版五年高考2016-2020高考数学真题归纳19函数与导数综合含解析理

专题19函数与导数综合

【2020年】

1.(2020•新课标I)已知函数F(x)=e'+办2-x.

(1)当天1时，讨论/'(X)的单调性；

(2)当x20时，f(A-)^-%+1,求a的取值范围.

2

【答案】(1)当》€(-8,0)时，尸(x)<OJ(x)单调递减，当X«O,T8)时,

-2

7-e、

r(x)>OJ(x)单调递增.⑵-----,+<»

.4>

【解析】

⑴当a=l时，/(x)=ex+X2-x,/'(x)=e'+2x—1,

由于/"(力="+2>0,故于'(x)单调递增,注意到/(0)=0,故：

当XG(fO,0)时，/(x)<(),/(£)单调递减，

当xe(0,+oo)时，/'(X)>0,/(x)单调递增.

(2)由/(尤)N+1得，e'+ax1—x...—x^+1,其中xNO,

①.当尸0时:不等式为：121,显然成立，符合题意；

②.当x〉0时，分离参数a得,exxi,

«...-----^^—2-----

(x—2)—一1x2-x-1

ex--x3-x-1

记2

g(x)=-----三--g'(x)=—

%3

令=e*_彳-1(无20),

则〃'(x)=ex-x-1,/z"(x)=ev-l>0,

故〃'(x)单调递增，/i'(x)>/i'(O)=O,

故函数〃(x)单调递增，/?(x)>//(O)=O,

由〃(x)20可得：/一；/一%一1.0恒成立,

故当XG(O,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当XG(2,40。)时，g'(X)<0,g(x)单调递减;

r--I7一次

因此，，

-7-e1)

综上可得，实数a的取值范围是-----.

L4)

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往

与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调

性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形

结合思想的应用.

2.(2020•新课标U)已知函数-x)=sin2jrsin2x.

(1)讨论/U)在区间(0,万)的单调性；

(2)证明:〃(刈4浮；

3〃

(3)设〃匕性，证明：sin2^sinJ2xsin24^***sin22^^——.

4〃

【答案】(1)当尤60,—时，/'(力＞0,/(，单调递增，当xJw，—时，

\3Jk33J

/'(x)<()，X)单调递减，当时，尸(x)>0"(x)单调递增.⑵证明见解

析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)由函数的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,则：

尸(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2A:(3COS2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-l)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

r(x)=0在x£(0,1)上的根为：石=不入2=,，

当xe0,[时，7(x)>0J(x)单调递增，

'rr24\

当xw]时，<0,/(x)单调递减,

133)

2万）

当时,/（x）＞0J（x）单调递增.

出注意到/(彳+))=$1112(彳+]由11[2(%+1)]=$1112人11128=/(%),

故函数/（X）是周期为"的函数,

结合（1）的结论，计算可得：/（｛））=/（万）=0,

据此可得：卜（机「半，［小心=-¥

即心）|¥

（3）结合⑵的结论有:

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sir?xsin，2xsin34xsin32"x)

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)(sin22w_,xsin2Hx)sin22〃xJ

2

<」si.nxx-3-A-/--3x-3--7--3-xx-3---g--xsi.n22mx下

888

2

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往

与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调

性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形

结合思想的应用.

3.(2020•新课标III)设函数/。)=;?+法+0,曲线y=/(x)在点(；，f(g))处的切

线与y轴垂直.

(1)求6.

(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1.

3

【答案】(1)b=--；(2)证明见解析

4

【解析】

(1)因为/。)=3/+依

由题意，fg)=°，即3x(；)+6=0

3

则人=一■7；

4

3

(2)由(1)可得=/一片+以

311

f'(x)=3x2--=3(x+-)(x--),

令/(x)>0,得或x<—,；令/(x)vO,得—3<x<5，

所以/(X)在(一；,；)上单调递减，在y,_3,(；,+8)上单调递增，

若fM所有零点中存在一个绝对值大于1的零点/,则/(—1)>0或/(I)<0,

即C>L或c<_2_

44

当c>；时，/(-l)=c-l>0,/(-1)=c+^>0J(1)=c-1>0,/(l)=c+^>0(

又/(Tc)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零点存在性定理知fM在(-4c,-1)上存在唯一一个零点%,

