1.1.2空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义．2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题．活动方案1.复习巩固

(1)平面向量的夹角的概念：(2)平面向量的数量积的概念及运算律：活动一探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律【解析】

略【解析】

略2.空间向量的数量积类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律．(1)空间向量的夹角②范围：0≤〈a，b〉≤π.思考1►►►由向量的数量积的定义，可知两个非零空间向量a与b垂直的充要条件是什么？【解析】

a⊥b⇔a·b＝0.思考2►►►由向量的数量积的定义，可知空间向量a的模的计算公式是什么？思考3►►►在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？②数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考4►►►(1)对于三个均不为0的数a，b，c.若ab＝ac，则b＝c.对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，你能得到b＝c吗？如果不能，请举出反例；【解析】

由a·b＝a·c，根据数量积的定义，只能得到|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，即b与c在a上的投影向量的模相等，而不是b＝c.如在正方体中，同一定点处的三个向量两两垂直，显然a·b＝a·c＝0，但是其中的两个向量不可能相等．当然，反之结论正确．【解析】

因为(a·b)c表示的是与c共线的向量，a(b·c)表示的是与a共线的向量，所以一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．(3)对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)，对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？例1如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°.求：活动二空间向量的数量积的计算1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．2.如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．例2如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.活动三用数量积证明垂直问题【解析】

在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g＝xl·m＋yl·n.因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0，所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.

如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.1.证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．2.证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.检测反馈24513A.1 B.0C.－1 D.－2【答案】B245132.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(

)A.－6 B.6C.3 D.－3【解析】

由题意，得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.【答案】B24533.(多选)在四面体PABC中，下列说法中正确的有(

)12453124531【答案】ABC24534.(2022·河北保定期中)已知空间中非零向量a，b，且|a|＝2，|b|＝3，〈a，b