2021年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何章末复习课作业含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习课

-----------------剧识网络鸣清凝统---------------------

回顾本章学习过程、建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联

系.

基础知识

基本思想

结合图形解决

几何问题

线面位置关系、

夹角、距离问

题转化为向量

问题

空间向量及其运

算的坐标表示

空间点、直线、

平面的向量表示

空间向量的

应用

空间直线、平

面的位置关系

空同向量在

立体几何中空间中的距离

的应用问题

空间中的夹角

问题

圜结圜纳盥点画究

要点训练一空间向量的基本概念和几何运算

1.空间向量的加减运算

空间向量的加法、减法的法则仍符合三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量

的加法或减法,这是因为空间的任意两个向量都是共面的.

2.空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件

(1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是

一致的.

(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面,

特别地，空间一点户位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使

>-X>+y\

3.空间向量的数量积

(1)空间向量的数量积的定义表达式a•6=/a//6/cos〈a,6〉及其变式cos<a,b>^~~

是两个重要公式.

(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如/a/=a；a在6上

的投影是R等.

1.在空间四边形相切中，G是。的中点，连接加,则一4(-+')=()

C1

-

D.2

解析：因为在△题中，因为G是缪的中点，所以二;()从而

4(,+')=(+(.

答案:A

2.如图，在平行六面体ABCD~AiBCR中,ZC与初父于点M,设=a,=A尸G

贝！JI―-()

A。B.\a^b-c

C.%f.cD.-\aU-c

解析：因为-L=-L+>,>=；>,>=>+>,所以

r+；(--~>+~~>”-小剑

答案:D

3.在正方体ABCD-A^CM中，点£在4a上，且丁^=,若

"二Xr+y(>+0,贝(IJF1,y=1.

解析：由题意,知>=T+-i—>=T+：x-J—1=>+9,从而有

下1,启.

4.如图，已知/为办/'8'，'0是平行六面体.设〃是底面/题的中心,N是侧面BCC'B'K

角线留'上的一个靠近点，'的四等分点,设一、=a―、+B—>+r—r,则。+£+/=*

D'C

解析:连接物(图略)，则〃为劭的中点.

所以°弓，£=(,7=|.所以a+£+/=*

要点训练二空间向量的坐标运算

熟记空间向量的坐标运算公式

设a=(X1,M,Z1),ZF(X2,yi,z2),

(1)力口、减运算：a土良(荀±松yi±yi,zi±Z2).

(2)数量积运算：a•b=xiX2+yiy2+zxz2.

(3)向量的夹角：

cos〈a,।.

J什什4i+i+i

⑷向量的长度：设Mi(31,bi,Ci),Mi(续,bi,C2),则

-1~2仁J~(~~2)：+(~~2)2+(~~2)^•

1.已知a=(2,3,-4),Z?=(-4,-3,-2)，左;x-2a,则行()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

解析：因为b=\x-2a,

所以斤2加4a=2(-4,-3,-2)+4(2,3,-4)=(-8,-6,-4)+(8,12,-16)=(0,6,-20).

答案:B

2.已矢口a+b=(2,V2,2-\/3),a-b=(0,V2,0),贝(Icos<a,b>=()

D.-

3636

解析：因为a止⑵血,2V3),a-夕(0,调,0),

所以a=(l,调,®斤(1,0,包

所以3电6^^二装写

答案:A

3.已知点4(1,-2,0)和向量炉(-3,4,12),若向量一'〃1且|-N=2|a|,则点6的坐标

为()

A.(-5,6,24)

B.(-5,6,24)或(7,TO,-24)

C.(-5,16,-24)

D.(-5,16,-24)或(7,-16,24)

解析：因为一>〃a,a=(-3,4,12),所以设一因为|―M=2|a|,所以

I才||a|=2|a|,所以"|=2,所以*=2年(-6,8,24)或=-2a=(6,-8,-24).

设坐标原点为。，则—>=―>+—(=(1,-2,0)+(-6,8,24)=(-5,6,24)或

—'=―*+―^(1,-2,0)+(6,-8,-24)=(7,-10,-24),所以点B的坐标为(-5,6,24)或

(7,-10,-24).

