2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第3节：函数的奇偶性与周期性

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第3节函数的奇偶性与周期性

考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和

研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单

函数的周期性.

||知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.函数的奇偶性

图像关于原点对称的函数叫作奇函数.

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在非零常数T,对定义域内的任意一个x

值，都有於土!口©,就把函数兀r)称为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数/U)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

个最小正数就叫作/U)的最小正周期.

常用结论

1.(1)如果一个奇函数7U)在原点处有定义，即人0)有意义，那么一定有火o)=o.

(2)如果函数/(X)是偶函数，那么«r)=_AN).

2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原

点对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对_/U)定义域内任一自变量的值x：

(1)若Hx+a)=-/U),贝IT=2a(a>0).

(2)若,则T=2a(a>Q).

(3)若人%+⑷:一#^-,则T=2a(a>0).

4.对称性的三个常用结论

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(1)若函数y=Ax+a)是偶函数，则函数y=/q)的图像关于直线对称.

(2)若函数y=/(x+b)是奇函数，则函数y=/U)的图像关于点S，0)中心对称.

(3)若对于R上的任意x都有y(2a—x)=/3)或式一%)=/(2。+%)或14+%)=/(。一九),

则y=大尤)的图像关于直线尤=。对称.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

(1)函数>=幺在x£(o,+8)上是偶函数.()

⑵若函数«r)为奇函数，则一定有10)=0.()

(3)若T是函数的一个周期，则〃“〃ez,〃W0)也是函数的周期.()

(4)若函数凡行满足关系；(。+》)=一八分一x)，则函数兀外的图像关于点(等，0卜寸

称.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)7

解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故在(0,+8)上不具有奇偶

性，(1)错误.

(2)由奇函数定义可知，若犬x)为奇函数，且在尤=0处有意义时才满足10)=0,(2)

错误.

2.下列函数中为偶函数的是()

A.y=fsinxB.y=fcosx

Cj=|lnx|D.y=2x

答案B

解析根据偶函数的定义知偶函数满足式—x)=«x),且定义域关于原点对称，A

选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0,+°°),不具有奇偶性；

D选项既不是奇函数，也不是偶函数.

1—Y

3.(2021.全国乙卷)设函数.*x)=m，则下列函数中为奇函数的是()

C<x+1)—1D./U+D+l

答案B

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r-TS/1-X-1—(x-1)2~x,1-(x+1)

解析因为义x)="j^Q所以「x—l)=]+(》_])=~^，)x+l)=]+(x+1)

-x

x+2,

对于A,Fa)=<x—1)—1=丁二一1=——,定义域关于原点对称，但不满足F(x)

=—F(—x),故不是奇函数；

2—x2

对于B,G(x)=7(x—1)+1=—+1=-,定义域关于原点对称，且满足G(x)=

—G(-x),故是奇函数；

-

—x~~Y—2*-I2

对于C,於+1)_]=不_]=.Q=_不，定义域不关于原点对称，

八x+2x+2x十2

故不是奇函数;

—x—J"—|—y—2Q

对于D,加+D+l=r+l=F^=U?定义域不关于原点对称,故不

是奇函数.

4.(2021.全国甲卷)设/U)是定义域为R的奇函数,

则局=()

51

A--3B-3C3

答案C

解析因为人x)是定义在R上的奇函数，

所以

又/U+x)=A—尤)，

所以1A2+x)=/H+(l+x)]=/I—(l+©]

=一*1+x)=-火-X)=代琦,

所以函数人X)是以2为周期的周期函数，

5.(易错题)设函数/U)是定义在R上的奇函数，且当x〉0时，_/U)=x—3,则函数

7U)的解析式为______________

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x—3,x>0,

0,x=0,

{x+3,x<0

解析设x<0,贝iJ-x>0,

/./(-x)=­x-3.

又大-x)=-/U)，

•\/U)=__A—尤)=x+3.

尤一3,x>0,

0,x=0,

{x+3,x<0.

6.(2022・西安质检)已知负无)=e⑪是偶函数，则«x)的最小值为.

答案2

解析•.•_Ax)=eK+eS是偶函数，

•7/U)=/(—1)，得e+e“=eT+b",则。=—1,经检验，。=一1时，符合题意.

