备战高考数学概率与统计

备战高考数学概率与统计

【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布

概率与统计问题是每年高考必考内容.文科考查等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公

式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概

率计算公式等五个基本公式的应用'试题多为课本例题，习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌

握五个概率公式及其应用，夯实基础，借助排列组合知识和化归转化思想方法，就能顺利解答高考概率与统计

试题.理科考查离散型随机变量分布列和数学期望、方差等内容。

概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，2009年高考数学的19份理科试卷中，出现概率与统计解

答题的有17套，占89.4%,其中有9份试卷中有--道客观题（选择题或填空题）和一道解答题，有2份试卷

中只出现客观题。最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%,且本部分题多为中低档题。从而

可以看出近儿年高考中概率与统计所占地位的重要性。

【考点pk】名师考点透析

考点一、随机事件的概率

【名师点睛】

事件/的概率：在大量重复进行同一试验时，事件/发生的频率‘总接近于某个常数，在它附近摆动，这

n

时就把这个常数叫做事件力的概率，记作尸（N）.由定义可知0W尸（A）W1,显然必然事件的概率是1,不可

能事件的概率是0.

等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某

一事件力由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有〃个，即此试验由n个基本事件组成，而且

所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是L如果某个事件/包含的结果有m个,那么事

n

件A的概率P（A）='.使用公式P（J）=竺计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变,

nn

没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏.

求解等可能性事件/的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结

果有多少，即求出4（2）再确定所研究的事件“是什么，事件/包括结果有多少，即求出机（3）应用等可

能性事件概率公式尸='计算.

n

【试题演练】

设有5个人，每个人都被等可能地分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的5个

房间各有1人住；（2）恰好5个房间，其中各住1人；（3）某指定的房间中恰有3个人住.

解（1）记A为“指定的5个房间各住1人”，则A中有A；种分法，所以指定的5个房间各住1人的概率

（2）记“恰好有5个房间其中各住1人”为事件B,则B中有C；A：种分法，所以P（B）=室1=益|.

（3）记“某指定房间恰有3人”为事件C,指定的房间住3人，有C；种分法，剩余2人中的每人可在7个

房间中任选1间有7?种选法，所以C中包含C；7。种不同的选法，所以P（C）=字=黑.

816384

考点二互斥事件有•个发生的概率

【名师点睛】事件4、8的和记作N+B,表示事件力、8至少有一个发生.当X、8为互斥事件时，事件

4+8是由“/发生而8不发生”以及“8发生而N不发生”构成的，因此当/和8互斥时，事件/+8的概

率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A8互斥)，且有尸(A+A)=P(A)+P(A)=1.

当计算事件Z的概率尸。)比较困难时，有时计算它的对立事件N的概率则要容易些，为此有尸(/)

=1-P(A).

对于〃个互斥事件小，42,…，A”,其加法公式为产(小+生+…+4)=p(小)+P(3+…+尸(4).

.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当/、8互斥时，P(A+B)=尸(/)+P(8),否则公式不能使用.

如果某事件/发生包含的情况较多，而它的对立事件(即/不发生)所包含的情形较少，利用公式P

")=1一尸(，)计算Z的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.

求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的

概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.

【试题演练】

国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如下表所示：

命中环数10环9环8环7环

概率0.320.280.180.12

求该射击队员射击一次

(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率.

解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kGN,kWIO),则事件Ak彼此互斥.2分

(1)记''射击一次，射中9环或10环”为事件A,那么当A”A,。之一发生时，事件A发生，由互斥事

件的加法公式得P(A)=P(A9)+P(AIO)=0.32+0.28=0.60.5分

(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B,那么当As,As,Am之一发生时，事件B发生.由互斥

事件概率的加法公式得P(B)=P(A«)+P(A9)+P(A,O)=0.18+0.28+0.32=0.78.9分

(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即方表

示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(5)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

考点三、相互独立事件同时发生的概率

【名师点睛】事件4与8的积记作A-B,A-B表示这样一个事件，即/与B同时发生.

当/和8是相互独立事件时，事件4满足乘法公式尸(4=尸(/)•P(8),还要弄清

不公的区别.A•力表示事件，与否同时发生，因此它们的对立事件/与5同时不发生，也等价于“与5

至少有一个发生的对立事件即了海，因此有工»火W了］，但N•B=A+B.

应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件力与8来说，才能运用公式P(//hP")-P

(8)..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.

