2021-2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修第一册

模块综合测评

（满分：150分时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={x|—2v%vl},5={小<—1或x>3},贝ljAGB=()

A.{x\—2<x<—1}B.{x\~2<x<3}

C.{x|-1<X<1}D.{x|l<x<3)

A［在数轴上表示出集合A,B,如图所示.

由图知AnB={x［—2<x<-l}.］

x—1

2.函数八元）=干在区间［2,3］上的最大值为（）

A.B.1

C.2D.2

x—12

D匚/尤）=干=1一币在区间⑵引上单调递增,

%—13—11

...函数40=干在区间［2,3］上的最大值为{3）=^^=5，故选DJ

3.已知a,际R,则“存在kez使得a=E+（—l）%”是“sina=sin£”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

C［当％=2"为偶数时，a=2/m+£,

此时sina=sin（2"兀+夕）=sin/,

当左=2〃+1为奇数时，a=2"兀+兀一从此时sina=sin（兀一£）=sin夕，即充分性成立，

当sina=sin/,则a=2“7t+/,"GZ或a=2〃兀+兀一£,即a=防t+（—1）%,即

必要性成立，贝”“存在％GZ使得。=阮+（—1）%”是“sina=sin。”的充要条件，故选C」

4.已知x,yGR,贝！］龙>y>0,贝l］()

A.--->0B.sin%—sin)；>0

尤y

D.Inx+lny>0

1i<IY

C［Vx,y£R,且,sinx与siny的大小关系不确定，团<

y

3,即<0,Inx+lny与0的大小关系不确定.故选C.]

5.函数y=Incos乂~的图象是（

)

A[由偶函数排除B、D,VO<cosx^l,・・・yWO,・•・排除C.故选A.]

3

6.已知a为锐角，且cosl贝Ucos2Q=(

a+V5')

247

A.B.

2525

_2424

C.-25D.

713

A[V0<«<^,cosfa+7)=

25'

.兀I71

••泮+石71，.,

・•.兀717171兀、.兀71■4x2s/2_3^2=^2

—4JCOS4—COS|a+sin=X

..sina=smI'4/4=sin4jl45252-10,

224

cos2a=1—2sin2(z=1—2X=云故选A」

7.已知函数y=〃-2+2（〃>O,aWl）的图象恒过定点（祖，几），且函数y=log2（>u2+bx+

九）在区间（一8,1]上单调递减，则实数6的取值范围为（）

A.[-5,-4)B.(-5,-4]

2

B「・•函数2+2(〃>0,的图象恒过定点(2,3),Am=2,〃=3,.*.y=log2(2x

+/zx+3).

又y=log2（2/+fcr+3）在区间（-8,1]上单调递减,

.1

,・・・一5<Z?W—4,故选B.]

[2+b+3>0

8.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建

K

立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的Logistic模型：/（。=]+已-0.23（厂53），

其中K为最大确诊病例数.当/（f*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则，约为（In

133）（）

A.60B.63

C.66D.69

C［由题意可知，当/（f*）=0.95K时，］+屋品《*-53）=0.95&即焉=1+

023（f,-53

e-o.23（件-53）,e-o-23（产-53）=得，e-）=19,A0.23（/*-53）=ln19^3,；工*心66.故选C.］

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分.