即/(%)在(-oo,-l)上存在唯一一个零点，在(-1,+oo)上不存在零点，

此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

,14

当。<一一时，

4

/(_l)=T<0,/(—g)=c+(<0,/(g)=c_；<0，Z)=c+；<0,

又f(—4c)-64c3+3c+c-4c(l—16c2)>0,

由零点存在性定理知fM在(L-4c)上存在唯一一个零点为',

即/(x)(1,+8)上存在唯一一个零点，在(-8,1)上不存在零点，

此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，/(X)所有零点的绝对值都不大于1.

【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学

生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

4.(2020•北京卷)已知函数.f(x)=12—V.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于—2的切线方程；

(II)设曲线y=/(x)在点«,/«))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SQ),求

SQ)的最小值.

【答案】(I)2x+y-13=O,(II)32.

【解析】

(I)因/(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x,

设切点为(x(),12—不))，则一2%0=-2,即/=1,所以切点为

由点斜式可得切线方程为：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=O.

(H)显然twO,

因为y=/(x)在点9,12—处的切线方程为：y-(n-t2)=-2t(x-t),

/2।19

令x=0,得y="+i2,令y=0,得尤=上士，

2t

所以s(/)=gx(r+i2).黑2,

不妨设f>0Q<0时，结果一样)，

EC/、/+24*+1441144、

则S(f)=------------=a«+24r+——)

所以S'⑺=」(3"+24—歹)=3(『+8：-48)

v74t24r

3(—一4)(*+12)3(t—2)«+2)(/+12)

4?4f2

由S'（/）>0,得f>2,由S'（f）<0,得0<r<2,

所以S⑺在（0,2）上递减，在（2,转）上递增，

所以r=2时，5（f）取得极小值，

也是最小值为S（2）=监笆=32.

o

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于

中档题.

5.（2020•江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底

。在水平线榴，上、桥与,融平行，00'为铅垂线（。‘在脑上）.经测量，左侧曲线40上

任一点。到砌V的距离九（米）与〃到00'的距离a（米）之间满足关系式九二密。?；右侧曲线

60上任一点尸到腑的距离4（米）与尸到OO'的距离从米）之间满足关系式色=一焉/+6b.

已知点6到OO'的距离为40米.

（1）求桥四的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩切和EF,且CE为80米，其中C,E在46上（不

3

包括端点）.桥墩跖每米造价-万元）、桥墩徵每米造价不人（万元）（力0）.问O'E为多少米

2

时，桥墩制与斯的总造价最低?

【答案】（1）120米（2）O'E=20米

【解析】(1)由题意得-1-|O'A『=——Lx4()3+6x4().•.|O'A|=80

40800

\AB|=|O'A|+1O'B\=8()+40=120米

(2)设总造价为/(x)万元，|O'O|=’-X8()2=160,设|O£|=X,

40

i31

f(x)=k(l60+80d九3—6x)+—k\\60—(80—x)~］,(0<x<40)

f(x)=k(l60+—x3-^-x2),f'(x)=k(~—x2--x)=0:.x=20(0舍去)

o(X)oOoOOoO

当0<x<20时，/V)<0;当20Vx<40时，/V)>0,因此当x=20时;f。)取

最小值，

答：当O'E=20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

6.(2020•江苏卷)己知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与丸(x)=Ax+b伏力eR)在区间

〃上恒有/(x)>h(x)>g(x).

(1)若/("=/+2为g(x)=-x2+2x,£)=(ro,+oo),求方(x)的表达式；

(2)若/(x)=/_》+1,g(x)=Alnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求A的取值范围；

(3)若

/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,/J(X)=4(产-f)x-3t4+2z2(0<|也)，

D=pH,"］三『五,应］,求证：n-m<41.

【答案】⑴〃(x)=2x；⑵fce［0,3］；(3)证明详见解析

【解析】

(1)由题设有一V+2xV依+A<f+2%对任意的xeR恒成立.

令x=0,则o«/?wo,所以/?=0.

因此京＜f+2x即£+（2-攵）x20对任意的xeR恒成立,

所以A=（2-上了40,因此&=2.