.首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立)，当且仅当事件N和事件8互

相独立时，才有尸(A•B)=P(A)•P(B).4、8中至少有一个发生：A+B.(1)若2、B互斥:P(/+8)

=P(A)+P(B),否则不成立.(2)若A、8相互独立(不互斥).法一：P(4+B)=P(A-B)+PCA•B)

+P(.A•5)；法二：P(A+B)=1~P(A•B)；法三：P(A+B)=P(Z)+P(B)~P(AB).

某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意

“至多”“至少”等题型的转化

"次独立重复试验中某事件发生％次的概率P.(％)=Cfp&(l-p)正好是二项式［(1-p)+p］"的

展开式的第％+1项.

【试题演练】

设一射手平均每射击10次中靶4次，求在5次射击中：(1)恰击中1次的概率；(2)第二次击中的概率;

(3)恰击中2次的概率；(4)第二、三两次击中的概率；(5)至少击中1次的概率.

解由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4,此射手射击5次，是一独立重复试验，可用公式

P„(k)=C：»(1-P)n-k.

(1)n=5,k=l,得Ps(1)=C；P(1-P)4=0.2592.

(2)事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于

“第二次击中，其他各次都不中”，不能用独立重复试验的概率公式，

其实，“第二次击中”的概率，就是此射手“射击一次击中”的概率，为0.4.

(3)n=5,k=2,得Ps(2)=C5P2(1-P)'=0.3456.

(4)“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次击中或击不中，所以概率为0.4X0.4=0.16.

(5)设“至少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”、“击中两次”、“击中三次”、“击中四次”、“击

中五次”，所以概率为P(B)=P5(1)+Ps(2)+P5(3)+P5(4)+P5(5)因为事件B是用“至少”表

述的，可以考虑它的对立事件.B的对立事件是“一次也没有击中”，所以P(B)=1-P(B)=1-P5(0)

=1-C?(1-0.4)5=0.92224.

考点四、离散型随机变量的分布列

【名师点睛】1.随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用•个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母S、〃等表示.

(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量

叫做离散型随机变量.

(2)若f是随机变量，H=a^+b,其中八6是常数，则〃也是随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量f可能取的值为x”为，…，为，…，f取每一个值x,C=l,

2,…)的概率P(=p,,则称表

X\X2Xi

PP\P2Pi

为随机变量&的概率分布，简称S的分布列.

(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在〃次独立重复试验中这个事件恰好发

生1次的概率是尸(D=C%qi.

其中40,1,…，”，q=\-p,于是得到随机变量S的概率分布如下:

01…kn

c00/i・・・

PC.pqc）尸c.pg

称这样的随机变量f服从二项分布，记作B(〃，p),其中〃、p为参数，并记(匕〃，p).

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.

求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出S的所有取值，二是求出孑取每一个值时

的概率.

求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合

数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.

【试题演练】

-袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以J表示取出的最大

号码.（1）求J的分布列；（2）求J>4的概率.

解（1）g的可能取值为3,4,5,6,从而有：

P4=3）=乌=-!-,P4=4）=CrCtJ_,p（^=5）£E£1±,

cl20、c：=20、=ci=10

P（J=6）=警_'.故J的分布歹ij为

3456

133

P

2020To2

（2）P（4>4）=P（4=5）+P*=6）

°°510105

考点五、离散型随机变量的期望与方差

【名师点睛】1.期望：若离散型随机变量f,当f=x,的概率为P（f=x,）=Pg,2,n,

则称Ef=Ex,p,为J的数学期望，反映了f的平均值.

2.方差：称。$=£（%—ES）2p,为随机变量f的均方差，简称方差.、匠叫标准差，反映了f的离散程度.

3.性质：（1）EQf+6）=aEf+b,D（aJ+b）=c^Df（a、方为常数）.

（2）若g〜B（〃，p）,则Dg=npq（g=l—p）.

.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的

类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机

变量相应的概率.

【试题演练】

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记

下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，

规定：甲摸一次，乙摸两次，令4表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）J的分布列；（2）J

的期望.

解（1）自的所有可能取值为0,10,20,50,60.P（4=0）=二条；

「（印°）4*符+/C；X.Q磊;P®20）=/以X小力尚

P©5。）/X卡=高1令6。）=*=焉.故J的分布列为

g010205060

7292431891

p

10001000100010001000

（2）E4=0X^=2_+10X^3_+20X—+50X—^―+60X^—=3.3（元）.

）10001000100010001000

考点六、抽样方法、总体分布的估计

【名师点睛】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取

一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.

2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体

分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）

按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.

3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.

4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数

和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.

可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的•般程序如下：

（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频

率=整）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计•

总数

【试题演练】某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3,从3万人中抽取

一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什

么样的方法？并写出具体过程.