所以Xx)=ev+e_x2-\ler-e~x=2,

当且仅当x=Q时取等号.

故函数/U)的最小值为2.

□考点突破■题型剖析

|考点一函数奇偶性的判断

例1判断下列函数的奇偶性：

(1)*x)=A/1—x2+\lx2-l；

f+x,x<0,

（2次x）=

x2—x,x>0；

（3次x）=Iog2（x+不1）；

1g（1—x2）

+x

（4次x）=|^_2|-2

1—x22。，

解⑴由/TH得/f即—

即函数段)的定义域为{-1,1},

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从而=q—w+=o,

.•/X)既是奇函数又是偶函数.

(2)函数;U)的定义域为(一8,0)U(0,+8)关于原点对称.

•.”<0时，-x>o,

x)=(—X)2—(―X)=X2+X=/(JC)；

•.”>0时，-x<0,

；-x)=(-x)2~x=x1—x=/(x).

综上，於)为偶函数.

⑶显然函数/U)的定义域为R,

X—X)=log2(—x+yj(—%)2+1)

=logzNf+l—X)=10g2('\/x2+l+%)一।

=-10g2(^/?+l+九)=—fix),

故/U)为奇函数.

1—3^>0,[—1<X<1,

⑷由fk—2|W2得fxWO且xW4,

二原函数的定义域为{x[—l<x<l且尤工0},关于原点对称.

、怆(1T)」1g(1-x2)1g(1-?)

•・*")―\x-2\~2+x~2-x-2+x~-x+*'

1g(1—x2)

•\A-X)=》-----—x=一©，

...段)为奇函数.

感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必栗不充分条件，所以首先考虑

定义域；

(2)判断«x)与五一x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断

奇偶性的等价等量关系式(/U)+W—x)=0(奇函数)或人x)—«—x)=0(偶函数))是否

成立.

训练1(1)(2021.百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

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A.y=xsinx

B.y=xlnx

e1

C•尸e，+l

D.y=xln(^/x2+1—%)

⑵设函数/u)，观外的定义域为R，有yu)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

正确的是()

A.7(x)g(x)是偶函数

B.|/U)g(x)|是奇函数

C.|/(x)|g(x)是偶函数

D次M)g(x)是奇函数

答案(1)B(2)C

解析(1)A中，y=xsinx为偶函数.

B中，函数y=xlnx的定义域为(0,+°°),非奇非偶函数.

—11—e46A—1

c中，|一X)=Q^7===一/U),则丁=最率J为奇函数.

D中，函数的定义域为R,关于原点对称.

又艮一%)=~xln^^+l+x)

马丁加),

所以y=xlnC\/N+1—x)为偶函数.

(2)令B(x)=A尤)g(x),

F\(~x)=/—x)g(-x)

=-fix)g(x)=-F\{x},

为奇函数，故A错误；

令F2a)=i/u)g(©i,

，/2(-X)=|A-X)g(一尤)|=I—%)g(X)|

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=|/(x)g(x)|=F2(x),

••.尸2四为偶函数，故B错误；

令23(幻=府)原月),

F3(~X)=[A—x)|g(-x)

=l/U)lg(x)=F3(x),

为偶函数，故C正确；

令F4(x)=/(|x|)g(x),

:.尸4(一幻=4一R)g(一X)

=#|x|)g(x)=R»(x)，

...尸4(x)为偶函数,故D错误.

考点二函数奇偶性的应用

角度1求函数值

2

例2(2020•江苏卷改编)已知y=/(x)是奇函数，当x20时，.*x)=石，则.穴一8)的值

是()

A.8B.-8C.4D.-4

答案D

2

解析/8)=8；=4,因为«x)为奇函数，所以式-8)=一*8)=-4.

角度2求函数解析式

例3设«r)为奇函数，且当x20时，X-v)=e'-l,则当x<0时，/%)=()

A.e1B.e-A+l

C.-e=lD.-e-X+1

答案D

解析当x<0时，-x>0,

又二/W为奇函数，

••贝%)=_次_幻=_b'+1.

角度3求参数的值

例4(2021・新高考I卷)已知函数八%)=^32'—2刃是偶函数，贝Ua=.

