2024年甘肃省陇南州徽县四中中考数学三模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年甘肃省陇南州徽县四中中考三模数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.实数−5的相反数是(

)A.5 B.−5 C.±5 D.12.若a4=b3，则aA.34 B.43 C.12 3.下列计算正确的是(

)A.2+3=5 B.4.若直线y=kx+2(k是常数，k≠0)经过第一、二、三象限，则k的值可能为(

)A.−3 B.−2 C.−1 D.15.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交CD于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交BA的延长线于点E，则AE的长是(

)A.12 B.C.1 D.56.方程13x=2x+5A.x=−1 B.x=0 C.x=−3 D.x=17.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE=5，AB=8，则FC=(

)A.4

B.3

C.5

D.88.某同学统计了自家居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了如图所示的直方图(每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值).根据图中信息，以下说法不正确的是(

)A.这栋居民楼共有居民125人

B.每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多

C.每周使用手机支付次数小于21次的有15人

D.每周使用手机支付次数在35～42次的人数占总人数的19.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为(

)A.35° B.45° C.55° D.65°10.如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为(

)

A.8 B.6 C.4 D.3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.因式分解：4x2−1=

12.若方程x2−(k−1)x−k−1=0的两根互为相反数，则k=______，若两根互为倒数，则k=______．13.根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异.今两算得失相反，要令正负以名之.”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”.如果向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作______．14.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=

.

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=______．16.图1所示是第十九届亚洲运动会会徽，名为“潮涌”，其主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成.现将本届亚运会会徽扇面抽象为图2所示扇形的一部分(阴影部分)，若其半径OA=7cm，AC=4cm，圆心角∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积等于______．三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：2×18.(本小题6分)

求方程组3x+y=22x−y=3．19.(本小题6分)

化简：x−yx−y+20.(本小题8分)

已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°．

求作：射线CG，使得CG//AB．

下面是小甲同学设计的尺规作图过程．

作法：如图2

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；

②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于F点；

③以点F为圆心，DE长为半径作弧，与②中作的弧在∠FCB内部交于点G；

④作射线CG.所以射线CG就是所求作的射线．

根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)，并完成证明．21.(本小题10分)

目前国内有137座国家历史文化名城，其中甘肃有四座，分别是张掖、武威、敦煌和天水.甘肃四座国家历史文化名城中，有三座位于河西走廊，均属于汉武帝时设立的河西四郡成员.李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”的4张卡片背面朝上放在桌面上(这4张卡片除正面外，其他完全相同)，邀请小红上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容(四张卡片分别记为A，B，C，D.)

(1)求小红从中随机抽取到的卡片上印有“敦煌莫高窟”的概率；

(2)若小红第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张(放回重新排列)，小兰第二个上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小红、小兰两人至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的概率．22.(本小题10分)

郇家庄白塔，位于甘肃省徽县粟川乡，是我国历史时期的重要文物，建于宋朝时期，清道光年间重修.塔身为多层叠涩承托平座的楼阁式砖筑空心塔，现为省级文物保护单位.学完三角函数知识后，同学们决定用自己学到的知识测量郇家庄白塔的高度.如图，AF是高为1米的测角仪，在A处测得塔顶端D的仰角(即∠DAE)为66°，向塔方向前进9.18米在B处测得塔顶端D的仰角(即∠DBE)为84°39′，求郇家庄白塔DC的高度(精确到1米，参考数据sin84°39′≈0.996，cos84°39′≈0.09，tan84°39′≈10.67，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)．

23.(本小题10分)

电影《第二十条》通过与法律相关的3个案件，开辟了电影艺术与普法结合的新境界，生动宣传“正当防卫”的法治精神，深刻阐释“法不能向不法让步”的法治理念，在社会上引起强烈反响.弘扬传播法治正能量为中国式现代化凝聚法治力量.为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组(60≤x<70)、B组(70≤x<80)、C组(80≤x<90)、D组(90≤x≤100)，并绘制出如下不完整的统计图．

(1)被抽取的学生一共有______人；并把条形统计图补完整；

(2)所抽取学生成绩的中位数落在______组内；扇形C的圆心角度数是______；

(3)若该学校有2000名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？24.(本小题10分)

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于点A(6,−3−2n)，点B(n,−3)，与y轴交于点C．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)点D是点C关于x轴的对称点，连接AD、BD，求25.(本小题10分)

