2023-2024学年河南省信阳市高级中学新校、北湖校区高一下学期期末测试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年信阳市高级中学新校、北湖校区高一下学期期末测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z3+i=3+i2024，其中i为虚数单位，则z的共轭复数zA.−25i B.−25 2.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A.若m//α,n⊂α，则m//n B.若m//α,α//β，则m//β

C.若m⊥α,m⊥n，则n//α D.若m⊥α,m//β，则α⊥β3.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为(

)A.15 B.25 C.354.记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=4,A=45∘，若角B有两解，则a的值可以是(

)A.2 B.22 C.25.如图，锐二面角α−l−β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=BD=6，CD=8，锐二面角α−l−β的平面角的余弦值是(

)A.14 B.13 C.236.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则(

)A.甲乙互斥 B.乙丙互为对立 C.甲乙相互独立 D.甲丙互斥7.已知正四棱台的体积为143，上、下底面边长分别为2,2A.20π B.25π C.36π D.50π8.如图，在扇形AOB中，扇形的半径为1,∠AOB=2π3，点P在弧AB⌢上移动，OP=aOA+bOBA.32 B.3C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是265

C.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D.若样本数据x1,x2,⋯,10.已知点A−2 , 3 , −3 , B2 , 5 , 1 , C1 , 4 , 0，平面α经过线段AB的中点D，且与直线A.线段AB的长为36

B.点P1 , 2 , −1在平面α内

C.线段AB的中点D的坐标为0, 4 , −1

D.直线CD与平面α所成角的正弦值为11.已知复数z1=2+3i,z2=3−4i,zA.z1+z2=z1+z2

B.Z1Z2=52

C.满足z=z三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a,b,b=3，向量a在向量b上的投影向量为1613.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)=

．14.已知四面体A−BCD中，棱BC，AD所在直线所成的角为60°，且BC=4，AD=3，∠ACD=120°，则四面体A−BCD体积的最大值是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄(单位：岁)进行分组：第1组15,25，第2组25,35，第3组35,45，第4组45,55，第5组55,65，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的

值并估算样本平均年龄(同组中的数据用该组区间的中点值作代表)及第78百分位数；(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在25,35和45,55内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在25,35内的概率．16.(本小题12分)如图，四边形PDCE为矩形，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面．∠ADC=∠BAD=90∘，F是线段PA的中点，PD=(1)求证：AC//平面DEF；(2)求点F到平面BCP的距离．17.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bc−a(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆的面积为7π3，sinB+sinC=18.(本小题12分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知边长为4，点E，F分别在A1B1，C1D(2)求直线AE和平面ABF所成角的正弦值；(3)求平面ABF和平面ABCD所成角的余弦值．19.(本小题12分)在Rt▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA(1)求角A；(2)已知c≠2b，a=23，点P，Q是边AC上的两个动点(P，Q不重合)，记①当θ=π6时，设▵PBQ的面积为S，求②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立?参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.AB

10.BCD

11.BD

12.3213.0.88

14.3215.解：(1)a+0.03+0.015+0.01×2样本平均年龄为20×0.1+30×0.3+40×0.35+50×0.15+60×0.1=38.5，各组的频率依次为0.1,0.3,0.35,0.15,0.1，0.1+0.3+0.35=0.75<0.78，0.1+0.3+0.35+0.15=0.9>0.78，所以第78百分位数在第4组，设为x，则0.75+x−45所以第78百分位数为47．(2)年龄在25,35的市民人数为200×0.3=60，年龄在45,55的市民人数为200×0.15=30，用分层随机抽样的方法抽取年龄在25,35的人数为6×6060+30=4人，年龄在45,55设年龄在25,35的4人为A，B，C，D，年龄在45,55的2人为E，F，从这6为市民中抽取两名的基本事件有AB,AC,其中2名年龄都在25,35内的基本事件有AB,AC,所以两名幸运市民年龄都在25,35内的概率为615

16.解：(1)设CP与ED相交于O，连接OF，∵PF=FA，PO=OC，∴OF//CA又OF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC//平面DEF(2)设A到平面PCB距离为ℎ，在梯形ABCD中，AB=AD=1∴S又∵PD⊥平面ABCD，PD=∴V又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，则PB=PD2+B所以有PB2+BC2而VA−PCB=又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离12

17.解：(1)因为bc−a所以b(b−a)+c(c−a)=(c−a)(b−a)，所以b2−ab+c所以cosA=因为A∈0,π，所以A=(2)因为△ABC的外接圆的面积为7π3，所以△ABC的外接圆半径为r=由正弦定理得asinA=2r因为sinB+sinC=由(1)知b2所以(b+c)2−7=3bc，得3bc=25−7=18所以△ABC的面积为12

18.解：(1)建立以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴，空间直角坐标系，

则可求A(4,0,0)，E(4,1,4)，C(0,4,0)，B14,4,4

AE=(0,1,4),CB1=(4,0,4)，设异面直线AE与B1C所成的角为α，

则cosα=|AE→·CB1→|AE→||CB1→||=1617×42=23417;

(2)令面ABF的法向量为n1=(x0,y0,z0)，

B(4,4,0)，F(0,1,4)19.解：(1)因为cosAa=所以sinA所以sinAcosB−因为A−B∈−π,π，C−A∈所以A−B=C−A或A−B+C−A=2×即2A=B+C或C=B+π(舍去)或B=C+π(舍去)，又A+B+C=π，所以A=π(2)①因为c≠2b，所以B=π2，又A=π3，a=2如图，设∠QBC=x，x∈0,

则在▵QBC中，由正弦定理，得BQsin所以BQ=在▵ABP中，由正弦定理，得B