2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省渭南市大荔县高一下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z2+i=2i,i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(−4,3)，则与向量a方向相反的单位向量是(

)A.−45,35 B.45,−33.军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”.1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小.若角α=1000密位，则α=(

)A.π6 B.π4 C.π34.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是A.y=cosx B.y=|sinx| C.5.已知sin(α−π6)+cosA.−725 B.725 C.−6.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列命题为真命题的是(

)A.若l//m，则α//β B.若α//β，则l//β

C.若l⊥m，则l⊥β D.若α⊥β，则l//m7.若△ABC的内角A，B，C满足sinA2=sinBA.12 B.14 C.−18.正三棱锥S−ABC的底面是面积为3的正三角形，高为22，则其内切球的表面积为A.83 B.8π3 C.8π9二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinx+1，则(

)A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)是奇函数

C.f(x)的图象关于直线x=π轴对称 D.f(x)的值域为[0,2]10.已知非零向量a,b,cA.若a⋅c=b⋅c，则a=b

B.若a+b=b，则2b>11.如图所示，若长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4.EA.B1E⊥A1B

B.平面B1CE//平面A1BD

C.12.如图所示，已知角α,β0<α<β<π2的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则(

)

A.∠AOB=β−α

B.OM=cosβ−α2

C.点C的坐标为cosα+β2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为

．14.若a=2,b=1，且a−b2=3，则a15.tan25∘+tan3516.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上､下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)(1)化简：−(2)已知tanα=3418.(本小题12分)

求一个复数z，使得z+4z为实数，且z−219.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB=90∘，PA⊥底面(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)若AC=BC=PA，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．20.(本小题12分)

在▵ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知B=π6,b=21.(本小题12分)已知函数f(x)=sinx+π(1)求常数a的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合．22.(本小题12分)已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)(1)若OT=−3,1(2)记向量ON=1,3的相伴函数为f(x)，求当f(x)=8(3)已知A(−2,3)，B(2,6)，ℎ(x)为(1)中函数，φ(x)=ℎx2−π3，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP答案解析1.A

【解析】因为z2+i=2i，则所以z对应的点为25故选：A．2.B

【解析】解：与向量a方向相反的单位向量为：

−a|a|=−3.C

【解析】解：α=1000密位4.B

【解析】解：在A中，y=cosx的最小周期是2π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；

在B中，y=|sinx|的最小正周期是π，在区间(π2,π)上为减函数，满足条件；

在C中，y=cosx2的最小正周期是4π，在区间(π2,π)上为减函数，不满足条件；

在5.B

【解析】解：因为32sinα−12cosα+cosα=35，

所以6.B

【解析】解：

若l//m，则α与β可能相交，A不正确;

若α//β，又l⊂α,则l//β，B正确;

若l⊥m，则l与β可能平行，C不正确;

若α⊥β，则l与m的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，D不正确．

故选：B．7.D

【解析】因为sinA2=sincos故选：D8.C

【解析】由题意可知：正三棱锥S−ABC的顶点S在底面ABC投影为▵ABC的中心O，设底面边长为a，侧棱长为b，其内切球的半径为r，由题意可得：12×a×a×由三棱锥的体积可得：13×所以其内切球的表面积为4πr故选：C．9.AD

【解析】对于A中，由正弦型函数的性质，可得fx的最小正周期为T=2πω对于B中，由f(−x)=−sinx+1≠−fx，所以f对于C中，由f(π)=sinπ+1=1不是函数fx的最值，所以fx的图象不关于对于D中，由−1≤sinx≤1，可得0≤sinx+1≤2，所以函数fx故选：AD．10.BD

【解析】对于A，若a⋅c=故a=b或c⊥(对于B，若a+b=即a2+2a则∣2b∣所以2b2>a+2对于C，若非零向量a,b，有a⋅b=0对于D，若a=2，b=(0,1),c则c=a⋅cos⟨故b⋅所以cosb所以cos⟨a,所以a,c=故选：BD11.CD