答案1

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解析法一因为五》)=必(。2，一2七)的定义域为R,且是偶函数，

所以大-x)=/U)对任意的xGR恒成立，

所以(一%)3(02一，一2，)=232—2r)对任意的尤eR恒成立，

所以x3(a-l)(2v+2-v)=0对任意的xeR恒成立，所以a=1.

法二因为/(%)=必(。2*—2七)的定义域为R,且是偶函数，所以五-1)=x1),所

以一任一2)=2a—3，解得"=1，经检验，.穴犬尸小⑵-2》)为偶函数，所以a=L

感悟提升利用函数的奇偶性可以解决以下问题：

(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求参数值；(4)画函数图像；(5)求一些特殊结构式

的值.

训练2(1)已知1x)为定义在R上的奇函数，当xNO时，«x)=2x+m,则火一3)=

⑵已知函数_/(x)=asinx+Atanx+l,若/(a)=—2,则八-a)=.

答案(1)-7(2)4

解析(1)因为7U)为R上的奇函数，所以10)=0,

即式0)=2°+m=0,解得〃?=—1,

故人》)=2，-1(x20),

则X-3)=-/(3)=-(23-l)=-7.

(2)令g(£)=asinx+btan尤，

则g(x)为奇函数，且式x)=g(x)+l.

'-,Aa)=g(a)+\=~2,/.§(«)=-3,

•\A—a)=g(—a)+1=—g(a)+1=4.

考点三函数的周期性及其应用

Y

1.已知函数«r)对任意xGR,都有y(x+27i)=y(x),当尤e(0,兀)时，/(x)=2sin彳,

则y|—J等于()

A.；B.乎C.lD.小

答案C

解析因为«x+2兀)=*x),

所以/(x)的周期为2兀,

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所以产竽")=/(674兀+*《337X2兀+学=局.

r

又因为当xe(O,兀)时，X%)=2sin2»

所以怎)=2sin^=1.

2.(2022.成都诊断)已知定义在R上的函数/W满足/(x)=—/U+2),当x£(0,2]

时，段)=2'+log2X,则42024)等于()

A.5B.gC.2D.—5

答案D

解析••7U)=-/U+2),

.•JU)的周期为4,抵2024)=7(0)=一犬2)=—@2+10g22)=-5.

3.设./U)是定义在R上的周期为2的函数，当%e[-1,1)时，外力=

—4f+2,—l<x<0.

答案1

2

解析由题意得，=7(_2)=-4x2)+2=L

4.已知7U)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0Wx<2时，兀r)=V—尤，则

函数y=/(x)的图像在区间［0,6］上与x轴的交点个数为.

答案7

解析因为当0Wx<2时，.穴冷二厘一x.

又/U)是R上最小正周期为2的周期函数，且10)=0,

则火6)=A4)=A2)=/(0)=0.

又31)=0,.,..A3)=X5)=AD=0,

故函数y=/(x)的图像在区间［0,6］上与X轴的交点有7个.

感悟提升1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函

数的周期.

2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，

转化到已知区间上，进而解决问题.

考点四函数性质的综合应用

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角度1单调性与奇偶性

08

例5(1)已知奇函数外)在R上是增函数,g(x)=项》)a=g(—log25A),b=g(2),

c=g(3),则a,b,c的大小关系为()

\.a<b<cB,c<b<a

C,b<a<cD.b<c<a

(2)(2020.新高考卷)若定义在R的奇函数./U)在(-8,0)单调递减，且.*2)=0,则

满足求x—1)20的x的取值范围是()

1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-l,0]U[l,+oo)D.[-LO]U[1,3]

答案(1)C(2)D

解析(1)易知g(x)=m»在R上为偶函数，

•.•奇函数/U)在R上是增函数，且10)=0.

...g(x)在(0,+8)上是增函数.

又3>log25.1>2>208,且a=g(—Iog25.1)=g(log25.1),

g(3)>^(log25.1)>g(2°8),则c>a>b.

(2)因为函数_/U)为定义在R上的奇函数,所以<0)=0.又/(x)在(一8,0)单调递减，

且次2)=0,画出函数«r)的大致图像如图(1)所示，则函数兀¥—1)的大致图像如图

(2)所示.

当xWO时，要满足1)20,

则>U-1)WO,得一IWxWO.

当x>0时，要满足状/一1)20,

则於一1)20,得1WXW3.

