2025高考数学一轮复习-7.6.1-向量法求空间角-专项训练【含答案】

7.6.1-向量法求空间角-专项训练1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝3.(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PC-B的大小．2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E.(1)求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；(2)当三棱锥B1-BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．3．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AA1＝23，E为线段DD1上一点．(1)求证：AC⊥B1D；(2)若平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB1E4．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上的动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围．参考答案1．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，所以△PAB为直角三角形，又因为PB＝PA2+AB2＝2，所以PB2＋BC2＝PC2，则△PBC为直角三角形，故BC⊥PB.又因为BC⊥PA，PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP＝(0，0，1)，AC＝(1，1，0)，BC＝(0，1，0)，PC＝(1，1，－1)．设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·AP令x1＝1，则y1＝－1，所以m＝(1，－1，0)为平面PAC的一个法向量，设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·BC令x2＝1，则z2＝1，所以n＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量，所以cos〈m，n〉＝m·nmn＝又因为二面角A-PC-B为锐二面角，所以二面角A-PC-B的大小为π32．解：(1)证明：取BC1中点M，连接EM，MD，如图所示．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，又∵M是BC1的中点，∴DM∥CC1，又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1∥CC1，AA1⊥平面ABC，∴DM∥AE，DM⊥平面ABC，∵AD∥平面BC1E，且AD⊂平面ADME，平面ADME∩平面BC1E＝EM，∴AD∥ME，∵CC1⊥平面ABC，且AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，又∵CC1∩BC＝C，且CC1，BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C.又∵AD∥ME，∴ME⊥平面BB1C1C，∵ME⊂平面BC1E，∴平面BC1E⊥平面BB1C1C.(2)由(1)知ME⊥平面BB1C1C，则VB1−BC设BC＝2a，则BD＝a，AD＝9−a2，S△B1BC∴VB1−BC1E＝13由基本不等式知，当且仅当a＝9−a即三棱锥B1-BC1E的体积最大，此时a＝32以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有A322，0，0，C0，−322，0，B0，322，0，E322，0，32，C10，则有n取y1＝2，解得n＝(0，2，2)为平面BC1E的一个法向量，设直线AC与平面BC1E所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AC〉|＝33×2+故直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为663．解：(1)证明：连接BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDB1，∴AC⊥平面BDB1．又B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.(2)设CD的中点为F，连接AF，如图．∵△ACD为等边三角形，∴AF⊥CD，又CD∥AB，则AF⊥AB.又AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥AB，AA1⊥AF.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，E(－1，3，h)(0≤h≤23)，B1(2，0，23)，AB1＝(2，0，23)，AE＝(－1，3，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·A令x＝3，则n＝(3，h＋3，－3)为平面AB1E的一个法向量．又平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，则cos〈n，m〉＝n·mn又平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25∴3ℎ2+23ℎ+15＝25∴h＝32ℎ=−53cos〈BE，n〉＝BE·nBEn＝∴直线BE与平面AB1E所成角的正弦值为8174．解：(1)证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF.又EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF，又BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l.以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(0，