故〃（x）=2x.

(2)令尸(x)=，(x)-g(x)=Hx-l-lnx)(x>0),F(1)=O.

又F(x)=h二二L

X

若k<(),则尸(x)在(0,1)上递增，在(1,+?)上递减，则产(x)WF(l)=0,即

〃(x)—g(x)W0,不符合题意.

当人=0时，户(x)=〃(％)-g(x)=0,〃(x)=g(x),符合题意.

当女>0时，尸(x)在(0,1)上递减，在(1,+?)上递增，则/(x)N/(1)=0,

即〃(x)—g(x)20,符合题意.

综上所述，k>0.

由/(X)—/z(x)=x2-x+1—(束一人卜％2-(A+l)x+(A+l)»0

当》=等<0,即左<一1时，丁=/一(4+1)兀+女+1在(0,+?)为增函数，

因为〃0)—〃(0)=左+1<0,

故存在％e(0,+oo),使/(x)-〃(x)<0,不符合题意.

当》=言=0,即2=—1时，/(x)-/z(x)=x2>0,符合题意.

女+］n

当工=与一>0,即左>—1时，则需△=(%+1)—-4(%+1)40,解得一1<攵<3,

综上所述，女的取值范围是左40,3］.

(3)因为/-2/24(/一。1一3尸+2/>4x2-8对任意不&］恒成

立，

/-2九224(/Tb-3〃+2r对任意1u［-夜,及］恒成立，

等价于(xT)2，+2比+3/-2)之。对任意％w［以川口-血,夜］恒成立.

故次之+2及+3/一220对任意工£［狐〃］口—>/5,后］恒成立

令M(x)=d+2a+3--2,

当0v*<i,△=一8*+8>0,—IvtvI,

此时〃—m+1<,

当14/<2，△=-8r+840，

但4x?-8>4（r3-r）x-3z4+2/对任意的不£［加,利|匚［—\/2,血］恒成立.

等价于4x?_4（/T）X+（3『+4）（/-2）V0对任意的工£［〃刍〃］口一5/5,&］恒成立.

4x2—4（/一，）x+（3/+4）（』—2）=（）的两根为王,电,

nil33〃一2/一8

则%+%2=（-Z,%・/=------------------------，

X+x2

所以〃一机=%一%|=7（I2）-4X］X2=〃_5/+3产+8.

令冰uZ/lWia］,则|〃一加|=1；13—542+32+8.

构造函数P（4）=%3-5义2+3；1+8（/1€［1,2］）,P/（2）=3A2-102+3=（2-3）（3/l-l）,

所以;le［l,2］时，P（/l）<0,P（/l）递减，P（A）niax=P（l）=7.

所以（〃-〃2）m*x=布，即〃-，〃V夕.

【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考

查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

7.（2020•山东卷）己知函数/（x）=ae*T—Inx+lna.

（1）当a=e时，求曲线片F（x）在点（1,/（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的

面积；

（2）若f（x）求a的取值范围.

2

【答案】（1）--（2）［l,+oo）

e-1

【解析】

（1）Q/（x）=e'—lnx+1>f'（x）=e',:.k==

x

Q/（l）=e+l,.•.切点坐标为（1,1+e）,

...函数f（x）在点（1,F（1）处的切线方程为y—e—l=（e—l）（x—l）,即y=（e—l）x+2,

,切线与坐标轴交点坐标分别为（0,2）,（二,0）,

e-1

1一22

，所求三角形面积为7；X2X|——-|=——-;

2e-\e-1

(2)解法一：Qf(x)=aeA~l-Inx+In<2,

/.ff(x)=aex~l--,且a>0

x

设g(x)=f'(x),则g'(x)=ae~+4>0,

X

・・・g(x)在(0,+8)上单调递增，即f\x)在((),+8)上单调递增，

当a=1时，/⑴=0,/⑺*=f⑴=1,.：“X)■成立.