故满足求x—1)20的x的取值范围是[—1,O]U[1,3].

感悟提升1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上

的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较

大小；

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2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为.穴汨)次及)的形式，再结合单调性，脱去

变成常规不等式，转化为X|<X2(或X|>X2)求解.

训练3(1)设/U)是定义在R上的偶函数，当x〉0时，/(x)=lnx+e*.若“=/(一兀),

Z>=Alog23),c=A2-°2),则a,b,c的大小关系为()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

(2)(2021・汕头联考)已知函数於:)是定义在R上的偶函数，其在区间［0,+8)上单

调递增，且42)=0,则不等式4og>)>0的解集为.

答案(1)C(2)(0,(4,+8)

解析(1)当x〉0时，/(x)=ln尤+e*为增函数，/U)的图像关于y轴对称，

则a=X-7r)=/JT).

又7t>3>log23>1>202>0,

.•式兀)次log23)»2.2),

/.a>b>c.

⑵因为函数7U)是定义在R上的偶函数，所以兀r)=Aki).

又式2)=0,所以不等式"og“)>0等价于川log以|)次2).

又函数7U)在区间［0,+8)上单调递增，

所以|log2X|>2,

所以logu>2或log2%<—2,

所以x>4或0<%<1.

角度2奇偶性与周期性

例6(1)(2021.贵阳调研)定义在R上的奇函数/U)满足火2—x)=/U),且当一lWx<0

时，加)=2，-1,则川og220)=()

A.B.|C,-|

(2)(2022.长春模拟)已知函数/(x)为定义在R上的奇函数，且满足.八一x)=/(2+x),

若<1)=3,则/1)+A2)+…+式50)=.

答案(1)B(2)3

解析(1)依题意，知火2+x)=/(—x)=-/(x),则次4+无)=/(x),所以«r)是周期函

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数,且周期为4.

又2<log25<3,贝!]—1<2—log25<0,

所以Xlog220)=/(2+log25)=Xlog25-2)

=-A2-log25)=-(22-log25-1)

(2)../2+X)=H—x)=-/(x),

：.fix+2+2)=-fix+2)=fix),

・V/U)的周期为4.

由八一x)=A2+x),令x=0,

得10)=/(2)=0,.\A4)=A0)=0.

又/1)=3,.\/(—1)=一式1)=一3,

/./-1+4)=/(3)=/-1)=-3,

.•m1)+_穴2)+43)+14)=0,

.-./l)+/(2)+-+X50)=12X0+/(l)+X2)=3.

感悟提升周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性

进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

训练4⑴(2022.昆明诊断)已知定义在R上的奇函数火x)满足/U+4)=/(x—4),且

'2x+a,x£[0,2),

%e[0,4]时，贝x)=«4+6,-⑵4),则川】)+")=

(2)(2021・成都质检)己知函数«v)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x,fix-

2)=五龙+2),当xG(0,2)时，/U)=f,则(竽|=()

112

Aa.-24B-4CJ4D54

答案(1)1(2)A

解析(1)；*0)=2。+。=0,：.a=~\.

•••於+4)=於-4),

.•j(x+4+4)=«r+4—4)=/(x),

.•JU)的周期为8,

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3

.•mll)=/(3+8)=1/(3)=],

X15)=X7+8)=A7)=/(-l+8)

—1)=一31)=-1,

.••川1)+川5)=g.

(2)由火x—2)=/(x+2),知y=/(x)的周期T=4.

又/U)是定义在R上的奇函数，

9

4-

角度3奇偶性与对称性

例7函数.穴X）满足7U—1）为奇函数，yu+D为偶函数，则下列说法正确的是

________（填序号）.

①/U）的周期为8；

②/U）关于点（一1,0）对称；

③/W为偶函数；

④/U+7）为奇函数.

答案①②④

解析1）为奇函数，

...#元一1）的图像关于（0,0）对称，

...式X）的图像关于点（一1,0）对称.

又兀r+1）为偶函数，

.•JU+1）的图像关于直线x=0对称，

.•JU）的图像关于直线x=l对称，

.••贝力的图像关于点（一1,0）和直线x=l对称，

.•JU）的周期为8,...①②正确，③不正确.

vr=8,.\/（x+7）=/U—1）,

又./u-l）为奇函数，."U+7）为奇函数，故④正确.

