定积分的应用

PAGE定积分的应用§7.1微元分析法一、引问题：（1）什么问题可用定积分来解决？（2）如何解决？实例:曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题,定积分所解决的问题是求与上有关的量A,解决问题的步骤是:分割——近似代替——求和——取极限.分析：这里的整体量对于具有可加性，即若把分成若干个小区间，就有,其中是对应于小区间的局部量；可以近似地求出，即（）,这里是已知函数，(),并且满足：是比更高阶的无穷小量（当时），可以表示为定积分二、总结：可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量应符合下列条件：（1）是与一个变量的变化区间有关的量；（2）对于区间具有可加性；（3）局部量的近似值可表示为这里是实际问题选择的函数.解决步骤：第一步分割区间，写出微元.分割区间，取具有代表性的任意一个小区间（不必写出下标号），记作,设相应的局部量为，分析局部量，选择函数，写出近似等式：第二步求定积分得整体量.令对这些微元求和取极限，得到的定积分就是所要求的整体量:.此方法称为微元分析法.§7.2平面图形的面积一、直角坐标情况1．由曲线直线及所围成的曲边梯形的面积.2．所以在区间上的连续曲线（有的部分为正，有的部分为负）、轴及二直线与所围成的平面图形的面积.例1求由，轴及二直线与所围成的平面图形的面积解已知在上，，在上，o图7.2-1o图7.2-1.3．如果平面区域是由区间上的两条连续曲线与及二直线与围成（如图7.2-2），则它的面积.图7.2-3图7.2-2图7.2-3图7.2-2例2求由曲线所围成图形的面积.o解先求出两条曲线的交点.为此解方程组EMBEDEquation.3o1,得到交点为（0，0）和（1，1）1从而知道图形在直线及之间.（如图7.2-4）图7.2-4故所求面积为.图7.2-4例3求抛物线和直线所围成的图形的面积.（如图7.2-5）解先求抛物线和直线的交点，解方程组:2-4交点和2-4图7.2-51）选为积分变量，变化区间为[0，8],面积为图7.2-5.2）选作积分变量，则的变化区间为[-4，2]，所求的面积为.计算时要适当选择积分变量，应综合考察下列因素：（1）被积函数的原函数易求；（2）较少的分割区域；（3）积分上、下限比较简单.4．参数方程所确定的确函数的积分，实质——做了一次变量代换。例4求椭圆所围成的面积.解此椭圆关于两个坐标轴都对称（如图7.2-6），故只需求在第一象限内的面积，则椭圆的面积为椭圆的参数方程图7.2-6，,图7.2-6.当时，就得到圆的面积公式.有时为了求积分的方便，也将函数写成参数方程形式。二、极坐标情况1．问题：设曲线由极坐标方程确定图7.2-8求，和所围曲边扇形的面积图7.2-82．解，相应于任一小区间的窄曲边扇形的面积为,于是得到极坐标曲边扇形面积公式：.3．例1求双纽线围成的区域的面积（如图7.2-9）.解双纽线关于两个坐标轴都对称,双纽线围成的区域的面积是第一象限那部分区域面积的4倍.在第一象限中，的变化范围是于是，双纽线围成区域的面积为.图7.2-9图7.2-10图7.2-9图7.2-10例2计算心形线所围成的图形的面积.解图形对称于极轴，因此所求面积是极轴以上部分面积的两倍..§7.3体积一、平行截面面积为已知函数的立体体积1．平行截面：用（垂直于轴的）平面截立体所baO．得到的截面——一系列平行平面baO．图7.3-12．问题：已知截面面积，为，,求立体体积图7.3-13．解在区间上任取一点，,积分，得.4．注可推广到垂直于y轴的平行截面，结果类似。设底面半径为的圆柱，被通过其底面直径且与底面交角为的平面所截，求截体的体积.解设底面圆方程为用过点且垂直于轴的平面截立体所得的截面是直角三角形（如图7.3-2），面积是,所以z.z-R-ROORR图7.3-3图7.3-2图7.3-3图7.3-2例2两个底半径为的圆柱体垂直相交，求它们公共部分的体积.