专题08函数的单调性（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题08函数的单调性№考向解读专题08函数的单调性№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第三张章函数的概念及性质专题08函数的单调性→➊考点精析←1函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有特别注意它的减区间是0,+∞,(−∞,0)，不是0,+∞2单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x比如：y=f(x)递增，则f(a②若y=f(x)递增，fx2≥f(比如：y=f(x)递增,f(1−m)≥f(n),则1−m≥n.y=f(x)递减，有类似结论！3判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1)任取x1,x(2)作差f(x(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(x(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．⑤复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：Fx=1x2Fx=1−2x(Fx=21x(2)同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．5．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．6基本初等函数的单调性①．正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．②．一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．③．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．④．二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．7函数的最值①最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．②最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．③几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．→➋题型突破←【题型一】对函数单调性的理解1.函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤0，则有()A.fC.f【解析】∵a又∵函数fx在R上是增函数，∴f(a)＋f(b)≤f(−a)＋2．（2023·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（

）A．是增函数，且 B．是増函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【答案】D【解析】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；法二：当时，.设，则，由已知，.所以，即，所以是减函数，故选：D.3．（2023·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数【答案】C【解析】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确；选项D:为增函数，则为减函数，为减函数，为减函数，选项D正确；选选C:若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.例如为上的增函数，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，故不能确定的单调性.故选:C4.已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(f则f(3)的值等于.【解析】∵函数f(x)在R上是单调函数∴可设fx−2x=t∴ft∵f(t)在R上单调递增，∴只有t=1时对应的函数值是3，即f(1)=3；∴f(x)=2x【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x对应一个y，所以题目中“f(x)－2【题型二】判断函数单调性的方法方法1定义法5.判断f(x)=x+4x在【解析】设0<则y1=(x1−(1)假如0<x1又x1−(2)假如2<x1又x1−x所以函数在(0,2)内单调递减，在(2,＋【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.6．（2023·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【解析】（1）证明：任取，且，则，因为，，所以，所以，故，所以，所以函数在上单调递增．（2）由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为．方法2数形结合7.函数fxA.−∞,1C.−∞,1,【解析】fx∴f(x)的图象是由y=−1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移∴f(x)的单调增区间是(－∞,1),(1,＋∞)．故选C．(切勿选【点拨】①本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.②利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等.方法3复合函数的单调性8.函数fx=x2【解析】函数fx=x2+4x−12∵x2+4x−12≥0,∴(优先考虑定义域，否则容易选B)由二次函数图像易得ux=x2+4x−12而fu=u由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【题型三】求函数的单调区间9．（2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．【解析】（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．10．（2023·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______．【答案】

，

，【解析】由函数图象可得：单调递增区间为：，；单调递减区间为：，故答案为：，；，【题型四】函数单调性的应用角度1解不等式11.已知函数f(x)=(12)x−x3【解析】∵y=(12)x和∴f(x)=(12∴由f(2a+1)>f(a－1)得，2a+1<a－1，解得a<−2．【点拨】我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.②处理类似“f(2a+1)>f(a－1)”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉"f"求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别fx12．（2023·江苏·高一）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令则，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D．角度2求参数取值范围或值13．（2023·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，解得，故选：B14.若f(x)=ax2+1,x≥0(a2−1)∙2【解析】f(x)在定义域(−∞,+∞)上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，a即a2−1≤1，解之得∵x≥0时，y=ax2∵x<0时，a2−1∙2ax是增函数，∴综上实数a的取值范围是1<a≤2②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，a2即a2−1≥1，解之得a≤−2∵x≥0时，y=ax2又∵x<0时，a2∴a2−1>0，得综上实数a的取值范围是a≤−2综上所述，得a∈(−∞,−2【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.15．（2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.【答案】

【解析】由题意知，解得，所以实数a的值为.当时，在区间上是减函数，所以满足题意；当时，因为在区间上是减函数，所以，解得.综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：；.角度3求函数最值16．（2023·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B17.已知函数fx(1)当a=1时，求f(x)的值域；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值．【解析】(1)a=1时，fx(遇到绝对值可变成分段函数处理)∵f(x)在(−∞,−12)∴f(x)≥f(−1∴f(x)值域为[−5(2)f(x)=ax①当x<a时，fx=ax∴f(x)在[0,a]单调递增，∴fx②当x≥a时，fx=ax(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴x=12a与(i)当12a≤a即a≥22时，∴fx∴fx(ii)当12a>a，即f(x)在[a,12a)∴f(x)≥f(1若4a2−14a≥−a若4a2−14a<−a综上f(x)【点拨】①遇到绝对值，可利用x=②函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；③在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.角度4利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系18．（2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得函数在上是增函数，所以.故选：D.19．（2023·全国·高一单元测试）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意为偶函数，则，又由函数在区间上单调递增，且,所以，所以，故选：B．【题型五】抽象函数的单调性20．（2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【解析】证明：任取、，且，则．因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数．21.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、y都成立，f2=−1且当x>1(1)求f(1)的值(2)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性(3)若关于x的不等式fkx−f(x2−kx+1)≥1【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，取x=1，y=1得：f(1)=f(1)+f(1)；∴f(1)=0；(2)设x1>x2∵x1>又x>1时，f(x)<0；∴f(x∴fx1−f(x2)<0，3∵f2=−1由f⇒fkx又f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴2kx>0【点拨】①求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如x=1、x=0等，可取特殊关系，如x=y.②抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有(1)作差法令x1>x2再根据题意“凑出”fx(2)作商法令x1>x2再根据题意“凑出”fx1f③涉及抽象函数，解类似“fkx－fx2－kx+1④恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如x2−kx+1>0(x>0)恒成立等价于k<x+1x(x>0)22．（2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．【解析】(1)得，则，而，且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．(3)由条件①及（1）的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.【题型六】二次函数在闭区间上的最值问题23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数满足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.【解析】（1）设，，又，，由知，（2），对称轴为：，故当时，在上单调递增，故在处取得最小值，，当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，，当时，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，，所以24．（2023·吉林油田高级中学高一月考）已知是二次函数，且满足，，．(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；(2)设函数，，，求函数的最小值．【解析】(1)设，，，即，解得，，则.证明：任取，，且因为，则，所以，∴在上单调递增．(2)令，则由（1）知，则，记，当时，；当时，；当时，．故．→➌专题精练←1．（2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数在区间上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高一课时练习）函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2022·巩义市第四高级中学高一月考)函数的单调递减区间为()A． B．C． D．4.（2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2022·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试)以下函数在其定义域上为增函数的是()A． B．C． D．6．(2022·深圳市皇御苑学校高一期末)函数的单调递减区间为A． B． C． D．7．（2023·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是8．(2021·全国)若函数的单调递减区间是，则a的值为A． B．3 C． D．69．(2022·江西宜春市·高安中学高一期末(理))已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．10．（2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A． B． C．0 D．111．(2022·沂源县第二中学高一开学考试)若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是()A． B．C． D．13．(2022·广东汕头市·高一期末)设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．14．(2022·北京门头沟区·大峪中学高一期中)已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是A． B． C． D．15．(2020·和平区·天津市第二南开中学高一期中)函数，的单调递增区间是_____．16．(2021·江苏扬州市)函数的单调递增区间为______17．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．18．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）函数在上是增函数，则a的取值范围为________．19．(2021·青海西宁市·高一期末)函数在区间上不单调，则实数k的取值范围是_________．20．（2022·湖南·高一课时练习）检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点．(1)；(2)；(3)；(4)．21．(2021·全国高一课时练习)已知函数f(x)=，证明函数在(2，+∞)上单调递增.22