2024届苏州市昆山市中考一模数学试题含解析

2024学年苏州市昆山市中考一模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，ZAFD=65°,CD//EB,则B3的度数为（）

A.115°B.110°C.105°D.65°

2.如图是某公园的一角，ZAOB=90°,弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD〃OB,

则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）

3.已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40

分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）

450450450450c

A.=40B.------------------=7410

x-50x---------------------------------------xx-50

45045024504502

C.__________—TA___________—

x%+503x-50x3

4.我国的钓鱼岛面积约为4400000m2,用科学记数法表示为（）

A.4.4xl06B.44xl05C.4xl06D.0.44X107

5.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.11

6.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

D.

D.(3,2)

8.下列运算结果正确的是（）

A.3a-a=2B.（a-b）2=a2-b2

C.a（a+b）=a2+bD.6ab2-r2ab=3b

f-2x<4

9.关于x的不等式组。「，的所有整数解是（）

3%-5<1

D.-2,0,1,2

10.如图，在等腰直角△ABC中，ZC=90°,D为BC的中点,将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则

sinZBED的值是（）

c.述

2

11.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,则tanNBAC的值为（)

A.-B.1C.—D.J3

23

12.下列命题正确的是（）

A.内错角相等B.一1是无理数

C.1的立方根是±1D.两角及一边对应相等的两个三角形全等

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.春节期间，《中国诗词大会）节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词:

①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光.甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在纸上，则他

们选取的诗句恰好相同的概率为.

14.已知AABC:AA®。且5AA取尢,/。=1：2,则.

15.近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了

“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：

成绩（分）60708090100

人数4812115

则该办学生成绩的众数和中位数分别是（）

A.70分，80分B.80分，80分

C.90分，80分D.80分，90分

16.已知二次函数f（x）=x2-3x+l,那么f（2）=.

17.如图，P是。O的直径AB延长线上一点，PC切。。于点C,PC=6,BC：AC=1：2,则AB的长为

18.边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，△ABC中，AB=AC=1,ZBAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连

接BE,CF相交于点D.求证：BE=CF；当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

20.（6分）如图，AB是。。的直径，弦CDLAB,垂足为H,连结AC,过5。上一点E作EG〃AC交CD的延长

线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.

（1）求证：ZG=ZCEF；

（2）求证：EG是。O的切线

3

（3）延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=—,AH=3j§",求EM的值.

21.（6分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导

航显示车辆应沿北偏西55。方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35。方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C

恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55OM.4,tan35°=0.7,sin550=；0.8）

22.（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生

进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

请根据所给信息，解答以下问题：表中a=,b=；请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；已

知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两

名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.

23.（8分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，

购买2个文具袋和3个圆规需39元。求文具袋和圆规的单价。学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两

种优惠方案：

方案一：购买一个文具袋还送1个圆规。

方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.

①设购买面规m个，则选择方案一的总费用为,选择方案二的总费用为.

②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.

24.（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下

检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道/上确定点D,使CD与/垂直，测得

CD的长等于21米，在/上点D的同侧取点A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.

⑴求AB的长（精确到0.1米，参考数据：1.73,72-1.41）;

⑵已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由.

25.（10分）已知关于x的一元二次方程，+2（m-1）X+/7?-3=0有两个不相等的实数根.

（1）求机的取值范围；

（2）若机为非负整数，且该方程的根都是无理数，求机的值.

26.（12分）如图，矩形ABC。的两边AD、A3的长分别为3、8,E是。C的中点，反比例函数y=—的图象经

过点E,与AB交于点

若点3坐标为（-6,0）,求力？的值及图象经过A、£两点的一次函数的表达式；若

AF-AE=2,求反比例函数的表达式.

27.（12分）如图，AB是。的直径，AF是O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E,过点C作DA的平行

线与AF相交于点F,已知CD=2g,BE=1.

（1）求AD的长；

（2）求证:FC是）0的切线.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

根据对顶角相等求出NCFB=65。，然后根据CD〃EB,判断出NB=115。.

【题目详解】

；NAFD=65°,

.,.ZCFB=65°,

VCD//EB,

.".ZB=180o-65°=115°,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.

2、C

【解题分析】

连接OD,

•弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，/.OC=-OA=-x6=l.

22

；NAOB=90。，CD/7OB,.*.CD±OA.

在RtAOCD中，・・・OD=6,OC=1,1CD=-g=-寸=3丘

▽・・•/ncc_CD_3百_A

•sinNDOC-.......---------..../.3..,••.N/DNONCR—_6^0NO.

OD62

S

S阴影=$扇…一-Oc=-三3义36=6》46（米2）.

故选C.

3、D

【解题分析】

4504502

解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：————=-.故选D.

x-50x3

4、A

【解题分析】4400000=4.4x1.故选A.

点睛：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中心回＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，

n是负数.

5、A

【解题分析】

分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.

详解：多边形的外角和是360。，根据题意得：

110°«(n-2)=3x3600

解得n=l.

故选A.

点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决.

