2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 .3 .2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一抛物线的几何性质

1.（2020山东寿光现代中学月考）若点P在抛物线x2=-12y上，且P到抛物线准线的

距离为d,则d的取值范围是（）

A.[6,+oo）B,[3,+oo）

C.（6,+oo）D.（3,+oo）

2.（2020湖南岳阳一中期中）等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p〉0）,O为

抛物线的顶点，且OALOB,则AAOB的面积是（）

A.8p2B.4p2

C.2p2D.p2

3.顶点在原点，对称轴为y轴且经过点（4,1）的抛物线,其准线与对称轴的交点坐标

是.

4.（2022山东聊城三模）已知点A（0,5）,过抛物线x2=12y上一点P作直线y=-3的垂

线,垂足为B,若|PB|=|PA|,则|PB|=.

题组二直线与抛物线的位置关系

5.（2022湖南长郡中学期末）过点P（2,2）作抛物线y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P

平分，则弦AB所在的直线方程是（）

A.x-y=0B.2x-y-2=0

C.x+y-4=0D.x+2y-6=0

6.(2022北京朝阳期末)过抛物线y2=4x上的一点A(3,yo)(yo〉O)作其准线的垂线，垂

足为B,抛物线的焦点为F,直线BF在x轴下方交抛物线于点E,则|FE|=()

A.lB.V3

C.3D.4

7.(2022河南平顶山期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线分别交

抛物线于A,B两点，若|AF|=4,|BF|=1,则p=()

A.yB.2

o

C.jD.l

8.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线1与抛物线C:y2=2x有且只有一个

公共点，则这样的直线1共有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+l湘交于A,B两点,0是坐标原点.

(1)求证:OA，OB;

(2)当AOAB的面积等于VT6时，求k的值.

10.(2021湖南娄底期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px(p〉0)的焦点F到

双曲线X2-q=1的渐近线的距离为

(1)求该抛物线的方程；

(2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线1与抛物线交于A,B

两点，弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于点N,求点N横坐标的取值范围.

题组三抛物线的综合应用

11.（2022广东广大附中期末）下列图形中，可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=l（a#0

且bWO）图形的是（）

12.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型

是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1,两栋建筑第八层由

一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的

水平距离为30m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为（）

A.180mB.200m

C.220mD.240m

13.（2022河南郑州期末）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,准线为1,过F的直

线与抛物线C交于点A,B,与1交于点D,若丽=4丽,|AF|=4,则p=（）

A.2B.3C.4D.6

能力提升练

题组一抛物线的几何性质

1.（多选）（2022湖南长郡中学期中）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,斜率为g

且经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线1

交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是（）

A.p=2B.F为AD的中点

C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2

2.（2022湖南桃江一中开学检测）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,0为坐标原

点,C的准线1与x轴相交于点B,A为C上的一点，直线AO与直线1相交于点E,

若NBOE=NBEF,|AF|=6,则C的标准方程为.

3.（2022广东佛山期末）已知抛物线x2=8y的焦点为F,准线为1,点P是1上一点，过

点P作PF的垂线交x轴的正半轴于点A,AF交抛物线于点B,PB与y轴平行，则

|FA|=.

题组二直线与抛物线的位置关系

4.（2022北京交大附中期末）已知斜率为k的直线1与抛物线C:y2=4x交于A,B两

点，线段AB的中点为M（l,m）（m>0）,则斜率k的取值范围是（）

c.(l,+oo)D.[l,+oo)

5.（2022湖南衡阳八中期中）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F

为抛物线的焦点，点P在抛物线上,且满足|PA|=m|PF|,则m的最大值是（）

A.lB.V2C.2D.4

6.（多选）（2022吉林东北师大附中期中）过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于

A,B两点,M为线段AB的中点，则（）

A.以线段AB为直径的圆与直线y=-|相切

B.以线段BM为直径的圆与y轴相切

C.当刀=2万时而|=*

D.|AB|的最小值为6

题组三抛物线的综合应用

22

7.（2022江西景德镇期末）已知双曲线Ci：1r廿13〉0万〉0）的渐近线与抛物线

C2：x2=2py（p>0）交于点O,A,B（O为坐标原点），若aOAB的垂心为抛物线C2的焦点,

则双曲线Ci的离心率为（）

A3n3V2厂3V3ccB

A.2-B2.—2C.—D.2V3

8.（2021福建南平期末）扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常可以在大街小

巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它的外围轮廓是由两段形状完全相同的抛

物线绕着它们共同的对称轴旋转而来的（纵截面如图），花灯的下顶点为A,上顶点

为B,AB=8分米,在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡，球心C在轴AB

上，且AC=2分米，若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点

A处取得，建立适当的坐标系可得以A为顶点的抛物线方程为y=ax2（a〉0）,则实数a

的取值范围是

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B由已知得2P=12,所以43,因此d的取值范围是[3,+8).

