2024-2025学年新教材高中数学素养等级测评第一章集合与常用逻辑用语课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-素养等级测评一一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，则P∪Q等于(A)A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：P∪Q＝{x|－1<x<2}．2．命题“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为(D)A．对随意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2<03．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(D)A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，所以3∈A且9∈A，所以A＝{3,9}．4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(D)A．(－1,2] B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)解析：因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.5．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2,3，…}的关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有(B)A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个解析：M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{1,3,5，…}，则M∩N＝{1,3}，共有2个元素，故选B．6．已知集合B＝{－1,1,4}，则满意条件∅M⊆B的集合M的个数为(C)A．3 B．6C．7 D．8解析：由题意可知集合M是集合B的非空子集，集合B中有3个元素，因此非空子集有7个．故选C．7．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是(C)A．M＝N B．M∪N＝NC．M∩N＝N D．M∩N＝∅解析：因为集合M＝{－1,0,1}，所以N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠1}＝{－1,0}，则M⊇N，故M∩N＝N.8．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(C)A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈[1,2]，a≥x2恒成立，只需a≥(x2)max＝4，故命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，结合选项可知，原命题为真的一个充分不必要条件为a≥5.故选C．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知集合A＝Z，B＝{x|x(x－2)≤0}，则下列元素是集合A∩B中元素的有(ABC)A．1 B．0C．2 D．－2解析：由x(x－2)≤0得0≤x≤2，即B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选ABC．10．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，则以下命题正确的有(AD)A．∃x0∈A，x0∉B B．∃x0∈B，x0∉AC．∀x∈A都有x∈B D．∀x∈B都有x∈A解析：由题知BA，故AD正确．11．在下列命题中，真命题有(AB)A．∃x∈N*，使x为29的约数B．∀x∈R，x2＋x＋2>0C．存在锐角α，sinα＝1.5D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于随意的n，m∈N*，都有A∩B＝解析：A中命题为真命题．当x＝1时，x为29的约数成立；B中命题是真命题．x2＋x＋2＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)>0恒成立；C中命题为假命题．依据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0<sinα<1；D中命题为假命题．易知6∈A,6∈B，故A∩B≠∅.12．下列说法正确的是(AD)A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件B．若命题p：某班全部男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球C．“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“菱形的对角线肯定不相等”D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件解析：对于A，“a2＋a≠0”⇔“a≠－1且a≠0”，“a≠0”“a≠－1且a≠0”，“a≠－1且a≠0”⇒“a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件是正确的；对于B，若命题p：某班全部男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以原说法是错误的；对于C，“随意菱形的对角线肯定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以选项C中的说法是错误的；对于D，当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图像如图所示，明显交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝eq\f(5－b,k－4)>0，因为b<5，所以k>4.所以选项D中的说法是正确的．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝__1__.解析：∵A∩B＝{3}，∴3∈B，当a＋2＝3时，a＝1，此时B＝{3,5}，符合题意；当a2＋4＝3时，a2＝－1不符合题意，∴a的值为1.14．设p：x>2或x<eq\f(2,3)，q：x>2或x<－1，则¬p是¬q的__充分不必要__条件．解析：由题意得¬p：eq\f(2,3)≤x≤2，¬q：－1≤x≤2，∴¬p⇒¬q，但¬q¬p，∴¬p是¬q的充分不必要条件．15．已知集合A＝{x|2x－6>0，x∈R}，B＝{x|x≥a，x∈R}，C＝{x|x≤5}，若A∩(B∩C)＝{x|4≤x≤5}，则实数a的值是__4__.解析：由题意得集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x≥a，x∈R}，而A∩(B∩C)＝{x|4≤x≤5}，所以a＝4.16．若命题“对于随意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：若对于随意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于随意实数x，都有x2－2ax＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1，故命题“对于随意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是真命题时，a∈(－1,0)．而命题“对于随意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设集合U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求：(1)(∁UA)∪B；(2)(∁UA)∩(∁UB)．解析：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x<－1或2<x≤4}．∵B＝{x|1≤x≤3}．∴(∁UA)∪B＝{x|x<－1或1≤x≤4}．(2)∵U＝{x|x≤4}，B＝{x|1≤x≤3}，∴∁UB＝{x|x<1或3<x≤4}．∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－1或3<x≤4}．18．(12分)设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2＋px＋12＝0}，B＝{x∈N|x2－5x＋q＝0}．若(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，试求：(1)p＋q的值；(2)满意S⊆(A∪B)的集合S的个数．解析：(1)依题意，知2∈B，所以22－5×2＋q＝0，所以q＝6.又由4∈A，所以42＋4p＋12＝0，所以p＝－7，所以p＋q＝－7＋6＝－1.(2)由(1)知A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}．因为S⊆(A∪B)，所以S的个数为23＝8.19．(12分)已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分不必要条件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，求实数m的取值范围．解析：由题意(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))(m－1，m＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,m＋1≥\f(1,2).))所以－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).所以实数m的取值范围是[－eq\f(1,2)，eq\f(4,3)]．20．(12分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解析：(1)当m＝3时，由x－m<0得x<3，∴B＝{x|x<3}．∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∴∁UB＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}．又A∩B＝∅，∴m≤－2.∴实数m的取值范围是m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}．由A∩B＝A，得A⊆B.∴m≥4.∴实数m的取值范围是m≥4.21．(12分)已知p：∀x∈R，m<x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围．解析：由x∈R得x2－1≥－1，若p：∀x∈R，m<x2－1为真命题，则m<－1.若q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.因为p，q都是真命题，因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－1，,m≥－2，))，所以－2≤m<－1.所以实数m的取值范围为[－2，－1)．22．(12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围．解析：由题意知A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a当a＝－1时，B＝{－2,2}，满意条件；当a＝－3时，B＝{2}，也满意条件．综上可得，a的值为－1或－3.(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，B＝∅，满意条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满意条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满意条件，这是不行能成立的．综上可知，a的取值范围是a≤－3.(3)∵A∩(∁UB)＝A，∴A⊆∁UB，∴A∩B＝∅.对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当Δ<0，即a<－3时，B＝