111-!—1

当0>1时，/<1，."T<1，.•.r(,)r(l)=a(e〃

存在唯一%>0,使得/'(Xo)=ae&T-----=0,且当工€(0,不)时/(x)<0,当

X。

1

工£(%,+00)时/。)>0,/.ae^=一,/.Ina+x0-l=-lnx0,

因此/。)僦=f(xQ)=ae*T-In/+Ina

=FIna+-1+In672Intz-1+21—・=21na+l>l,

玉)Y%

.：/(x)>l,恒成立；

当0<a<1时，/(I)=a+Ina<a<1,/(I)<l,f(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

解法二：/(x)=aex~l-lnx+Ina=-/nr+21等价于

Jna+x-l+/w+x-12Inx+X=*+ItVC,

令g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(/w+xT)Ng(/nr),

显然g(x)为单调增函数，，又等价于//a+x—12>无，即/〃加x—x+l,

1\—X

令"(x)=/n¥-x+l,则/z'(x)=——1=-----

XX

在(0,1)上方'切单调递增；在(1,+8)上犷3单调递减，

•.•妆~,=妆1)=°，

Ina>0,即aNl,，a的取值范围是[1,+8).

【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力,

分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.

8.(2020•天津卷)已知函数f(x)=x3+%inx(ZwR),/'(x)为了。)的导函数.

(I)当k=6时，

(i)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

9

(ii)求函数g(x)=/(x)-/'(尤)+—的单调区间和极值；

x

(II)当々…一3时，求证：对任意的不，x,e[l,+oo),且%>%，有

/(%)+/(%)

2%,—x2

【答案】(I)(i)y=9x—8；(ii)g(x)的极小值为g⑴=1,无极大值；(II)证明见

解析.

【解析】

(I)(i)当公6时，/(x)=x3+61nx,1(月=3无2+\.可得/11)=1,尸(1)=9,

所以曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为y-l=9(x-l),即y=9x-8.

3

(ii)依题意，g(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(0,+oo).

从而可得g<%)=3x2-6x+—--\,

xx

整理可得：g'(x)=~yY~L

X

令g'(x)=0，解得x=1.

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表:

X(。,1)X=1(1,+?)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)；

g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值.

(II)证明：由/(X)=%3+左加工，得/'(X)=3f+—.

X

对任意的看,x2e[l,+oo),且%>%2，令*=1。>1),则

X2

-%"㈤+/'(%))-2(/㈤一〃尤2))

rk、

—

二(玉—x2)3x：H---F3%2—2x：—%：+kIn--

IX\X2)vX2>

二x：-考-3小2+攵--—>1-2^10—

E\)%

=W—3/+3/—1)+攵[z---2In/.①

令〃(尤)=x----2Inx,xe[l,+oo).

x

i2(1A

当X>1时，/2(x)=l+———=1一一>0，

xxvxJ

由此可得〃(x)在[1,+8)单调递增，所以当01时，A(/)>/z(l),BPr---21nf>0.

因为WNl,r3-3z2+3r-l=(/-l)3>0,k>-3,

所以W(f3-3f2+3i)+《—；—21n"..(f3-3f2+3f—i)—3,—；—21nf

=t3-3t2+6lnt+--l.②

t

3

由(I)(ii)可知,当(>1时,g(f)>g⑴，即/一3『+61nf+—>1,

,,3

故八一3厂+6In，+——1>0③

t

由①②③可得(玉_/)(/(%)+/(%))_2(/(玉)_/(%2))〉。.

所以，当々，一3时，任意的%,%2e[l,+8),且玉>%2，有

/'。)+/'(々))/(%)一.

2Xj-x2

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.

9.(2020•浙江卷)己知1<。42,函数/(x)=e*—x—a,其中片2.71828…为自然对数

的底数.

(I)证明：函数y=/(x)在(。，+8)上有唯一零点；

(11)记蜀为函数y=/(x)在(0，+8)上的零点，证明：

(i)Ja-1<J2(q_l)；

x

(ii)xof(e°)>(e-1)(。-l)a.

【答案】(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析.