6、C

【解题分析】

根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

【题目详解】

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

7、D

【解题分析】

分析:根据y=—(得女=*丫=-6,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6,就在函数图象上.

解答：解：原式可化为：xy=-6,

A、2x(-3)=-6,符合条件;

B、(-3)x2=-6,符合条件；

C、3x(-2)=-6,符合条件;

D、3x2=6,不符合条件.

故选D.

8、D

【解题分析】

各项计算得到结果，即可作出判断.

【题目详解】

解：A、原式=2a,不符合题意；

B、原式=a?-2ab+b2,不符合题意；

C、原式=a?+ab,不符合题意；

D^原式=3b,符合题意；

故选D

【题目点拨】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

9、B

【解题分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的

解集，据此即可得出答案.

【题目详解】

解不等式-2x<4,得：x>-2,

解不等式3x-5V1,得：x<2,

则不等式组的解集为-2Vx<2,

所以不等式组的整数解为-1、0、1,

故选：B.

【题目点拨】

考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

10、B

【解题分析】

先根据翻折变换的性质得到△DEF^AAEF,再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到NBED=CDF,设

CD=1,CF=x,则CA=CB=2,再根据勾股定理即可求解.

【题目详解】

,/ADEF是小AEF翻折而成，

.,.△DEF^AAEF,NA=NEDF,

,/AABC是等腰直角三角形，

ZEDF=45°,由三角形外角性质得NCDF+45o=NBED+45。，

AER

AZBED=ZCDF,

设CD=LCF=x,贝!JCA二CB=2,

:.DF=FA=2-x,

...在RtACDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2=DF2,

即x2+l=(2-x)2,

3

解得：x=:，

4

CF3

sinNBED=sin/CDF=-----=—.

DF5

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适

中.

11、B

【解题分析】

连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形，即可求出所求.

【题目详解】

如图，连接BC,

由网格可得AB=BC=石，AC=V10>即AB?+BC2=AC2,

/.△ABC为等腰直角三角形，

.\ZBAC=45°,

贝！ItanZBAC=l,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

12、D

【解题分析】解：A.两直线平行，内错角相等，故A错误;

B.-1是有理数，故B错误；

C.1的立方根是1,故C错误；

D.两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确.

故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

1

13、一

4

【解题分析】

用列举法或者树状图法解答即可.

【题目详解】

解：如图，

乙①②③④①②③④①②③④

41

由图可得，甲乙两人选取的诗句恰好相同的概率为P=—=—.

164

故答案为：一.

4

【题目点拨】

本题考查用树状图法或者列表法求随机事件的概率，熟练掌握两种解答方法是关键.

14、1：行

【解题分析】

分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.

详解：•.,△ABC^AA,B,C,,

ASAABC:SAA-B,C=AB2：ArB,2=l：2,

AAB：ABT：72.

点睛：本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方.

15、B.

【解题分析】

试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的

众数为80分；

中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).因此这组40个按大

小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20,21个数的平均数，而第20,21个数都在80分组，故这组数据的

中位数为80分.

故选B.

考点：1.众数；2.中位数.

16、-1

【解题分析】

根据二次函数的性质将x=2代入二次函数解析式中即可.

【题目详解】

f(x)=x2-3x+l

f(2)=22-3X2+1=-1.

故答案为-1.

【题目点拨】

本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

17、1

【解题分析】

PC切。。于点C,则NPCB=NA,ZP=ZP,

/.△PCB^APAC,

.BPBC_1

••拓一耘—5'

VBP=-PC=3,

2

.*.PC2=PB«PA,即36=3・PA,

VPA=12

.*.AB=12-3=1.

故答案是：L

18、la1.

【解题分析】

结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积.

【题目详解】

阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积

=(la)'n-a1--xlax3a

2

=4a,+a1-3a1

=la1.

故答案为：laL

【题目点拨】

此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明见解析(2)72-1

【解题分析】

(1)先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,ZEAF=ZBAC,贝(]NEAF+NBAF=NBAC+NBAF,即NEAB=NFAC,

利用AB=AC可得AE=AF,得出△ACF^AABE,从而得出BE=CF；

(2)由菱形的性质得至！]DE=AE=AC=AB=LAC〃DE,根据等腰三角形的性质得NAEB=/ABE,根据平行线得性质

得NABE=NBAC=45。，所以NAEB=NABE=45。，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=QAC=0,于

是利用BD=BE-DE求解.

【题目详解】

(1)VAAEF是由AABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

•\AE=AB,AF=AC,ZEAF=ZBAC,

，ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,

即NEAB=NFAC,

AC=AB

在AACF和△ABE中，＜NCAF=ZBAE

AF=AE

：.AACF^AABE

BE=CF.

(2)I•四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,

.*.DE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

/.ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

.\ZAEB=ZABE=45°,

/.△ABE为等腰直角三角形,

-,.BE=72AC=V2，

:.BD=BE-DE=y[2-1•

考点：L旋转的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质.

20、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)至叵.