答案:B

4.在空间直角坐标系中,已知点力(1,-2,11),8(4,2,3),。(6,-1,4),则△/比一定是

()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由题意，知>=(3,4,-8),'=(5,1,-7),(=(2,-3,1),所以

->I小+42+(-8)2=恂,I—<I=^52+12+(-7)2=V75,||小+(-3/+1=

E,所以I—T+—N--T,所以△/比'一定是直角三角形.

答案:C

要点训练三利用空间向量解决平行与垂直问题

利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助立

体几何中关于平行和垂直的定理,再通过向量运算来解决.

空间向量的结论与线面位置关系的对应关系

⑴设直线)的方向向量是产(ai,61,C1),平面a的法向量为「(az,饱C2),

则1//尸0=今/+6也+CIQ=0;

7±a=uhbi,c〉二k1&,Q)=3I=bmkk*a=kc2

(A£R).

(2)设直线而的方向向量分别为当”平面a,£的法向量分别为a匕

贝U1//m^a//b^a^kbyA£R;

•ZFO;

1//尸0;

/_La=a〃uoapku,kGR;

Q//£=〃〃v=Fkv,A£R;

Q•r=0.

1.若直线，•的方向向量分别为斫(1,2,-2),左(-2,3,2),则♦与一的位置关系是

()

A.7iJ_I2

B.IJ/I2

C.4,心相交不垂直

D.不能确定

解析：由题意，知直线人为的方向向量分别为平(1,2,-2),斤(-2,3,2),可得

a*Z>=-2+6-4=0,所以/i与心的位置关系是21-L72.

答案:A

2.已知向量a42,T,3),斤(-4,2,x),使成立的x与使a〃人成立的x分别为

()

A.-,-6B.6C.-6,-D.6,--

3333

解析：当a,6时,-8-2+3尸0,解得智.

当a〃6时,Slw，解得尸-6.故选A.

答案:A

3.已知点4(0,1,0),6(-1,0,-1),以2,1,1),户(x,0,z),若以，平面力园则点户的坐标为

()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)

解析：由题意,知-(-1,-1,-1),-(2,0,1),=(-A,1,~z).

因为为_L平面ABC,

所以一-\--二

所以<*=0,(•=0.

所以｛J+1解得｛J

所以点以的坐标为(-1,0,2).

答案:C

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABLAD,CDLAD,/^_L底面ABCD,PQAD=CA2AB=2,M为PC

的中点.

⑴求证:砌〃平面PAD;

(2)平面处〃内是否存在一点N,使根平面PB加若存在,确定点”的位置;若不存在,请

说明理由.

⑴证明:如图，以/为坐标原点,48,4〃/9所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，则8(1,0,0),DQ2,0)，尸(0,0,2),Ml,1,1),

由题意，知=(0,1,1),平面阳。的一个法向量为ZF(1,0,0),

所以*•22=0,即'±27.

因为傲I平面PAD,所以9〃平面PAD.

⑵解：由题意,知一=(-1,2,0),-'=(1,0,-2).

假设平面印，内存在一点N,使〃此平面PBD.

设MO,y,z),则-(-1,y-1,z~l).

因为'±\

所以［所以乂0,^)，

所以在平面身人内存在一点A(0,；,；),使反!平面PBD.

要点训练四利用空间向量求空间距离

空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，而线面距、

面面距通常可转化为点面距求解.两点距一般利用向量模求解,即利用两点间距离公式,而点

面距主要利用平面法向量求解.

相关公式

(1)点到直线的距离.

如图，已知直线1的单位方向向量为s,4是直线/上的定点，尸是直线/上外一定点.设

—%,则的」7.

A

Q

(2)点到平面的距离.

如图，已知平面a的法向量为是平面a内的定点，户是平面。外一点，过点尸作平

面a的垂线，交平面a于点Q,则Z7是直线7的方向向量，

勺——.T=|—卜一^

1.如图，在长方体ABCD-A^GD,中,AB=BO2,M=V2,£尸分别是四边形AiBCB、四边形

的中心，则£尸两点间的距离为()

A.1B学Q1

解析:如图，以/为坐标原点，初四44所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角

坐标系，则£(1,1,调)，尺2,1,昌,

所以IEF\=J(l-2)2+(l-l)2+(V2-f)2当故选C.

答案:C

2.在四棱锥上ABCD中,-=(4,-2,3),­=(-4,1,0),一=(-6,2,-8),则点户到底面

/皿的距离为()

解析：设灯(x,y,z)是平面ABCD的法向量，则由题意，得[•==?即

I•=0,

[4-2+3=0,

1-4+=0,

令尸4,则尸1,

所以27=(1,4,0是平面/a7?的一个法向量.