【解析】

(I)Q/'(幻=e'—1,Qx>0,/>1,:.f'(x)>0,:.f(x)在(0,+8)上单调递增，

Ql<a<2,.'./(2)=e2-2-«>e2-4>0,/(0)=l-a<0,

所以由零点存在定理得/(x)在(0,+8)上有唯一零点；

(ID(i)Q/(Ao)=O,.-./°-xo-tz=O，

11

"Jci—1<XQ<,2(a—1)e0__1</-W2(e--1)>

令g(x)=e*—x-1—%2(。<%<2),〃(x)=e*-x—1-5(0<x<2),

•—方面：h'(x)-ex-X-x-h^(x),4(x)=e*-1>0，

/.h'(x)>〃'(())=0,：.h(x)在(0,2)单调递增,h(x)>/?(())=0,

v-2-

e"—x—1——>0,2(e"—x—1)>x">

另一方面：Ql<a<2.,.a-l<l,

所以当％21时，向I£%成立,

因此只需证明当0<x<l时g(x)="—x—1—d40,

因为g'(x)=ex-l-2x=g|(x),g；(x)=e*-2=0nx=In2

当xe(0,ln2)时，g；(x)<0，当xe(ln2,l)时，g：(x)>0，

所以g'(x)<max{g'(0),g'⑴},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3<0,二.g'(x)<0,

.•心。)在(0,1)单调递减，，8")<8(0)=0,二/一工一1<¥，

11

综上，c—x0-1x()'〈2(e"~xa—1),Ra-I«与WJ2(a-1)-

xaa

(ii)«%)=xof(e°)=x0/(x0+d)=x0[(e-l)x0+a(e-2)]，

Q/'(x。)=2(e"-1)/+a(e"-2)>0,Ja-l4而<,2(q-1),

:/(%))>a-1)=Ja-l[(e"-1),a-1+a(cl—2)]=(e"—l)(a—1)+aJa—1(e"-2)

,因为l<a«2,所以e">e,aN2(a—1),

/(XQ)N(e-l)(tz-1)+2(a-1)Ja-l(e"-2),

只需证明2(a—1)J^T(e"—2)2(e—1)(。-I)2,

即只需证明4(e"—2)2N(e—l)2(a—1),

令s(a)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),

则s'(a)=8ea(ea-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,

s(a)>5(1)=4(e—2)2>0,即4(ea-2)2N(e—(a—1)成立，

x

因此x0/(e°)>(e-l)(6!-l)a.

【2019年】

8.【2019年高考全国I卷】已知函数/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)为/(x)的导数.证

明：

7T

(1)/'(x)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/(幻有且仅有2个零点.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】(1)设g(x)=/'&)，则g(x)=oosx———,g'(x)=-sinx+——J―?.

1+x(1+x)2

当时，g'(x)单调递减，而g'(O)〉O,g'(5)<O,可得g'(x)在(一1,5)

有唯一零点，

设为a.

则当xe(-l,a)时，g'(x)>0；当时，g'(x)<0.

所以g(x)在(T,a)单调递增，在(a,?单调递减，故g(x)在卜用存在唯一极大

值点，即/''(X)在存在唯一极大值点.

(2)/(x)的定义域为(-1,+8).

(i)当xe(—1,0］时，由(1)知，/'(x)在(一1,0)单调递增，而/'(0)=0,所以当

xe(-1,0)时，尸(x)<0,故/(x)在(一1,0)单调递减，又f(0)=0,从而x=0是/(x)在

(一1,0］的唯一零点.

(ii)当时，由(1)知，/'(X)在(0,a)单调递增，在(a,单调递减，

而—(())=(),-<0,所以存在力e,使得/(Z?)=0,且当xe(0,#)时，

\2/I2J

尸(幻>0；当/(幻<().故/(幻在((),£)单调递增，在单调递减-

又/(0)=0,/0=1—ln(l+3>0,所以当时，/(x)>0.从而，/(%)

在(0,擀没有零点.

(iii)当兀时，尸(x)<°，所以/(x)在(|,兀)单调递减.而

…,所以/⑴在加有唯一零点.

(iv)当X£(7t,4oo)时，ln(%+l)>l,所以f(x)<0,从而/(X)在(江,+00)没有零点.

综上，/(尢)有且仅有2个零点.

V*_1_1

9.【2019年高考全国n卷】已知函数/(x)=lnx-----.

x-1

(1)讨论/"(X)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

(2)设施是f(x)的一个零点，证明曲线尸Inx在点4(x),InxJ处的切线也是曲线y-ev

的切线.