9.已知不等式加+bx+c>0的解集为（一/2）,则下列结论正确的是（）

A.a>0B.b>0

C.c>0D.〃+/?+c>0

BCD［因为不等式af+bx+oO的解集为（一3，2）,故相应的二次函数於）=加+法

+。的图象开口向下，所以。<0,故A错误；

1b3

易知2和一5是方程加+"+c=0的两个根，则有一c=—1<0,-—=5>0,又〃<0,故

b>0,c>0,故BC正确；

由二次函数的图象（图略）可知_/U）=a+b+c>0,故D正确.故选BCD.］

10.对于函数/OOnaV+bsinx+cm，bGR,<?GZ）,选取a,b,c的一组值去计算八一

1）和11）,所得出的正确结果可能是（）

A.2和6B.3和9

C.4和11D.5和13

ABD［函数五彳）=加+庆皿尤+c,

所以八l）=a+bsin1+c,/（—l）=-a—bsin1+c.所以犬1）+八-l）=2c,因为cGZ,所

以汽D+八一D为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.］

11.关于函数«x）=sin|x|十|sin尤|的叙述正确的是（）

A.於）是偶函数

B.府）在区间住兀）单调递增

C.八尤）在［一兀，无］有4个零点

D.犬x）的最大值为2

AD［A.e.*y（—x）=sin|-x|+|sin（—x）|=sin|x|+|sinx\=fix）,，危）是偶函数，故正确；

B.当％£便兀）时，fix）=sin|x|+|sinx\=2sinx,故痴:）在.兀）单调递减，故错误;

C.当x£[0,兀]时，令/x)=sin|%|+|sin%|=2sin%=0,

得了=0或%=兀，又危）在［―兀，兀］上为偶函数，.\/（%）=0在［—兀，兀］上的根为一兀，0,

兀，有3个零点，故错误；

TT、TT

D.*/sin|x|^l,|sinx|^l,当％=］+2E/£Z）或x=-5—2左兀（左£Z）时两等号同时成立,

・・・«x）的最大值为2,故正确.故选AD.］

12.设〃=logo.20.3,Z?=log20.3,则（）

A.—<7B.ab<0

ab

C.a+b<0D.ab<a+b

BCD［：a=Cgo.20.3=黑；>0,6=log2（）.3=^^<0,

5

_lg0.3.0.3_恒0.3（但5_怛2）_吆0-33.

a+b~lg2lg5—1g21g5—lg21g5'

10

lg0.31g0.3_坨♦3,1行

ab=~lg2'lg5―lg21g5，

W,5lg0.3以

,lg3lg2,lg21g50,

：.ab<a+b<0.iki&BCD.］

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.设扇形的周长为6,面积为2,则扇形中心角的弧度数是.

2R+aR=6,

1或4［设扇形的半径为R,圆心角为%则｛1.解得。=1或4.］

1,

14.十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数1%）=「被

10,XELRQ

称为狄利克雷函数.狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点（也，

y）在其图象上，则>=.

［1,xGQ

0「；於）=八ur八，又/G［RQ，

10,尤［RQ

ITTT

15.设G>0,若函数y（x）=2sins:在不，］上单调递增，则口的取值范围是.

97171

（0,1］U5［令2祈一（左£Z）,

八,,目2析71,72左兀,71,°、

解付一「WxW+丁（％z£Z）,

co2coCD2①'）'

ITIT

当2°时，一五4〈五,

兀>兀

由题意可得：12。"2,即o<oWl,

@>0

当k=l时，羽WxW瑞,

2cL2o

由题意可得：〈c,即5WOW5.

卫生2

■'3

「9

故答案为（0』］U|j,5j1.］

3x

16.设函数«x）=f+9的最大值是。，则〃=.若对于任意的工£［0,2）,a＞x2~x

+》恒成立，则b的取值范围是.（本题第一空2分，第二空3分）

1r31

21—8,--［当时，y（x）W0;

当尤＞0时，»=^+9=^9^^p=^9=y

9

当且仅当x=~,即x=3时取等号，

综上可得，危）max=；,即〃=/.

由题意知x2—x+b＜］在［0,2）上恒成立，

即x1—x+Z?—^＜0在［0,2）上恒成立.

令9（x）=f—%+/?—3，不£［。,2）,

13

则9（X）＜9（2）,则4—2+Z?—2^0,即。・一亍］

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）计算下列各题：

（1）0.008lT+（4牛¥+（m）一母一16一。75；

（2）（lg5）2+lg2-lg50+21+log2^.

［解］（1）0.0081T+（4-T）2+（V8）-3-16^0-75

4ZX

=（0.3）T+2（T）X2+2-X（）_24X（-0.75）

=0.3+2-3+2-2-2-3

=0.55.