解如图7.3-3，公共部分的体积为第一卦限体积的八倍，现考虑公共部分位于第一卦限的部分，任一垂直于轴的截面为正方形，因此截面面积为：.所以．二、旋转体的体积——上一问题的特例1．旋转体：由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转，所得的立体叫做旋转体（如图7.3-4）.图7.3-42，体积：显然过点且垂直于图7.3-4轴的截面是以为半径的圆，其面积是,于是得旋转体的体积.3．推广：由连续曲线和直线及轴所围成曲边梯形绕轴旋转所生成的旋转体的体积为.例3求椭圆分别绕轴和轴旋转所得旋转体的体积.解1）绕轴旋转由半个椭圆及轴围成的图形绕轴旋转而成的立体，所以.2）绕轴旋转.当时，得半径为的球体体积:.例4求圆绕轴旋转一周的旋转体的体积解圆的方程改写为如图7.3-5，右半圆的方程是．,．左半圆的方程是,所求的旋转体（环体）的体积是分图7.3-5别以两个半圆为曲边的曲边梯形绕轴图7.3-5旋转一周的旋转体的体积的差，即.§7.4平面曲线的弧长一、直角坐标情形1．问题：设曲线弧由方程给出，其中在上具有连续的导数，下面来计算这曲线弧（图7.4-1）的长度.2．解：取横坐标为积分变量，它的变化区间是，曲线相应于微分区图7.4-1间[]上的弧长可以用曲线在点图7.4-1处的切线相应于微分区间[]的长度来近似代替，而切线相应于微分区间[]上的长度为,从而得到弧长微元,所求弧长为.例1求曲线在部分的弧长.解因为曲线关于轴对称,所以所求弧长是曲线在部分的弧长的两倍（如图7.4-2）.图7.4-2由于，所以图7.4-2.例2求悬链线介于和之间的一段弧长.解因为，所以,由弧长公式得.二、参数方程情形若曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续的导数，由于，，因此有,于是所求弧长为.例3求星形线（图7.4-3）的全长.解因为星形线关于两个坐标轴都对称所以曲线的全长为第一象限部分的长的4倍由于，图7.4-3，图7.4-3得星形线的全长为.三、极坐标情形若曲线弧由极坐标方程给出，其中在上具有连续的导数，由于极坐标与直角坐标的关系为,故得曲线弧的参数方程为（为参数）,又,,,于是有.求心形线的全长(图7.4-4).解，根据对称性，有图7.4-4图7.4-4=.§7.5经济应用一、变化率1．已知某产品在时刻的总产量的变化率为，则从时刻到时刻的总产量为.2．已知边际成本是产品的产量的函数，则生产第个单位产品到第个单位产品的可变成本为.注意：积分下限是而不是，例如生产第1个单位产品到第5个单位产品，则可变成本.也就是说，应该从生产第1个产品时算起.3．已知总费用变化率，其中是变量，则总费用.4．已知某种新产品投入市场的销售速度为时间的函数，那么，在个单位时间内，该产品的总销售量.5．已知某产品产量为时的边际收益为，总收益为，销售量为的平均收益为，则,.例1设某产品在时刻总产量的变化率为，求从到的总产量.解总产量.例2已知某商品每周生产单位时，总费用的变化率是（元/单位），求总费用;如果这种产品的销售单价是20元，求总利润，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？解总费用,销售单位商品得到的总收入为,又利润，所以.令，即,得,因此最大利润为:(元).例3已知某产品的边际成本为（元/单位）求：（1）生产前6个单位产品的可变成本；（2）若固定成本元，求前6个产品的平均成本；（3）求生产第10个到第15个单位产品时的平均成本解（1）生产前6个单位产品，即从生产第1个到第6个单位的可变成本为;(2),(元/单位);(3)（元）.例4设某产品的平均边际成本为:（元/个），已知生产10个产品时，其平均成本为，求总成本和固定成本.解因为平均边际成本为，所以平均成本为,由已知，即有,得，故平均成本.因此，总成本（元），固定成本（元）.例5设某产品每天生产单位时，边际成本为（元/单位），其固定成本为10元，总收入的变化率也是产量的函数:求每天生产多少单位产品时，总利润最大？解可变成本就是边际成本