2020年高中数学必修第一册：函数的奇偶性 教学设计（北师大版）

第二章函数

第4.1节函数的奇偶性教学设计

教材分析

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研究也为今

后累函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用；

奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本节课

充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。

教学目标与核心素养

一.教学目标：

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.学会判断函数的奇偶性；

二.核心素养

1.数学抽象：奇函数，偶函数的概念理解

2.逻辑推理：通部分函数图像的特性，让学生总结它们的共同特点，所具有的共性，从而引出

奇函数，偶函数的概念，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索

的思维品质.

3.数学运算：判断函数的奇偶性

4.直观想象：通过奇偶函数的性质，可以直观想象函数的图像的大体画法：同学们也可以通过

某函数图像，也可以直观的分析函数的奇偶性

5.数学建模:本节内容主要讲了奇偶函数，最主要体现的函数图像的对称性，体验数学研究严谨

性，感受数学对称美

教学重难点

教学重点

函数的奇偶性及其几何意义

教学难点

判断函数的奇偶性的方法与格式

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

例1画出函数f(x)=x3的图象，并观察它的对称性.

解先列表(如表2-2),然后描点、连线，得到函数f(x)=x3的图象(如图2-14).

(如表2-2)

X-2-1-1/201/212...

f(x)=x3-8-1-1/801/818

因为对任意的X,都有,(-X)3=-x3,即f(-X)=-f(X)

所以函数f(X)=x3的图象关于原点对称.

我们还知道，

对任意的尤，都有(-x)2=x2.

因此，对函数必幻=*2来说，总有g(-X)=g(x),

所以函数g(x)=x2的图象关于y轴对称(如图2-15)

2.奇函数，偶函数的概念概述:

奇函数：一般地，设函数的定义域是A,如果当xeA时，有—xeA,且f(-x)=-f(x),那

么称函数/(x)奇函数.奇函数的图象关于原点对称。

偶函数：设函数f(x)的定义域是A,如果当xeA时，有一xeA,且f(-x)=f(x),那么称函数/

偶函数.偶函数的图象关于y轴对称

重点强调

I.当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性.奇函数和偶函数的定义域均关于原点

对称，如(-a,a)或[-a,a]

2在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后

再利用对称性便可知它在非正区间上的性质，从而减少工作量.

3.具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

例2根据定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=-2x'(2)g(x)=x4+2；

(3)h(x)=—；(4)m(x)=----.

xx+2

解(1)依题意知函数#x)=2/的定义域为R,且对任意的xeR,有

f(-x)=-2(-x)'=2x)―-f(x)=-(-2X5)=2X5

即f(-x)=-f(x).

所以函数f(x)=-2x5是奇函数.

(2)依题意知函数g(X)=x4+2的定义域为R,且对任意的xeR,有

g(-x)=(-x)4十2=/十2,

即g(-x)=g(x).

所以函数g(x)=f十2是偶函数.

⑶依题意知函数力。)=二的定义域为{x|x#O},且对任意的xe{x|x#O},有

x

，/、11

h(-x)=--=~

(-X)X

h(-x)=h(x)

所以函数〃(幻=二是偶函数.

X

(4)根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，它的定义域是关于原点对称的.而函数

加(幻=」—的定义域为-2},它不关于原点对称，所以函数机(幻=」一既不是奇函

x+2x+2

题型一：奇偶性的判断

1.判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、f(x)=x3+2x⑵、f(x)=2x4+3x2

3_2

⑶、f(x)=-------⑷、f(x)=X2XG［-1,2］

x-1

(5)、/(x)=Jx-2+J2-x(6)、f(x)=y/x2-1+Vl-x2

解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数

x~(XN0)

2：判断函数/(尤)=1/一的奇偶性。

-X2(x<0)

解：/(0)=()2=一/(幻

当尤>0,即—x<0时，前(一无)=—(—x)2=-X2=-/(%)

当x<0,即—x>0时，有了(―尤)=(—尤)2=-(-x)2=-/W

总有/1(-x)=/(X),故/1(X)为奇函数

题型二：利用定义解题

\

1-

1.已知函数/(x)=a-否若/(x)为奇函数，则。=_2

2.若函数f(x)=x2+(m-l)x在区间［2n-l,n］为偶函数，则m+n=_4/3_

型三：利用奇偶性求函数值

1.已知/(幻=+aV+8且/(-2)=10,那么/(2)=-26

2.已知g(幻=#+加-6且g(3)=27,那么g(-3)=27

题型四：利用图像解题

1.设奇函数f(x)的定义域为若当xW［0,5］时，f(x)的图象如右图，/

则不等式/(%)<0的解是(—2,0)。(2,5)

2.若函数y(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,()］上是减函数，且心)=0,

则使得_