(2)(lg5)2+lg24g50+21+log2^

=(lg5)2+lg2-[lg(2x52)]+2・21°与后

=(lg5)2+lg2-(lg2+21g5)+24

=(lg5+lg2>+2小

=1+2小.

18.(本小题满分12分)某同学用"五点法”画函数y(x)=Asin(0x+9)(<o>O,101Vg在某

一个周期内的图象时，列表如下：

713兀

cox+(p0712兀

2~2

71K7兀5兀1371

X12312~6~12

Asin(GX+夕)040-40

（1）请根据上表数据写出函数危）的解析式，并求出犬。），犬兀）；

（2）若函数«r）的值域为A,集合C={x|〃z—6W无W优+3}且AUC=C,求实数机的取值

范围.

［解］（1）根据表中已知数据，解得A=4,。=2,

即於）=4sin（2x+夕）,

又由当X*时，信）=4sin（2义守+夕）=4,

解得夕=_去

所以汽0)=4sin[一习=-2,的)=4sin(2兀*)=4sin(磊=—2.

(2)由⑴可得危)=4sin(2x—*[—4,4],

所以A=[—4,4],

［m—6W—4,

又AUC=C,所以ACC,所以

［m+3^4,

解得1W机W2.

所以实数m的取值范围是［1,2］.

19.（本小题满分12分）已知函数段）=公由（2%一］—2cos2口+意〃>0）,且满足

（1）求函数y（无）的解析式及最小正周期；

（2）若关于x的方程处0=1在区间［0,加上有两个不同解，求实数相的取值范围.

从①/（X）的最大值为1,②人无）的图象与直线y=—3的两个相邻交点的距离等于兀，③Kx）

的图象过点《，0）这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.

［角符（1）函数f（x）=〃sin（2x—§—2cos2口+袭）

=（〃+l）sin（2x一习―1.

若满足①/"）的最大值为1,则〃+1=2,解得〃=1,

所以加0=2sin（2x一袭）—1,

/（%）的最小正周期为了=5=兀

（2）令危）=1,得

7TTT

解得2x—%=N+2E,kRZ,

兀

即％=1+%兀，々£Z;

若关于x的方程火工）=1在区间［0,加上有两个不同解，贝4x=为或牛.

所以实数机的取值范围是

若满足②/（X）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于71,且y（x）的最小正周期

,,271

为7=5=兀,

所以-3+1）-1=—3,解得a=l.

以下解法均相同.

若满足③/（x）的图象过点他0）,

则/《）=（a+l）sin袭一1=0,解得<7=1.

以下解法均相同.

20.（本小题满分12分）已知点（地，2）在幕函数y=/U）的图象上.

⑴求犬工）的表达式；

(2)设g(尤)=大犬)一尤-2,求函数y=g(x)的零点，推出函数y=g(x)的另外一个性质(只要求

写出结果，不要求证明)，并画出函数y=g(x)的简图.

［解］(1)因为犬刈为森函数，所以设兀0=K,

又(也，2)在«x)的图象上，所以陋尸=20a=2,

所以y(x)=f.

(2)由(1)知1x)=r,故g(x)=/一5,

令g(x)=0,解得x=1或X——1,

故函数y=g(无)的零点为±1.

g(x)=x2一",故其定义域为(-8,0)0(0,+0°),值域为R,又g(一尤)=(—x)2—(「丁

,1

=*_J=g(x),

故g(x)为偶函数，根据单调性的性质可知g(x)在(0,+8)上单调递增，在

(一8,0)上单调递减；

(以上性质任选其一即可)

函数y=g(x)的图象如图.

21.(本小题满分12分)如图，在半径为小，圆心角为60。的扇形的

弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点0在。4上，点N,

M在上，设矩形的面积为y.

(1)按下列要求写出函数的关系式：

①设PN=x,将y表示成x的函数关系式；

②设NPOB=0,将y表示成。的函数关系式；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值.

［解］(1)①因为QW=PN=x,所以MN=ON—OM=N3—f—^|,

所以y=MN-