因为〃.-_6+8-^=-^,|=/1+16+I*1-*\/104=2-\/26,

OO17O

所以|COS〈A,一«〉|=粤，故点尸到平面ABCD的距离

d=|'|,|cos<zj,>>|=2-\/26X卓=2.

答案:D

3.在空间直角坐标系中,已知点A(l,0,2)与点6(1,-3,1),则|—,1=710.若在z轴上有

一点〃满足I1=1X则点〃的坐标为(0,0,-3).

解析：由点/(I,0,2),点6(1,-3,1),得|—N=J(1T)2+(0+3)2+(2-l)2=VT0.

因为在Z轴上有一点"满足I1=X

设〃(0,0,a),则J(l-0)2+(0-0)2+(2-)2=

J(l-0)2+(-3-0)2+(1-)2.

解得a=-3,

所以点〃的坐标为(0,0,-3).

4.如图，在矩形ABCD^,已知AB=1,小风,将矩形加切沿对角线AC折起,使平面ABC与

平面力"垂直,则点8与点〃之间的距离为半.

解析：如图，过打〃两点分别向4C作垂线，垂足分别为四川则可求得

A咤B吟,

D

因为

所以I—T=(—>+—>+—r=l―T+l—f+l—T+2C+

要点训练五利用空间向量求空间角

1.求两异面直线所成的角

设a"分别是异面直线h心的方向向量，e为人心所成的角，则

III•I

cos夕=|cos<a,b>|=1~~

2.求直线与平面所成的角

设a为直线1的方向向量,A为平面a的法向量，9为1与a所成的角，则sin

,.1.1

夕二|cos<a,n>|―■—p

3.求平面与平面的夹角

设小功分别是平面£的法向量，平面a与平面0的夹角为。，则个=〈4,松〉或

9二”-<Z71,松〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补).

L(全国卷H)在长方体ABChBC"中,AB=Bg,AA5则异面直线AB与阳所成角

的余弦值为()

A.-

5652

解析：以。为坐标原点,加,必物所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,

如图所示.

由条件可知,〃(0,0,0),4(1,0,0),"(0,0,V3),5(1,1,V3),

所以；=(1,1,V3),

所以cos<—T，—；〉=|二；=「奈丁

即异面直线AK与DR所成角的余弦值为号.

5

答案:C

2.如图，在正三棱柱ABOAB.a中,AB=AA=2,P,Q分别为BC的中点，则异面直线BP

与AG所成角的余弦值为等,直线制与平面40G所成角的正弦值为空.

---r^C

解析:如图,在正三棱柱ABC-A^Q中，设AC,4a的中点分别为o,a,连接OB,oa,则OB

LOC,00110coarOB,以。为原点，OB,OC,。。分别为X轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系

Oxyz.

因为AB=AAl=2,所以/(0,-1,0),5(73,0,0),<7(0,1,0),4(0,-1,2),

5(V3,0,2),G(0,1,2).

因为尸为4氏的中点，所以《当，力，2)，

所以—=(-y,-p2),；=(0,2,2),

所以|cos<711-1+413ViO

1IV5X2V220

所以异面直线BP与/G所成角的余弦值为嘤.

因为0为优1的中点,所以喈，|,0),

所以一=停持。)-

因为r=(0,2,2),古(0,0,2),

设rF(x,y,z)为平面AQCx的一个法向量，

贝0二.即仔+3=°,

(1,-°>(2+2=0.

取2=1,则产T,JFA/3.所以Z2=(V3,-1,1),

设直线倒与平面/如所成角为e,

贝！Isin夕=|cos<ri>|―>白若,

I11II2x755

所以直线CG与平面/图所成角的正弦值为g

5

3.如图,直四棱柱ABCD~A\BC仄的底面是菱形,44=4,AB=2,

ZBAD=60°,E,M,"分别是BC,烟,AW的中点.

⑴证明:仞V〃平面GDE-,

(2)求平面AMA,与平面加〃1夹角的余弦值.

⑴证明：如图，连接6c尬

因为四£分别为BB“8c的中点，

所以跖〃旦C且修，5c

因为“为42的中点，所以ND^A.D.

由题设可得&C"A\D,BvOAxD,

板ME〃ND,M序ND,

因此四边形网K£'为平行四边形,MN//ED.