2.B不妨设点A在x轴上方，由抛物线的对称性及OAJ_OB,可知koA=l,故直线

0A的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故三x2px4P=4p2.

3.答案(0,-4)

解析依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则有42=2p,即p=8,则抛物线的准线

方程为y=-4,准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).

4.答案7

解析由题意得,焦点为FQ3),准线方程为y=-3,由抛物线的定义可得IPBRPFI,

又：|PB|=|PA|,

|PA|=|PF|,即APAF是等腰三角形，;A(0,5),F(0,3),yp若=4,

|PB|=yp+3=4+3=7.

5.A易知弦AB所在的直线斜率存在，且不为0.设A(xi,yD,B(X2,y2),弦AB所在直

线的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由。[X：昭消去y并整理，得

k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,则Xi+X2=-如等,：P为弦AB的中点,

•••-七|空=4,解得k=L.1所求的直线方程为y=x.故选A.

6.D如图，将(3,yo)(yo〉O)代入y?=4x,得yo=2g,则B(-l,26),又因为F(l,0),所以直

线BF的方程为y=-Wx+W,与y2=4x联立并消去y,得3x2-10x+3=0,

解得x=3或x=；,因为点E在x轴下方，所以XE=3,所以|FE|=XE+1=4,故选D.

7.C由题意可知直线AB的斜率存在，设为k,则其方程为y=k(『)由

222

2)，消去y可得kx-(k+2)px+^=0,^A(xi,yD,B(X2,y2),不妨令xi>x2>0,

则XIX2=5,XI+：=4,X2+：=1,所以(4-(1-：)=不解得p=g.故选C.

8.C当直线1的斜率不存在时，直线l:x=O与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直

线1的斜率为0时，直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线1的斜率

存在且不为0时,若直线1与抛物线y2=2x有且只有一个公共点，则直线与抛物线相

切,设直线方程为y=kx+2(kW0),代入抛物线方程y2=2x,得k2x2+2(2k-l)x+4=0,则

A=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=j即直线的方程为y=：x+2.

综上，满足条件的直线1共有3条，故选C.

9.解析⑴证明:当k=0时，直线与抛物线仅有一个交点,不符合题意,•••kWO.

由y=k(x+l),y2=-x消去x并整理，得y2+^y-l=O.

设A(-y工yi),B(-龙,y2),

J1

则yi+yz--,yiy2—1,

.'.koA,koB=y•1,«0•OA_LOB.

■yi叱y^2

(2)设直线AB与x轴交于点E,

则E(-1,0),.*.|OE|=1,

SAOAB^|OE|(|yi|+|y2|)^|yi-y2|^^+4=VIU,解得k=±;.

10.解析⑴易知Fg,0),双曲线x2《=l的渐近线方程为y=±gx,即遮x±y=0,则F

V3p

到渐近线的距离(1=工=£解得p=2.

22匚

••・抛物线的方程为y2=4x.

(2)由⑴知M(-l,0),则直线1的方程为y=k(x+l),kW0.

2222

2+O'得kx+2(k-2)x+k=0.

=4x,

贝ijA=4(k2-2)2-4k4>0,所以0<k2<l.

设A(xi,yi),B(x2,y2),P(X3,y3),N(xo,O),

则一

•••直线PN的方程为y=_(%+U)+j,

令y=0,得xo=l+；

又•.•k2£(O,l),.\xo〉3.

•二点N横坐标的取值范围为(3,+8).

11.D方程ax+by2=0化为标准方程为y2=-：x,则抛物线的焦点在x轴上，故B错误;

若方程ax2+by2=l表示椭圆，则2>0,心0,则，<0,抛物线应开口向左，故A错误;若方

程ax2+by2=l表示焦点在y轴上的双曲线，则a<0,b>0,则-：>0,则抛物线应开口向右,

故C错误,D正确.

12.B建立平面直角坐标系，如图所示,

设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则点B(30,-150+t),

由B,D在抛物线上,

152=-2pt,9

解得P=7

302=-2p(t-150),U=-50,

所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200(m),故选B.

