2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.252.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l/​/α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是(

)A.90 B.88 C.82 D.764.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,b=4,c=21，则C=(

)A.90° B.45° C.60° D.30°5.已知非零向量a,b满足a=3b，且向量b在向量a上的投影向量为16a，则aA.30∘ B.45∘ C.60∘6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(

)A.6π B.8π C.16π D.20π7.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为(

)A.13 B.12 C.238.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC+3bsinAcosC=bsinB，则tanA的最大值是(

)A.32 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i是虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.复数z=3−5i的虚部为5

C.若复数z1，z2满足(z10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是(

)A.当a=22,c=4,A=30°时，有两解

B.当a=5，b=7，A=60°时，有一解

C.当a=2,b=4,A=30°时，无解

D.当11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1=2，D是边B1C1的中点，过点A.DE//AB

B.平面AB1C⊥平面ABDE

C.DE//平面AB1C

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.3，则P(A∪B)=______．13.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45∘，塔顶B的俯角为30∘，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75∘，则该座小山的海拔为

m；古塔AB的塔高为

m．

14.已知△ABC中，AB=22,∠A=45°,D为BC上一点，且BD=2DC，BE⊥AC，垂足为E，则AD⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）已知向量OA=(−3,1),OB=(1,−1),OC=(m,4),OD=(x,y)(m,x,y∈R)．

(1)若A，B，C三点共线，求m的值；

(2)若四边形16.（15分）如图，在三棱锥A−BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．

(1)若EF//平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；

(2)若BC=BD=AD=AC，证明：CD⊥AB．17.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2sinA+sinC)c=bsin2C．

(1)求角B的大小；

(2)若AC=67，点D是线段AC上的一点，且∠ABD=∠CBD，BD=4，求△ABC的周长．18.（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．

(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；

(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；

(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．19.（17分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3，AB=2AC=4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点F是线段CE的中点．

(1)求证：AF⊥平面BCE；

答案解析1.A

【解析】解：由题意，|z|=32+(−1)2.B

【解析】解：由直线l不在平面α内知：直线l上有两个点到平面α的距离相等⇒l//α或直线l与平面α相交，

l//α⇒直线l上有两个点到平面α的距离相等，

∴直线l上有两个点到平面α的距离相等是l//α的必要不充分条件．

故选：B．

3.A

【解析】解：一组数据为55，64，92，76，88，67，76，90，

从小到大排列为55，64，67，76，76，88，90，92，

因为8×80%=6.4，则这组数据的第80百分位数是第7个数为90．

故选：A．

4.C

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若a=5,b=4,c=21，

则可得cosC=a2+b2−c22ab=525.C

【解析】解：因为|b|cos所以cosa,b=12，又故选：C．6.D

【解析】解：正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，设外接球的半径为r，故

r2=12+2故选：D．7.C

【解析】解：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234,243,324,342,423,432}，共6种，