因为■平面GDE,所以必〃平面GDE.

⑵解：由己知可得加工血

如图，以，为坐标原点,(的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,

则A(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),Ml,0,2),

所以-i~-(0,0,-4),J-(-1,V3,-2),-J~-(-1,0,-2),-(0,~\/3,0).

设OF(x,y,z)为平面AXMA的法向量，

所以匕+$「2=。,得［4

可取2ZF(g,1,0).

设舁(p,q,r)为平面4腑的法向量，

所以16

(--

可取ZF(2,0,-1).

所以cos〈招〃线二W，

所以平面/例|与平面序&夹角的余弦值为《.

O

要点训练六转化与化归思想

空间向量的应用之一是解决几何问题,将几何问题转化为向量问题,然后利用向量的性

质进行运算或论证,再将结果转化为几何问题的结果,这种“从几何到向量,再从向量到几何”

的解决思路是转化与化归思想的充分体现.

1.已知平面a的一个法向量为灯(2,-2,4),―>=(-3,1,2),若点力不在a内，则直线

26与平面a的位置关系为()

A.ABLaB.ABaa

C.A8与a相交不垂直D.46〃a

解析：因为A•一=(2,-2,4)•(-3,1,2)=-6-2+8=0,所以->.因为点力不在。内，

所以48〃a.

答案:D

2.如图所示,在长方体ABCD-AxB^Dx中,/氏44=1,力庐2,E是棱26的中点，则点£到平面

ACA的距离为()

解析:如图，连接以，为坐标原点，加，”;微所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立

空间直角坐标系,则〃(0,0,1),£(1,1,0),/(I,0,0),<7(0,2,0).

所以丁^=(1,1,T),―=(-1,2,0),1=(-1,0,1).

设平面ACtt的法向量为ZF(a,b,c),

=°，明广+2=°，俎,=2

7=0,K|I-+=0,信t=

令a=2,则斤1,c=2,所以/⑵1,2)是平面ACLk的一个法向量.

所以点£到平面ACR的距离为d=-

答案:c

3.在直四棱柱ABCD-A^aD,中，四边形ABCD为平行四边形，〃为44的中

点,B(=BD=\,册/4=近

(1)求证:血1.平面BDG-

(2)求平面MBG与平面DBQ夹角的余弦值.

⑴证明：因为四边形46(/是平行四边形,所以AD=BC=BD=\.

又因为AB=a,

所以函+加=所,所以ADVBD.

由题意,得如i_L平面ABCD.

以，为坐标原点,DA,微能所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则2(0,0,0),从1,0,f),5(0,1,0),G(-1,1,调)，

所以~~*=(1,0,f),>=(0,1,0),T=(T，1，0)，

所以*.-0,*.1=-1+1=0,

所以DMLDB,DMLDa.

又因为DBCDG=D,比t平面BDG,DCu平面BDG,

所以加_平面BDG.

⑵解：由⑴可知，—<=(1,0,子)是平面BDQ的一个法向量，且

=(1,-1,y),T=(T，0,2).

设平面MBG的法向量为F(x,%z),

叫：二A°0,即

+V2=0,

令下1可得,H调,苧,1),

所以cos<\n>=-

所以平面MBG与平面DBG夹角的余弦值为辱.

□

觊范留题遹免想分

空间向量在立体几何中的应用

（新高考山东卷•12分）

如图，四棱锥尸加切的底面为正方形，如，底面ABCD,设平面必，与平面小的交线为

（1）证明：，，平面PDC-

⑵已知P2AA1,Q为1上的点,求阳与平面40所成角的正弦值的最大值.

⑴证明：因为阳，底面ABCD,所以PDLAD.评分细则

又因为底面ABCD为正方形,所以ADVDC.第⑴题

所以4LL平面如C2分得到平面PDC或BCV

因为AD//BC,直线平面PBC,所以4?〃平面PBC.平面々C有简单过程得2分；

由已知，得/〃/〃2分（累计4分）得出1//AD或/〃8c得2

所以，，平面1分（累计5分）分；

⑵解：以2为坐标原点，以物,%小所在直线分别为上述两得分点全有的情况

x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，1分下结论得1分，否则结论为0分.

（累计6分）第⑵题

建立空间直角坐标系，指出

x轴、y轴、z轴,或图中标出均

可得1分；