8

【解题分析】

试题分析：(1)由AC〃EG,推出NG=NACG,由4B_LCZ)推出人。=AC,推出NCE尸=NACZ),推出/G=NCEF,

由此即可证明；

(2)欲证明EG是。。的切线只要证明EGLOE即可；

A//HC

(3)连接OC.设。。的半径为r.在RtAOC”中，利用勾股定理求出r,证明AAHCSAMEO,可得——=——，

EMOE

由此即可解决问题；

试题解析：(1)证明：如图1.,.,AC〃EG,，NG=NACG,,ADAC>ZCEF=ZACD,：.ZG=ZCEF,

■:NECF=NECG,：./\ECF^/\GCE.

(2)证明：如图2中，连接OE.•；GF=GE,NGFE=NGEF=NAFH,VOA=OE,：.ZOAE=ZOEA,

VZAFH+ZFAH^9Qa,：.ZGEF+ZAEO^9Q°,：.ZGEO^9Q°,：.GE±OE,.'.EG是。。的切线.

(3)解：如图3中，连接。C.设。。的半径为r.

A

*AH3

在RtAAHC中，tanNACH=tanNzG=----=—,VA〃=373，:.HC=4®,在RtAHOC中,"：OC=r,OH=r-38,

HC4

HC=4A/3，••.（一3我2+（46）2=,，尸巨叵,-：GM//ACr：,ZCAH=ZM,"：ZOEM=ZAHC,

6

3A/3_4A/3

AAAHHC

：.^AHC^/XMEO,：.-----=——**,EM25也，

EMOE8

6

点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.

21、B、C两地的距离大约是6千米.

【解题分析】

过3作3ZLLAC于点O,在直角△A3。中利用三角函数求得30的长，然后在直角△3C。中利用三角函数求得5c

的长.

【题目详解】

解：过B作BDLAC于点D.

在Rt_ABD中，BD=AB•sin^fBAD=4x0.8=3.2（千米）,

BCD中，NCBD=90-35=55，

..CD=BD•tan/CBD=4.48（千米），

BC=CD+sin/CBD6（千米）.

答：B、C两地的距离大约是6千米.

【题目点拨】

此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的

知识求解.

22、(1)0.3,45；(2)108°；(3)

6

【解题分析】

(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、ft；

(2)B组的频率乘以360。即可求得答案；

(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；

【题目详解】

30

(1)本次调查的总人数为17+0.17=100(人)，则“=——=0.3,6=100x0.45=45(人)

100

故答案为0.3,45；

(2)360°x0,3=108°.

答：扇形统计图中3组对应扇形的圆心角为108。.

(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得：

开始

21

•.•共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，甲、乙两名同学都被选中的概率为二=：.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23、(1)文具袋的单价为15元，圆规单价为3元；(2)①方案一总费用为(3m+240)元,

方案二总费用为(2.4m+306)元；②方案一更合算.

【解题分析】

(1)设文具袋的单价为x元/个，圆规的单价为y元/个，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋

和3个圆规需39元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据总价=单价x数量结合两种优惠方案，设购买面规m个，分别求出选择方案一和选择方案二所需费用，然后

代入m=100计算比较后即可得出结论.

【题目详解】

(1)设文具袋的单价为X元，圆规单价为y元。

x+2y=21x=15

由题意得＜解得。

2x+3y=39[y=3

答：文具袋的单价为15元，圆规单价为3元。

(2)①设圆规m个，则方案一总费用为：20x15+3(〃?—20)=(3加+240)元

方案二总费用20xl5+10x3+3x80%(m-10)=(2.4m+306)元

故答案为：(3加+24。)元；(2.4m+306)

②买圆规100个时，方案一总费用：20x15+3(100—20)=540元，

方案二总费用：20xl5+10x3+3x80%(100一10)=546元，

...方案一更合算。

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

24、(1)24.2米(2)超速，理由见解析

【解题分析】

(1)分别在RtAADC与RtABDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长.

(2)由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速.

【题目详解】

解：(1)由题意得，

CD=?=21"

在RtAADC中，AD=--------V3，

tan30---

3

在RtABDC中，BD=—CD—=—21=7y/3,

tan60°J3

.*.AB=AD—BD=2K^J4占144.%3=24.2224.2®(米).

(2)•.•汽车从A到B用时2秒，.•.速度为24.2+2=12.1(米/秒)，

V12.1米/秒=43.56千米/小时，,该车速度为43.56千米/小时.

V43.56千米〃卜时大于40千米/小时，

/.此校车在AB路段超速.

25、(1)m<2；(2)m=l.

【解题分析】

(1)利用方程有两个不相等的实数根，得△=□(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+2>3,然后解不等式即可；

(2)先利用m的范围得到m=3或m=L再分别求出m=3和m=l时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m

的值.

【题目详解】

(1)A=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+2.

•••方程有两个不相等的实数根，

.,.△>3.

即-8m+2>3.

解得m<2；

(2)且m为非负整数，

•*.m=3或m=l,

当m=3时,原方程为x2-2x-3=3,

解得xi=3,X2=-1(不符合题意舍去)，当m=l时，原方程为x2-

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