【答案】(1)函数/(x)在(0,1)和(1,+8)上是单调增函数，证明见解析;

(2)见解析.

【解析】(1)f3的定义域为(0,1)(1,+8).

12

因为尸(%)=—+：~nr>°，所以/(x)在(o,1),(1,+8)单调递增.

X(x-1)

e+1「2।i「2Q

因为/'(e)=1--------<0,/(e2)=2一一-——=「；~->0.所以/1(x)在(1,+«5)

e-1e2-le2-l

有唯一零点为，即D=。.又/中=-巾+三一⑻肛故「

1

（X）在（0,1）有唯一零点一.

王

综上，f（x）有且仅有两个零点.

（2）因为L=eFM,故点8（-In刘，—）在曲线尸e,上.

%不

由题设知/（%）=0,即皿/=空「故直线48的斜率

玉）—1

1.1%+1

一—In/,

/_______:-%工。—1=1

Tn%—%%+19%

10

曲线片e、在点B（-lnx0,一）处切线的斜率是一,曲线y=lnx在点A（x0,lnx0）处

切线的斜率也是工,

%

所以曲线），=ln%在点A（Xo』n/）处的切线也是曲线尸e”的切线.

10.【2019年高考全国III卷】己知函数/'（X）=2犬—依2

（1）讨论的单调性;

（2）是否存在。涉，使得/（幻在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在,

求出〃力的所有值；若不存在，说明理由.

a=0a=4

【答案】（1）见解析；（2）{或，

b=—lb=1

【解析】(1)/'(x)=6x2-2ax-2x(3x-a).

令f'(x)=0,得x=0或x=I.

若a>0,则当x£(-oo,0)-,4-oo时，/'(x)>0；当时，fr(x)<0.故

\3Jv3)

f(x)在(-00,0),与+O0)单调递增，在(0个)单调递减；

若<9=0,/(X)在(TO,+OO)单调递增；

若水0,则当x£(-oo,'1］(0,+oo)时，fr(x)>0；当xw■1•,()］时，fr(x)<0.故

/(x)在［-oo,］)(0,+8)单调递增，在单调递减.

(2)满足题设条件的a,6存在.

(i)当aWOH寸，由(1)知，-(X)在>,1］单调递增,所以/(x)在区间［0,1］的最

小值为/(())=。，最大值为/(1)=2-。+从此时a,6满足题设条件当且仅当b=—l,

2—。+〃=1,即a=0fh=-1.

(ii)当a23时，由(1)知，/(x)在［0,1］单调递减，所以/(x)在区间［0,1］的

最大值为/(())=〃，最小值为/(1)=2—。+〃.止匕时&6满足题设条件当且仅当

2—。+。=—1,b=\,即a=4,ZFI.

(iii)当0<a<3时，由(1)知，/(x)在［0,1］的最小值为/=~^j+b，最大

值为6或2-。+/?.

若一土+〃=-1,ZFI,则。=3蚯，与0〈水3矛盾.

27

若-E-+人=-1,2-。+。=1,则。=36或。=—38或炉0,与0<水3矛盾.

27

综上，当且仅当所0,b=-1或折%房1时，在［0,1］的最小值为-1,最大值为

1.

1a

11.【2019年高考北京】已知函数/0)=^工一天9+尢.

(I)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程;

(II)当xe[-2,4]时，求证：x-6<f(x)<x；

（III）设厂的|/）（方*+a）eR,记F（x）在区间［一2,4］上的最大值为Ma）.当

M（a）最小时，求a的值.

64

【答案】（I）与y=x-万；（］［）见解析；（III）a=—3.

I,3

【解析】(I)由f(X)=—f+x得r(x)=—厂―2x+l.

44

令/■'0)=1,即1》2-2X+1=1,得X=0或X=?

又/（0）=（），

QQ

所以曲线、=/（X）的斜率为1的切线方程是y=x与y—最=x.

即y=X与y=%_竺

-27

(II)令g(x)=f(x)-x,x&[-2,4-].

由g(X)=—[%3,一/°得g,1)=二3*2-2X.

