2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练一、单项选择题1．已知向量a，b的夹角为π6，且|a|＝2，|b|＝1，则a·(b－aA．3－4 B．33－4C．－2 D．12．已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝()A．－2 B．－1C．0 D．13．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为()A．55 B．3C．23 D．4．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b上的投影向量为()A．－a B．－bC．a D．b5．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA·ABA．8 B．－8C．4 D．－46．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA＝(4，3)，sB＝(－2，6)，则sB在sA上的投影向量的长度为()A．10 B．102C．1010 7．(2024·重庆模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(22，1)，则|3a＋b|＝()A．22 B．15C．32 D．58．已知向量a＝(2，m)，b＝(3，1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．−C．−6D．−6二、多项选择题9．设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是()A．若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)C．若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直D．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直10．已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则()A．|OP1|＝|B．|AP1|＝|C．OA·OD．OA·O三、填空题11．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥OA，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标：________．12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．13．已知非零向量AB，AC满足AB·BCAB＝AC·CBACA．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示的是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则PE·已知△ABC的面积S满足3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB与BC的夹角为θ，则AB与参考答案1．A[a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cosπ6－22＝32．B[向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B.]3．A[根据题意，设a与a＋b夹角为θ，因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，则cosθ＝a·a+ba4．B[∵|a＋b|＝|a－b|，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0，∴a－b在b上的投影向量为b·a−bb·b5．B[法一：CA·AB＝－AC·AB＝－AC·ABcos∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以ABcos∠CAB＝法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则CA＝(－4，0)，AB＝(2，－b)，∴CA·]6．D[设sB与sA的夹角为θ，则cosθ＝sB·sA|所以sB在sA上的投影向量的长度为||sB|cosθ|＝210×1010＝2.故选7．D[因为|a＋b|＝222+12＝3，即|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同向，所以|3a＋b8．C[因为a＝(2，m)，b＝(3，1)，所以a·b＝6＋m.因为向量a，b的夹角是锐角，所以a解得m>－6，且m≠23所以实数m的取值范围是−6，9．AB[∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，故a⊥b，故A正确；∵|a|＝|b|,∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，故由向量垂直的性质可知，(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；∵a·c＝b·c，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0，∴a－b与c垂直，故C错误；∵[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，∴根据向量垂直的性质可知，(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误．故选AB.]10．AC[由题可知，|OP1|＝cos2α+sin2α＝1，|OP取α＝π4，则P122，22则P2−22，22，则|AP1因为OA·OP3＝cos(α＋β)，OP1·OP2＝cosαcosβ－sinαsinβ因为OA·OP1＝cosα，OP2·OP3＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2则OA·OP1＝22，OP2·11．(－1，－2)(答案不唯一)[根据题意可得：OA＝(1，2)，OB＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥OA，且m与OB的夹角为钝角，所以1·y=2·x，3·12．－92[法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c∴a·b＋b·c＋a·c＝－92法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－12由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－12由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－72∴a·b＋b·c＋c·a＝－9213．D[∵AB·BCAB＝AC·CBAC，∴AB·BCAB∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵ABAB·ACAC＝12，∴cos〈AB，AC〉＝12，∴cosA＝12，又A∈14．2[如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，BE的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，由题意知，E(2，0)，O(0，0)，则PE＝(2－cosθ，－sinθ)，OE＝(2，0)，所以PE·OE＝4－2cos