解（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.300XA=60（人）；300X-1=40（人）：

300X^=100（人）；300X1=40（人）;300X^=60（人）,

因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人

（3）将300人组到一起即得到一个样本.

2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

寿命（h）100200200300300400400500500600

个数2030804030

（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图;（3）估计电子元件寿命在100h400h以内的概率;

（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率.

解（1）样本频率分布表如下：

寿命（h）频数频率

100200200.10

200300300.15

300400800.40

400500400.20

500600300.15

合计2001

（2）频率分布直方图

(3)由频率分布表可以看出，寿命在100h400h的电子元件出现的频率为0.65,所以我们估计电子元

件寿命在100h-400h的概率为0.65.

(4)由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子

元件寿命在400h以上的概率为0.35.

【三年高考】07、08、09高考试题及其解析

2009高考试题及解析

一、选择题

1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据

绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于

98克并且小于104克的产品的个数是().

A.90B.75C.60D.45

【解析】：产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)X2=0.300,

已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为〃，

则—=0.300，所以〃=120,净重大于或等于98克并且小于

n

104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)X2=0.75,所以样本

中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

120X0.75=90.故选A.

答案:A第8题图

【命题立意】：本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图，会计算概率以及样本中有关的数据.

7TY|

2.(2009山东卷理)在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos号的值介于。到/之间的概率为().

12J2

A.-B.—C.-D.一

3万23

7TYI

【解析】：在区间[-1,1]上随机取一个数X,即xe[—1,1]时，要使cos号的值介于0到;之间，需使

—乙44Z.4—七或工《区土〈工一1《xV一2或24》＜1,区间长度为2,由几何概型知Icos?3的值

2233223332

2

171

介于0到一之间的概率为n=—.故选A.

223

【命题立意】：本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量X的取值范围，得到函数值cos空的范

2

围,再由长度型几何概型求得.

3.（2009山东卷文）在区间上随机取一个数x,COSX的值介于0到g之间的概率为（）.

12cl2

A.-B.—C.—D.一

3万23

【解析】：在区间TT勺TT上随机取一个数X,即XG［-72T,7勺T时，要使COSX的值介于0到上之间，需使

22222

71

一7一T<x<——71或7一1KxW7一1,区间长度为7一1，由几何概型知COSX的值介于0到1一之间的概率为2&=I一.

2332327i3

故选A.

【命题立意】：本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量X的取值范围，得到函数值COSX的范围,

再由长度型儿何概型求得.

4.（2009安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点

中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

(B)134

(A)—(C)—(D)——

757575

•B

［解析］如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

•F

6个点中任意选两个点连成直线，共有建・C；=15x15=225

,E

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

•A

ACIIDB,ADHCB,AEHBF,AFIIBE,CE//FD,CF//ED

124

共12对，所以所求概率为0=——=——，选D

22575

5.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成

11

三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于A.1B.-C.3D.0

【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构

成等边三角形，故概率为1,选A。

6.（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将

这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为

11-11

A.-B.—C.—D.一

6432

C2c2

【解析】所有可能的比赛分组情况共有4xd2=12种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选。.

2!

7.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张

卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为

【解析1P=》一（3/二3）=留故

3581

8.（2009四川卷文）设矩形的长为。，宽为b,其比满足b:。=叵4a0.618,这种矩形给人以美感,

2

称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度

与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

【答案】A【解析】甲批次的平均数为0.617,乙批次的平均数为0.613

9.（2009宁夏海南卷理）对变量x,y有观测数据理力争（苞,乂）（i=l,2,…，10）,得散点图1；对变量u,

v有观测数据（%,V,）（i=l,2,-,10），得散点图2.由这两个散点图可以判断。

图2

ks5u

（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关

（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关

解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，选C

10.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB=2,BC=1,。为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到

7/TT77"TT

的点到。的距离大于1的概率为（A）—（B）1---（C）—（D）1---

4488

兀

【解析】长方形面积为2,以0为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分（半圆）面积为,

71TT

因此取到的点到0的距离小于1的概率为彳+2=—

24

rr

取到的点到0的距离大于1的概率为1-j【答案】B

4

11.（2009陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工

人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则

该样本中的老年职工人数为（A）9（B）18（C）27（D）36

答案B.解析：由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.

12.（2009福建卷文）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表

组别(0,10](20,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在（10,40）上的频率为A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

解析由题意可知频数在（10,40］的有：13+24+15=52,由频率=频数十总数可得0.52.故选C.