如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．

(1)求证：EF为⊙O的切线；

(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．26.(本小题10分)

【提出问题】

(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：BM=CN．

【类比探究】

(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论BM=CN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

(3)如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，AB=6，AC=4，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

27.(本小题10分)

如图1，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的14，求点P的坐标；

(3)过点C作直线l//x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象(如图2)，请你结合新图象解答：当直线y=−12x+d与新图象只有一个公共点

参考答案1.A

2.B

3.B

4.D

5.C

6.D

7.A

8.C

9.C

10.C

11.(2x+1)(2x−1)

12.1

−2

13.−70米

14.72°

15.12516.40317.解：原式=6−618.解：3x+y=2①2x−y=3②

①+②得：5x=5，

解得x=1，

把x=1代入①得：3×1+y=2，

解得y=−1，

∴原方程组的解为x=1y=−119.解：原式=x−yx−y+x+y2x+y⋅(2x+y)20.解：如图，射线CG即为所求．

21.解：(1)由题意得：随机抽取1张卡片，上面印有“敦煌莫高窟”的概率为14，

(2)将“张掖七彩丹霞”“武威文庙”“敦煌莫高窟”“天水麦积山石窟”分别记作A，B，C，D，列表如下：ABCDA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)由表格知，共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”的结果有7种，

所以P(两人中至少有一人选中“张掖七彩丹霞”)=71222.解：如图，延长AB与CD相交于E，则AE⊥CD于E，

则AF=BG=CE=1，AB=FG=9.18米，

在Rt△DBE中，tan∠DBE=DEBE，设DE=x米，

∴BE=DEtan84∘39′≈110.67x米，

在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，

∴AE=xtan6623.(1)∵B组人数为12人，所占的百分比为20%，

∴总人数为12÷20%=60(人)，

∴C组人数为60−6−12−18=24(人)，

补全条形统计图如图：

(2)根据中位数的定义，60个数中位数为第30，31个数的平均数，根据条形统计图可知第30，31个数都位于C组，

∴中位数落在C组，

扇形C的圆心角度数是360°×2460=144°；

(3)2000×1860=600(人)，

答：估计这次竞赛成绩在24.解：(1)∵点A(6,−3−2n)，点B(n,−3)是y=kx(k≠0)的图象与直线y=ax+b的交点，

∴6(−3−2n)=−3n，

解得n=−2，

∴A(6,1)，B(−2,−3)，k=6，

∴反比例函数的解析式为y=6x，

将点A(6,1)，B(−2,−3)代入一次函数y=ax+b中，

得6a+b=1−2a+b=−3，

解得a=12b=−2，

∴一次函数的解析式为y=12x−2；

(2)对于直线y=12x−2，

令x=0，得y=−2，

∴点C的坐标为(0,−2)，

∵点D是点C25.解：(1)证明：如图，连接OE，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE，

∵DF=FE，

∴∠FED=∠FDE，

∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90°，

∴∠FED+∠OEC=90°，

即∠FEO=90°，

∴OE⊥FE，

∵OE是半径，

∴EF为⊙O的切线；

(2)解：设⊙O的半径EO=BO=r，则BD=BF=r−1，

∴FE=2BD=2(r−1)，

在Rt△FEO中，由勾股定理得，

FE2+OE2=OF2，

∴(2r−2)2+r2=(2r−1)226.(1)证明：

∵△ABC和△AMN都是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM和△ACN中

AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN

∴△ABM≌△ACN(SAS)，

∴BM=CN；

(2)成立，理由如下：

∵△ABC和△AMN都是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM和△ACN中

AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN

∴△ABM≌△ACN(SAS)，

∴BM=CN；

(3)BMCN=32．

理由如下：

∵AB=BC，AM=MN，

∴ABAM=BCMN，

∵∠AMN=∠ABC，

∴△ABC∽△AMN，

∴ABAM=ACAN，即ABAC=AM27.解：(1)把A(−2,0)，B(4,0)代入y=ax2+x+c得：

4a−2+c=016a+4+c=0，

解得：a=−12c=4，

∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；

(2)过P作PK/​/y轴交BC于K，如图：

在y=−12x2+x+4中，令x=0得y=4，

∴C(0,4)，

∵A(−2,0)，B(4,0)，

∴AB=6，

∴S△ABC=12×6×4=12，

由B(4,0)，C(0,4)得直线BC函数表达式为y=−x+4，

设P(m,−1