感悟提升函数危）满足的关系加+x）=/S-X）表明的是函数图像的对称性，函

数人X）满足的关系|a+x）=Ab+x）（aW份表明的是函数的周期性，在使用这两个关

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系时不要混淆.

训练5已知定义在R上的函数式》)，对任意实数x有/U+4)=-/(x),若函数

T)的图像关于直线x=l对称，|-5)=2,则负2021)=.

答案2

解析由函数y=«x-l)的图像关于直线x=l对称可知，函数.八X)的图像关于y

轴对称，故7U)为偶函数.

由於+4)=—得lx+4+4)=—«r+4)=/(x),所以犬尤)是周期T=8的偶函

数，所以42021)=/(5+252X8)=A5)=/(—5)=2.

角度4奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用

例8已知凡r)的定义域为R,其函数图像关于直线》=-3对称，且_Ax+3)=/U

-3),若当x£［0,3］时，,*%)=2』+1,则下列结论正确的是(填序号).

①Ax)为偶函数；

②/U)在［-6,—3］上单调递减；

③/(力关于直线x=3对称；

◎000)=5.

答案①③④

解析7U)的图像关于直线x=-3对称，

则X_*)=/_6).

又/(x+3)=/a-3),则犬X)的周期T=6,

.\A—x)=/U—6)=Ax),

•\/U)为偶函数，故①正确;

当xW［0,3］时，/U)=2'+l单调递增，

•.•7=6,故/U)在［-6,-3］上也单调递增，故②不正确；

人幻关于直线*=—3对称且T=6,

关于直线尤=3对称，故③正确；

,/(100)=A16X6+4)=/(4)=^-2)=A2)=5,故④正确.

感悟提升函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考

中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和

周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关

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问题.

训练6函数«x)是定义域为R的奇函数，满足/(x—4)=—/(x),./(x—4)=八-x),

且当九可0,2］时，段)=2，+log2X,则负一80),1一25),川1)的大小关系为.

答案人一25)勺(一80)勺(11)

解析依题意，丸x)的周期为8,且九x)是奇函数，其图像关于x=2对称，当x£［0,

2］时，贝x)单调递增，

・V/U)在［―2,2］上单调递增.

又八一80)=/(0),人一25)=八-1),

,A11)=X3)=XD，

••优T)勺⑼勺⑴，

即八一25)5—80)$11).

微点突破/抽象函数

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特殊的性质称为抽象函数，

一般用y=Ax)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义

域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体.

例1若函数12，)的定义域是［-1,1］,则川og词的定义域为.

答案诉4］

解析对于函数y=«2>—1«1,

...2TW2W2.则对于函数y=/(k)g2x),Wlog>W2,:.巾4W4.

故y=7Uog2x)的定义域为［也，4］.

例2已知函数7U)对任意正实数a,b,都有人ab)=Aa)+_A8)成立.

(D求火1)，火一D的值;

⑵求证：

(3)若/(2)=p,<3)=q(p,q均为常数)，求136)的值.

⑴解令a=l,b=l,

得火i)=/u)+y(D,解得贝i)=o.

令a=b=—\,

.7/U)=A—l)+五一D，•••/(—1)=0.

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⑵证明令a=f，b=x,

得大D=U+•大x)=°，

Md。

(3)解令a=b=2,得大4)=/(2)+/(2)=2p,

令a=b=3,得.*9)=*3)+X3)=2%

令a=4,b=9,得436)=/(4)+负9)=2p+2q.

例3函数兀¥)的定义域为£>={x|xWO},且满足对于任意即，X2^D,有兀¥1式2)=

/1)+加2).

⑴求川)的值；

(2)判断7U)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果型)=1,左-1)<2,且负幻在(0,十8)上单调递增，求x的取值范围.

解(1)因为对于任意XI,X2^D,

有加1%2)=危1)+加2),

所以令X|=X2=1,得.*1)=纨1),

所以11)=0.

(2次x)为偶函数，证明如下：

於)的定义域关于原点对称，

令X|=X2=—1,

有」D=/C—D+y(—D，

所以<-1)=*1)=0.

令汨=-1,X2=X,

得X-x)=A—i)+./U)，

所以y(-x)=*x),

所以/U)为偶函数.