其中偶数有{234,324,342,432}，共4种，

所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为46=23．

8.D

【解析】解：因为csinC+3bsinAcosC=bsinB，

由正弦定理得c2+3abcosC=b2，

所以c2+3ab⋅a2+b2−c22ab=b2，所以a2=c2−b23，

由余弦定理得cosA=b2+c9.AD

【解析】解：i+i2+i3+i4=0，故A正确；

复数z=3−5i的虚部为−5，故B错误；

设z1=1+i，z2=2，则(z1−1)2+(z2−1)10.AC

【解析】解：对于A，因为a=22,c=4,A=30°，

可得22sin30°=4sinC，

可得sinC=22，

又因为0°<C<180°，c>a，

所以C=45°或C=135°，有两解，故A正确；

对于B，因为a=5，b=7，A=60°，

所以sinB=bsinAa=7×325=7310>1，无解，故B11.ABD

【解析】解：对于选项A：如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，

A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，

则有AB//平面A1B1C1，AB⊂平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE=DE，

可得DE//AB，故选项A正确；

对于选项B：因为D是B1C1的中点，BC=2，AA1=2，所以B1BDB1=BCB1B，

又∠DB1B=∠B1BC=90°，所以△B1BC∽△DB1B，所以∠BB1C=∠B1DB，

则∠BB1C+∠B1BD=∠B1DB+∠B1BD=90°，

所以B1C⊥BD，

因为AB⊥BC，AB⊥BB1BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面B1BC，

所以AB⊥平面B1BC，

因为B1C⊂平面B1BC，所以B112.0.6

【解析】解：因为事件A与B互斥，则P(A)P(B)=0，

又P(A)=0.3，P(B)=0.3，

则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.3=0.6．

故答案为：0.6．

13.475−25【解析】解：如图，在▵ACD中

，CD=50,∠ACD=45由正弦定理得ACsin∠ADC又sin105所以AC=5012×延长AB交CE于H，

则AH=ACsin又无人机飞行的海拔高度为500m，

所以该座小山的海拔为500−25(在▵ABC中，∠ACB=45又sin∠ACB=由正弦定理有ABsin15∘=AC故答案为：475−253，14.−4【解析】解：如图，因为BE⊥AC，所以以E为坐标原点，EA，EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，

因为AB=22,∠A=45°，所以EA=EB=2，则E(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，

又因为BD=2DC，过D作DF⊥AC于F，则DF/​/EB，所以DFBE=CDCB=13，

得到DF=13BE=2315.解：(1)因为OA=(−3,1),OB=(1,−1),OC=(m,4)，

所以AB=OB−OA=(1,−1)−(−3,1)=(4,−2)，AC=OC−OA=(m,4)−(−3,1)=(m+3,3)．

又A，B，C三点共线，所以AB//AC，所以4×3−(−2)(m+3)=0，

解得m=−9．

(2)由AB=(4,−2),BC=OC−OB=(m,4)−(1,−1)=(m−1,5)，

CD=OD【解析】(1)由OA=(−3,1),OB=(1,−1),OC=(m,4)，由A，B，C三点共线，可得m=−9．

(2)由AB=(4,−2),BC=16.(1)解：F是CD的中点，理由如下：

若EF//平面ABC，由EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面ABC=AC，

得EF//AC，又E是AD的中点，F在CD上，

所以F是CD的中点；

(2)证明：取CD的中点G，连接BG，AG，

因为BC=BD=AD=AC，G为CD中点，

所以CD⊥AG，CD⊥BG，

因为BG∩AG=G，所以CD⊥平面ABG，

因为AB⊂平面ABG，

所以CD⊥AB．

【解析】(1)根据线面平行的性质定理得EF//AC，从而根据E是线段AD的中点即可确定点E的位置；

(2)通过等腰三角形的性质证得CD⊥AG，CD⊥BG，从而利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面ABG，最后利用线面垂直的性质定理即可证明．

17.解：(1)依据题干条件(2sinA+sinC)c=bsin2C，

根据正弦定理可得(2sinA+sinC)sinC

=sinBsin2C

=2sinBsinCcosC，

又因为sinC>0，

所以2sinA+sinC

=2sinBcosC

=2sin(B+C)+sinC

=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，

所以2cosBsinC+sinC=0，

所以(2cosB+1)sinC=0，

又因为sinC>0，

所以2cosB+1=0，

所以cosB=−12，

又因为B∈(0,π)，

所以B=2π3．

(2)由题意可知∠ABD=∠CBD=π3，又因为三角形ABC包括三角形ABD和三角形DBC，

即S△ABC=S△ABD+S△DBC，

所以S△ABC=12acsin2π3=12c×4sinπ3+12a×4sinπ3，

【解析】(1)根据已知条件和正弦定理求解．

(2)根据第一问所求角度，在利用余弦定理求解即可．

18.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，

解得a=0.040，

则综合评分的平均数为x−=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；

(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，

一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，

从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10个样本点，

记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7个样本点，

所以所求的概率为P=710；

(3)z【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出a的值，再结合平均数的定义求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解；

(3)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．

19.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AC⊥CB，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又AF⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥AF，

在矩形ACC1A1中，AA1=3，AC=2，点E是棱A1C1的中点，

所以AE=EC=2，所以△AEC是等边三角形，

又点F是线段CE的中点，所以AF⊥EC，

又CE∩BC=C，CE，BC⊂平面BCE，

所以