13.（2009年上海卷理）若事件后与E相互独立，且P（£）=P（R）=；，则P（EI尸）的值等于

（A）0（B）—（C）-（D）-

1642

【答案】B【解析】P（EIF）=P（E）・P（E）=；x；=\

14.（2009年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群

体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑

似病例数据，一定符合该标志的是

（A）甲地：总体均值为3,中位数为4（B）乙地：总体均值为1,总体方差大于0

（C）丙地：中位数为2,众数为3（D）丁地：总体均值为2,总体方差为3

【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4,

可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0,叙述不明确，如果数目

太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3,

故答案选D.

二、填空题

1.（2009年广东卷文）某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽

样法，将全体职工随机按1—200编号，并按编号顺序平均分为40组（1—5号，6—10号…，196—200号）.

若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽

取人.

50岁以上

40岁以下

40—50岁

【答案】37,20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽出的号码为27,第7

组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37.

40

40岁以下年龄段的职工数为200x0.5=100，则应抽取的人数为——x100=20人.

2.（2009广东卷理）已知离散型随机变量X的分布列如右表.若EX=0,DX=\,贝必=,

b=.

【解析】由题知6+C=旦，-67+C+—=0,12X<7+12XC+22X—=1,解得<7=』，b.

12612124

3.（2009浙江卷文）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间［4,5）上的数据的频裂

"'揉%距

.」一_…一

—।

-----------------

I100,因此频数为30

4.（2009安徽卷理）若随机变量X〜,则

P（XW〃）=.［解析］1

5.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成

三角形的概率是。

【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5,故尸=冬3=23=0.75.

6.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随

机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

【解析】考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的

长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是：2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2。

7.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次,

投中的次数如下表：

学生2^3^4^5号

甲班67787

乙班67679

则以上两组数据的方差中较小的一个为?=.

【解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7,故方差$2=（6二7）一/0-.0-+（8-7）二b0：=2

55

8.（2009辽宁卷理）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：b用

分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由

所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h,则

抽取的100件产品的使用寿命的平均值为K

-980x1+1020x2+1032x1

【解析】x=--------------------=1011A31O

4

9（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是乙8、96、0.5,则三人都

达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是

【答案】0.240.76

【解析】三人均达标为0.8X0.6X0.5=0.24,三人中至少有一人达标为

1-0.24=0.76

10.（2009湖北卷文）下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在［6,10］内的频数

为,数据落在（2,10）内的概率约为o

【答案】64

【解析】观察直方图易得频数为200x0.08x4=64，频率为0.1x4=0.4

11.（2009湖南卷文）一个总体分为48两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已

知6层中每个个体被抽到的概率都为上，则总体中的个体数为120.

12

解：设总体中的个体数为X,则W=J-nx=120.

x12

12.（2009湖南卷理）一个总体分为A,B两层，其个体数之比为4：1,用分层抽样方法从总体中抽取♦个容

量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,，则总体中的个数数位50。

28

【答案】：40【解析】由条件易知8层中抽取的样本数是2,设8层总体数是〃，则又由5层中甲、乙都被

C21

抽到的概率是可得〃=8,所以总体中的个数是4x8+8=40

C：28

13.（2009天津卷理）某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，

拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名

学生，则在该学院的C专业应抽取一名学生。

【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。

解析：C专业的学生有1200-380-420=400,由分层抽样原理，应抽取120x出1=40名。

1200

14.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB

的长度小于1的概率为oA

解析解析：如图可设/8=1,则28=1,根据几何概率可知其整体事件是其周/\长

3,则其概率是2。（

15.（2009上海卷文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志

愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）。

【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：C；,概率为:：

C3225

二=*,所以，均不少于1名的概率为：1一±=±。

C.777

16.（2009重庆卷文）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数字作答）.

解析:可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有A；种，第二步将甲乙二人插入前人形成

的四个空隙中，有A；种，则甲、乙两不相邻的排法有A；A：=72种。

17.（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127

则该样本标准差s=（克）（用数字作答）.

【答案】2解析因为样本平均数x=1（125+124+121+123+127）=124,则样本方差

$2=（（『+02+32+］2+32）=4,所以s=2

18.（2009湖北卷理）样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据

落在［6,10）内的频数为,数据落在［2,10）内的概率约为.

【答案】640.4【解析】由于在［6,10）范围内频数、组距是0.08,所以频率是0.08*组距=0.32,而频数=

频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64

同样在［2,6）范围内的频数为16,所以在［2,10）范围内的频数和为80,概率为80/200=0.4

三、解答题

1.(2009年广东卷文)(本小题满分13分)

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；甲班

(2)计算甲班的样本方差2181

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同

99101703689

学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.

883216258

8159

【解析】(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之间，

图7

而乙班身高集中于170:180之间。因此乙班平均身高高于甲班；

_158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

(2)x--------------