(3)依题设有<4*4)=犬4)+14)=2,

由(2)知是偶函数，

所以危―1)<2等价于用Ll|)勺(16).

又/Ct)在(0,+8)上单调递增，

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.•.0<|x-l|<16,二一154<17且xWl,

.•.龙的取值范围为(—15,1)U(1,17).

拓展视野/函数性质中的二级结论

函数这一章，常见的二级结论比较多，如果我们能够灵活地运用这些结论解决数

学问题，可优化数学运算的过程，提高解题速度和准确性.

一、奇函数的最值性质

已知函数«r)是定义在区间。上的奇函数，则对任意的龙G。，都有%)

=0.特别地，若奇函数人犬)在。上有最值，则_/U)max+/U)min=0,且若0©。，则

/0)=。

(x+1)sinx

例1设函数./U)=，上]的最大值为M,最小值为m,则M+m=

答案2

解析函数7U)的定义域为R,

(x+1)2+sinx2x+sinx

7+i=1+f+i'

、H2x+sinxI1

设g(x)=『+]，则g(一x)=-g(x)，

所以g(x)为奇函数.

由奇函数图像的对称性知g(x)max+g(x)min=0,

所以M+m=[^(%)+1]max+[g(X)+1]min

=2+g(x)max+g(x)min=2.

二'函数的周期性

(1)如果/(x+a)=—/U)(aW0),那么段)是周期函数，其中的一个周期T=2a.

(2)如果1》+0=尸+-3/0),那么«x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.

(3)如果«r+a)+/U)=c(aW0),那么段)是周期函数，其中的一个周期T=2a.

例2已知定义在R上的函数式x),对任意实数x有兀^+4)=一火；0+26，若函数

./U—1)的图像关于直线x=l对称，X1)=2,则/U7)=.

答案2

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解析由函数y=Ax-l)的图像关于直线X=1对称可知，函数/(X)的图像关于y

轴对称，故7U)为偶函数.由於+4)=—/)+26，得«r+4+4)=-/lx+4)+26

=Ax),所以/U)是最小正周期为8的偶函数，所以./U7)=/(1+2X8)=/U)=2.

三、函数的对称性

已知函数«x)是定义在R上的函数.

(1)若/(a+x)=/S—x)恒成立，则y=«r)的图像关于直线尤=4"对称，特别地，

若.*a+x)=*a—x)恒成立，则y=*x)的图像关于直线x=a对称.

(2)若函数y=/(x)满足式a+x)+/(a—x)=0,即./(x)=—/(2a—x),则式x)的图像关于

点3,0)对称.

例3设_/(x)是(一8,十8)上的奇函数，且式x+2)=—y(x),则下面关于/(x)的判

定中正确命题的个数为()

①M)=0；

②/U)是以4为周期的函数；

③/U)的图像关于直线x=l对称；

④/U)的图像关于直线x=2对称.

A.lB.2C.3D.4

答案C

解析因为是(-8,+8)上的奇函数，

所以|一x)=-/U),fi0)=0.

因为yu+2)=-/u),

所以/(x+4)=一穴x+2)=/a),

即/U)是以4为周期的周期函数，/4)=^0)=0.

因为1Ax+2)=-/(x),

所以咒(x+D+l]=A-x),

令/=x+l,则加+1)=/1一。,

所以7U+1)=/U—月)，

所以1X)的图像关于直线X=1对称，

而.*2+x)=*2—x)显然不成立.

故正确的命题是①②③.

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I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的函数是()

A.y=|logu|B.y=JC3

C.y=ewD.y=cos|x|

答案C

解析对于A,函数定义域是(0,+8),故是非奇非偶函数，对于B,>=必是奇

函数.

对于C,函数的定义域是R,是偶函数，且当xe(0,+8)时，函数是增函数，

故在(0,1)上单调递增，

对于D,y=cos|x|在(0,1)上单调递减.

2.已知定义在R上的函数凡r)满足八一x)=-/(x)，.*3—x)=/(x),则式2022)=()

A.-3B.OC.lD.3

答案B

解析由于/U)为奇函数，且1Ax)寸3—x),

.•犹3+无)=*—》)=-Ax),

从而知周期7=6,

•••负2022)=旭)=0.

k—7x

3.若函数*x)==7^在定义域上为奇函数，则实数人的值为()

A.-2B.OC.l或一1D.2

答案C

解析因为加0在定义域上为奇函数，

所以_X-x)=-/U)，

k~2~x2x-k

即1+k2r=l+k2"

^2J-12x-k

即2、+J72*+]

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根据等式恒成立，可得左=±1.

