2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练一、单项选择题1．下列命题正确的是()A．|a|＝|b|⇒a＝b B．a≠b⇒|a|≠|b|C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝02．在△ABC中，BD＝12DC，则A．14AB+34C．13AB+23．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＋2MB＋2MC+A．AB B．CDC．2AB D．14．已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，若AB∥AC，则有()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝15．对于平面内n个起点相同的单位向量ai(i＝1，2，…，n，n＝2k，k∈N＊)，若每个向量与其相邻向量的夹角均为2πn，则a1与a2＋…＋anA．垂直 B．反向平行C．同向平行 D．无法确定6．若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是()A．a＝0B．存在实数λ，使得a＝λbC．存在实数m，n，使得ma＝nbD．|a－b|＝|a|－|b|7．P是△ABC所在平面上一点，满足PA+PB+PC＝2AB，△ABC的面积是S1，△PABA．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S28．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，且FC＝λFD＋μFE，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4二、多项选择题9．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是()A．|MA|＝|MB|＝|MC|B．MA+MBC．BM＝2D．S△MBC＝13S△10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若BM＝13BC，则AMB．若AM＝2AC－3AB，则M，B，C三点共线C．若AM＝λ(AB+AC)，BM＝(1－2μ)BC，λ，μ∈R，则λ＋μD．若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的三、填空题11．e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1−e12．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋13．在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为线段BE上任一点(不含端点)，若AP＝xAB＋yAC，则1xA．8 B．10C．13 D．1614．在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，即称为经典的“奔驰定理”．已知点O是△ABC所在平面内一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心15．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP＝xAB＋yAC，则2x＋2y的最大值为()A．83 C．43 16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝34AB+14AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设BO＝xBM＋yBN参考答案1．D[对于A，两个向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误；对于B，若两个向量是相反向量，则两个向量的模相等，所以错误；对于C，向量平行不能得到向量相等，所以错误；对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．]2．B[∵BD＝12DC，∴AD−AB＝12(3．A[M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＝－MC，MD＝－所以MA＋2MB＋2MC+MD＝MA+MC+MC+MB+4．C[因为AB∥AC，所以存在实数k使AB＝kAC.因为AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，所以λa＋b＝k(a－μb)，可得λ=k，5．B[根据题意可得a1＋a2＋…＋an＝0，所以a2＋…＋an＝－a1，所以a1与a2＋…＋an的位置关系为反向平行.故选B.]6．C[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝nm，其中m，n同号，即a＝nmb，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|7．B[∵PA+PB+PC＝2AB∴3AP＝BC，∴AP∥BC且方向相同，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝12|AP|·h，S△ABC＝12|BC|·h，又∵|BC|＝3|AP|，∴S△PAB＝13S△ABC，S1＝3S8．D[∵FC＝FO+OC＝4FO＝4×12(FD+FE)＝2FD＋2FE，∴λ＝μ＝2，9．BD[如图，M为△ABC的重心，则MA+MB+BM＝BD+DM＝BD+13(由DM＝13AD得S△MBC＝13S△ABC10．ACD[A选项，AM＝AB+BM＝AB+13BCB选项，假设M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB−AM＝λ(AC−AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)AB，故当λ＝－2时，即AM＝2AC−AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以C选项，根据AM＝λ(AB+AC可知点M在直线AD上，又由BM＝(1－2μ)BC，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝12，1－2μ＝12，即μ＝14，所以λ＋μD选项，因为AM＝xAB＋yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1，不妨设AQ＝3AM，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的211．－8[依题意得，BC＝−e1－3e2，于是BD＝BC+CD＝−e1−3e2+2e1−e2＝e1－4e2，由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得AB＝λBD，即2e1＋ke2＝12．2[连接AO(图略)，则AO＝12(AB＋AC)＝m2AM＋n2AN，因为M，O，N三点共线，所以m2＋n13．D[由题意，如图，AP＝λAB＋(1－λ)AE，且0<λ<1，又AC＝3AE，所以AP＝λAB+1−λ3AC，故x=λ，y=1−λ3，且0<λ<1，故1当且仅当1−λλ＝9λ1−λ，即λ＝所以1x14．B[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝12a·h2，S△OAC＝12b·h3，S△OAB＝12c·h1，因为S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC＝0，即a·h2·OA＋b·h3·OB＋c·h1·OC＝0，又因为a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，所以h1＝h15．A[(等和线定理)作BC的平行线与圆相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，∵BC∥EF，∴AEAB＝AFAC＝∴AE＝43AB，AF＝43AC，AP＝λAE＋μ∴2x＋2y＝83(λ＋μ)＝8故选A.]16．1∶4107[由A