一、高二学生,有13X12=156种选法；

第2类:选出的是高一、高三学生，有13X9=117种选法；

第3类:选出的是高二、高三学生，有12X9=108种选法.

由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种不同的选法.

能力提升练

1.B因为ai>a2,且a2<a3,所以对a2进行分类考虑.若a2=0,则百位数字可选

1,2,3,…,8,9,共9个,个位数字可选1,2,3,…,8,9,共9个，共9之个;若az=l,

则百位数字可选2,3,…,8,9,共8个,个位数字可选2,3,…,8,9,共8个，共82

个;……；若a?=8,则百位数字只能选9,个位数字只能选9,共「个.所以所有

凹数有92+82+72+-+22+12=81+64+49+-+4+1=285个，故选B.

拓展公式1+2+3+-+(n-1)+n=^^,12+22+32+-+(n-

3333

l¥+n二迎I股吐？P+2+3+-+(n-l)+n=^^(nGN.).

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2.C先计算出所有情况,第一个位置有4种坐法,第二个位置有3种坐法,第

三个位置有2种坐法，第四个位置有1种坐法,共有4义3义2义1=24种坐法，再

减去不符合条件的坐法种数即可.当孩子坐在一起并且坐在最边上时,有一个

孩子没有大人陪坐,第一个位置坐孩子有2种坐法,第二个位置坐另一个孩子,

第三个位置坐大人有2种坐法,第四个位置坐另一个大人，也可以两个孩子坐

在第三、第四的位置,乘2即可,所以共有2X2X2=8种坐法,所以每个孩子旁

边必须有大人陪坐共有24-8=16种不同的坐法,故选C.

3.答案54

解析设x=l000ai+100bi+10ci+di,y=l000a2+100b2+l0c2+d2,则x+y=l

(a1+~2,

黑建：其中

&+弓2=8,

a“b“5,di(i=l,2)均为自然数,满足条件ai+a2=2的自然数对(aba2)有

(0,2),(