44

Q

令g'(x)=。得X=。或x=—.

g'(x),g(x)的情况如下：

QQQ

x-2(-2,0)0(0,1)|(1,4)4

g'(x)+-+

/、64

g(x)-60--0

所以g（x）的最小值为-6,最大值为0.

故-6<g(x)<0,即x-6W/(x)〈x.

(Ill)由(H)知,

当a<—3时，M(a)>F(0)=|g(())-a|=>3；

当a>—3时,M(a)>F(-2)=|g(-2)-a\=6+a>3；

当a=—3时，Af(a)=3.

综上，当M(a)最小时，。二一3.

12.【2019年高考天津】设函数/(x)=e*cosx,g(x)为的导函数.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)当xe时，证明/(*)+8(“)(三一%)20；

(TT冗)

(III)设七为函数〃(x)=/(x)—1在区间2mr+—,2mt+—内的零点，其中

<42J

-2n7C

证明2〃兀4----x<----------------•

2nsin%—cos/

37rit

【答案】(I)/(X)的单调递增区间为2也一下,2也十:(4£Z)"(x)的单调递减

_44_

TT57c

区间为2hc+-,2fou+—(ZEZ).(H)见解析；(III)见解析.

44

【解析】(I)由已知，有/'(X)=e*(cosx-sinx).因此，当

x4兀+：,2左兀+?)(Z£Z)时，有sincos%,得了'(x)<0,则/(x)单调递减;

当xe(2匕t—B，2"+TOleZ)时，有sinxvcosx,得/'(x)>0,则/(x)单调递

增.

所以，/(x)的单调递增区间为2人兀一子,2bt+；(&eZ),/(x)的单调递减区间为

2kTt+—,2kit+—(左eZ).

_44_

(II)证明：记心)=/(%)+g(x)\—x).依题意及(I),有

g(x)=eA(cosx-sinx),从而g'(x)=-2e*sinx.当无时，g'(x)<0,故

〃(x)=_f(x)+g，(x)1-%j+g(x)(-l)=g，(x)^-xj<0.

因此，/z(x)在区间;看上单调递减，进而〃(x)N〃O=/(/)=O.

所以，当xe—,—时，/(x)+—x[20.

(Ill)证明：依题意，=-1=0,即e""cosx“=l.记”=x“一2〃兀，

yx22,m

则"'且/(上)=""cosy”=e"-'^cos^x(-2/?K)=e~(neN).

由/(K)=e-2mt<l=/(%)及(I),得券2%.由(H)知，当时，

g<x)<0,所以g(x)在上为减函数，因此g(y,)«g(%)<gG)=0.又由(II)

,、(n\

知，/(%)+<?(")不一笫之0,故

I，7

71/(X,)e-2,me-2nne-2,m而

——"y---------——---------.

v

2.“一g(K)g(y,)—g(y。)e°(siny0-cosy0)sinx0-cosx0

兀e~2nn

所以，2〃7Td----X<-----------------.

2nsin%—cos玉)

13.【2019年高考浙江】已知实数QWO,设函数/(x)=qlnx+Jx+l,x>0.

(i)当。=一。时，求函数y(x)的单调区间；

4

(2)对任意xel-U+8)均有了。)<正，求。的取值范围.

e2a

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

【答案】⑴r(x)的单调递增区间是(3,+8),单调递减区间是(0,3)；⑵

33/____

【解析】(1)当。=——时，/(x)=——lnx+Jl+x,x>0.

44

31(Jl+J2)(2\/l+x4-1)

八幻二工+赤=

所以，函数/（x）的单调递减区间为（0,3）,单调递增区间为（3,+00）.

1

(2)由,得

2a4

当0<a4也时，/(x)《立等价于4—2加21nxN0.

42aa2a

令，=工，贝UN2g.

a

设8。）=/6-21«^一21!1%/之2血，

(i)当g,+g)时,

则

g(t)>g(2及)=8«-4及Jl+x-21nx.

记,(元)=4石一2血,1+x—Inx,x2g,则

2yf^212>/x>/x+1-s/2X-Jx+1

〃'(x)=

\fxJx+1xxjx+l

(尤—1)[1+<2)+2-1)]

xjx+l(«+l)(Jx+l+^2x)

故

j_

(；,D(l,+8)

X71

p'(x)—