【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为则B1(2,0,4)，E(0,2,2)，A1B1E=(−2,2,−2)∵B1E⋅A1B在B中，B1(2,0,4)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，CB1=(0,−2,4)，CE=(−2,0,2)，设平面B1CE的法向量则n·CB1=−2y+4z=0设平面A1BD的法向量则m·BA1=−2a+4c=0∵m,n不共线，∴平面B1CE在C中，三棱锥C1VC1−在D中，三棱锥C1−B∴三棱锥C1−B∴三棱锥C1−B1C故选：CD．12.ABC

【解析】对于A：因为∠AOx=α,∠BOx=β，0<α<β<π2，所以对于B：依题意M为线段AB的

中点，则OM⊥AB，则∠AOM=β−α又OA=1，所以OM对于C：M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为AB⌢所以∠COx=α+β−α又OC=1，所以点C的坐标为cos对于D：x==1y==1所以点M的坐标为cosα+β故选：ABC13.32【解析】∵∴|α|=l故答案为：314.π3【解析】设a与b的夹角为θ，a−即4−2×2cosθ+1=3，解得故θ=π故答案为：π15.3【解析】解：tan25°+tan35°+3tan25°tan35°

=tan(25°+35°)(1−tan25°tan35°)+3tan25°tan35°

16.23【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，球的半径为r，则V1=πr所以V2故答案为：2317.解：(1)=(2)【解析】(1)利用同角三角函数关系求解即可；(2)利用弦切互化求解即可．18.解：由题意，设z=a+bi，a,b∈R，且a,b不同时为0，因为z+4z∈R所以b−4ba又z−2=2，即a−2+bi=联立①②解得a=4b=0，或a=1b=±所以复数z=4或z=1−3i或【解析】由题意，设z=a+bi，a,b∈R，且a,b不同时为0，则有b−4b19.解：(1)证明：因为

∠ACB=90∘所以

AC⊥CB

，又

PA⊥

底面ABC，CB⊂底面ABC，所以

PA⊥CB

，又

AC∩PA=A

，AC、PA⊂平面PAC，所以

CB⊥

平面PAC，因为

CB⊂

平面PBC，所以平面

PBC⊥

平面PAC；(2)如图所示：作

AO⊥PC

于点O，连接OM，因为平面

PBC⊥

平面PAC，平面

PBC∩

平面PAC=PC，AO⊂平面PAC，AO⊥PC，所以

AO⊥

平面PBC，则

∠AMO

即为AM与平面PBC所成的角．设

AC=BC=PA=tt>0

，则

AB=所以

AM=3t2

，又所以

OM=A所以AM与平面PBC所成角的正切值为

tan∠AMO=AO【解析】(1)由

∠ACB=90∘

，得到

AC⊥CB

，再根据

PA⊥

底面ABC，得到

PA⊥CB(2)作

AO⊥PC于点O，连接OM，由平面

PBC⊥

平面PAC，得到

AO⊥

平面PBC，则

∠AMO

即为AM与平面PBC所成的角求解．20.解：由正弦定理，得sinC=因为c>b,B=π6，所以π6<C<π，于是当C=π4时，a==当C=3π4时，a===故a=【解析】由正弦定理得C=π4或21.解：(1)∵函数f(x)=sinx+π6+sinx−π6∵sin (x+π6)的最大值为1，

∴2+a=1(2)由(1)可得fx=2sin (x+π6)−1，

根据三角函数的性质可得：2kπ+π2⩽x+π(3)由题意f(x)≥0，即2sin (x+π6)−1≥0，

可得：sin (x+π6)≥12，

∴2kπ+【解析】(1)首先利用两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简成为y=Asin(ωx+φ)的形式，再根据三角函数的性质可得a的值．

(2)将内层函数看作一个整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

(3)根据三角函数的性质求解f(x)≥0成立的x的取值集合．22.解：(1)∵ℎ(x)=msin又OT=−∴m=−2；(2)∵向量ON=(1,3又f(x)=