4.已知函数人r+1)是偶函数，当尤e(l,+8州寸，函数式幻单调递减，设a=

b=g,c=A。)，则。，4c的大小关系为()

X.b<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

答案A

解析；/+1)为偶函数，

.•JU+1)的图像关于y轴对称，

，而0的图像关于直线尤=1对称.

VxG(l,+8)时，«r)单调递减，

(一8,1)时，7U)单调递增，

又13)=火一1)且一1<一；<0,

••道一1)0/(一乡£*。)，即从a<a

5.(2021.昆明诊断)已知函数危)=COS(+2X)+K^7—1,若加)=一则.八一a)

=()

A.；B.|C.—D.—!

答案D

一x

解析/-«)=—sin2x十罚f

%

设g(x)=7U)+1=—sin2x+『+],易知g(x)为奇函数，

2

：.g(a)=fia)+l=y

2

则g(-a)=_g(a)=-g,

25

因此a)+l=—故义-4)=一1.

6.(2022.成都诊断)已知函数/U)是定义在R上的奇函数，当x20时，^x)=log2(x

+l)+2'-a,则满足人』一3》—1)+2<0的实数x的取值范围为()

A.(—3,0)B.(—1,0)

C.(0,3)D.(l,2)

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答案c

解析函数7U)是定义域为R的奇函数，则有式0)=0,即/(0)=10821+2°—。=0,

解得。=1,则当*20时，/)=log2(x+D+2*—l,则有"D=log22+2i—1=2.

而函数y=log2(x+l)和函数y=2“一1都是增函数，则函数«x)=log2(x+1)+2、-1

在［0,+8)上单调递增.

又函数加)是定义域为R的奇函数，

则/U)在区间(一8,0］上也单调递增，

故函数犬犬)在R上为增函数.

*/-3x-1)+2<0虫/-3x-1)+/1)<004/

3x—1)</(—3x—1<—l^x2—3x<0,解得0<r<3,即x的取值范围

为(0,3).

7.已知奇函数段)的图像关于直线x=3对称，当xd［0,3］时，/)=一左，则人一

16)=.

答案2

解析根据题意，函数/(x)的图像关于直线》=3对称，则有«x)=*6—x).

又由函数为奇函数，则1一x)=一/)，

则/U)=一大一幻=一«6+x),

则於)的最小正周期是12,

故16)=*_4)=-A4)=-A2)=-(-2)=2.

8.(2022•西安模拟)已知_/U)是定义在R上的周期为3的奇函数，且4-2)=纨8)+

1,则12023)=.

答案3

解析由题意，,八一2)=*-2+3)=x1),

^8)=A9-l)=y(-l)=-Al).

又•••/(-2)="8)+1,

.*,AD=-2/(i)+i,

:•依023)=/(674X3+1)=A1)=1.

x~\~a>—lWx<0,

9.定义在R上的函数段)满足y(x+l)=/(x—l),且加)=八।八一।其中

J2x|,0Wx<l,

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aER,若八-5)=/(4.5),则。=.

答案2.5

解析由次x+l)=Ax—1),

得/U+2)=/ia+l)+l］=/t(x+l)—

所以y(x)是周期为2的周期函数.

又-5)=人4.5),所以/-1)=穴0.5),

即一l+a=1.5,解得a=2.5.

(~^+2x,x>0,

10.已知函数=<0，x=0,是奇函数.

1f+znx,x<0

(1)求实数〃z的值；

(2)若函数代r)在区间［-1,。-2］上单调递增，求实数。的取值范围.

解(1)设x<0,则一x>0,

所以x)=—(―x)2+2(-X)

=—X2—2x.

又为奇函数，所以大一幻=一%)，

于是x<0时，/(x)=x2+2x=x2+/nx,

所以m=2.

(2)要使/U)在［―1,a—2］上单调递增，

a—2>—1

结合式X)的图像知彳9

1a—2W1,

所以l<aW3,

故实数a的取值范围是(1,