13.B如图所示，过点A作AN±1于点N,过点B作BMX1于点M,则

|AF|=|AN|,|BM|=|BF|,

又因为丽=40，即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cosNDBM=^=j所以cosNFAN=；,过

点F作FHXAN于点H,则cosNFAN=^2,由|AF|=4可得|AH|=1,又因为

\AF\4

|AN|=|AF|=4,所以|NH|=4-1=3,

所以点F到准线1的距离为3,由抛物线的定义可得p=3.

能力提升练

1.ABC设准线1与x轴交于点N.如图所示，过点A作AC±1于点C,AM±x轴于

点M,过点B作BEL于点E.因为直线的斜率为低所以tanNAFM=B,/AFM三,

又因为6日=4,所以|乂尸|=2,4乂|=27^所以人色+2,27^),将点人的坐标代入抛物线

方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMFZ^DNF,故F为AD的中点，又因为

NBDE=：所以|BD|二2|BE|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=±故选ABC.

63

2.答案y2=8x

角星析VZBOE-ZBEF,ZOBE=ZEBF=90°,

•••△OBEs^EBF,.•.㈣=蚂，即|BE|2=|0B|•|BF|=-・p=-,|BE|=-p,

\BE\\BF\2L22r

.,.tanNBOE=^=V^,不妨令点A在第一象限,则直线AO的方程为y=V^x,

联立卜；缶，得「二%即A(p,鱼p),所以|AF|=p+?=之=6,解得p=4,所以C的标

、y/=2pxiy—Y/p,22

准方程为y2=8x.

3.答案6

解析由题意得焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,设P(m,-2)(m>0),.-.kF=-

Pm-0m

PF±PA,kpA=^,/•直线PA的方程为y+2=?x-m),令y=0,解得x=：+m,即

A(1+m,。)，

VPB与y轴平行，且B点在抛物线上，

2正

.,.可设B(zu,F,A,B三点共线,.,.力—=g—,

m

即m4+8m2-128=0,解得m=2&或m=-2加(舍去)，

.•.A(4V2,0),.*.|FA|=22+(4&)2=6.

4.C设直线1的方程为y=kx+b,A(xi,yi),B(X2,y2),联立。'消去y，并整理

得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,A=(2kb-4)2-4k2b2〉0,且xi+x2=1^,xiX2=；,

kb<l,yi+y2=k(xi+x2)+2b\「.•线段AB的中点为M(l,m)(m〉O),.\

xi+x2=^^=2,yi+y2=2=2m,b=—,m=-,m>0,k>0,又kb<1,2-k2<1,Jk>1.故

kkk

选c.

5.B由抛物线x2=4y可得准线方程为y=l,故A(O,-1).如图，不妨设点P在第一象

限或为原点，过P作准线y=-l的垂线，垂足为E,则|PE|=|PF|,故;喘=^=sinNPAE.

当直线AP与抛物线相切时,NPAE最小,而当点P的位置变化时,0<NPAEW：,当

NPAE三时，点P与点0重合，此时m=l;当0<NPAE<B时,设直线AP:y=kx-l,由

{:「'V；得x2-4kx+4=0,令A=16k2-16=0,得k=l或k=-l(舍去)，所以直线AP与抛

物线相切时,/PAE」,故土的最小值为立即m的最大值为鱼，故选B.

4m2

6.ACD由抛物线方程知F(0,；),准线方程为y=q,由题意可知，直线AB的斜率存

在，可设AB:y=kx+1设A(xi,yi),B(X2,y2).对于A,易知|AB|=yi+y2+3,TM为AB的中

点,•••点M到准线y=_的距离d=^+；="R以线段AB为直径的圆与直线y=3

v—kx+—

相切,A正确;对于8,由-2,得x2-6kx-9=0,则A=36k2+36>0,

=6y

xi+x2=6k,xiX2=-9,yi+y2=k(xi+x2)+3=6k2+3,

竺三)，设BM的中点为N,则乂行詈，

,BMlWlABl//0哼V.,哼卫詈不恒成立,I.以线段BM为直径的圆与y轴未

必相切,B错误;对于C,若方=2而，则X1=-2X2,不妨设X1<O,X2>O,X1X2—9,

X2=¥，X1=-3VX则A(-3VX3),B(¥j,.\|荏|=3+：+3=W，C正确;对于D,：

2

|AB|=yi+y2+3=6k+6,.*.当k=0时,|AB|min=6,D正确.故选ACD.

7.A