新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题17 圆锥曲线的综合应用（解析版）

专题17圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为SKIPIF1<0，椭圆方程为SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消去y得一个关于x的一元二次方程SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相交SKIPIF1<0直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相切SKIPIF1<0直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线和椭圆相离SKIPIF1<0直线和椭圆无公共点．2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：SKIPIF1<0知识点2直线与双曲线的位置关系1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程SKIPIF1<0与直线方程SKIPIF1<0联立消去SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0，（1）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线的渐近线平行，直线SKIPIF1<0与双曲线只有一个交点；（2）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设该一元二次方程的判别式为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，直线与双曲线相交，有两个公共点；若SKIPIF1<0，直线与双曲线相切，有一个公共点；若SKIPIF1<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.2、直线与双曲线弦长求法若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（具体同椭圆相同）知识点3直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线SKIPIF1<0与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率SKIPIF1<0不存在，设直线方程为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，直线与抛物线有两个交点；若SKIPIF1<0，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若SKIPIF1<0，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率SKIPIF1<0存在.设直线SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0，直线与抛物线的交点的个数等于方程组SKIPIF1<0，的解的个数，即二次方程SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）解的个数.①若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当SKIPIF1<0时，直线与抛物线相切，有个公共点；当SKIPIF1<0时，直线与抛物线相离，无公共点.②若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交，有一个公共点.3、直线与抛物线相交弦长问题（1）一般弦长设SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，弦AB的中点为SKIPIF1<0.=1\*GB3①弦长公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0的斜率，且SKIPIF1<0）.=2\*GB3②SKIPIF1<0,推导：由题意，知SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②由①-②，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.=3\*GB3③直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）焦点弦长如图，SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0的一条弦，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别向抛物线的准线SKIPIF1<0作垂线，垂足分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据抛物线的定义有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0是梯形SKIPIF1<0的中位线，所以SKIPIF1<0，从而有下列结论；=1\*GB3①以SKIPIF1<0为直径的圆必与准线SKIPIF1<0相切.=2\*GB3②SKIPIF1<0(焦点弦长与中点关系)=3\*GB3③SKIPIF1<0.=4\*GB3④若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.=5\*GB3⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.=6\*GB3⑥SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中SKIPIF1<0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l：SKIPIF1<0与椭圆C：SKIPIF1<0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】将直线l：SKIPIF1<0变形为l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是直线l过定点SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0内部，因此直线l：SKIPIF1<0与椭圆C：SKIPIF1<0相交．故选：A．【典例2】（2023·高三课时练习）直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0内部，∴直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交，故选：A．【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p：SKIPIF1<0，命题q：直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0有两个公共点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故命题q成立能推出命题p成立；反之，若SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0仅有一个实数根SKIPIF1<0，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p成立不能推出命题q成立，故p是q的必要不充分条件，故选：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0，若直线与双曲线左支交于两点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为直线与双曲线SKIPIF1<0左支交于两点，所以两点横坐标皆小于SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两个小于SKIPIF1<0的零点，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根据两点距离公式SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，代入化简，得SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，代入化简，得SKIPIF1<0（3）构造直角三角形求解弦长，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0斜率，SKIPIF1<0为直线倾斜角．【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则弦SKIPIF1<0的长为．【答案】SKIPIF1<0【解析】在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题意可知，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为直径的圆经过定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】记SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程可表示为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.（1）求C的标准方程；（2）若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【答案】（1）SKIPIF1<0=1；（2）3【解析】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有SKIPIF1<0，又因为离心率为2，所以有SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，∴C的标准方程为：SKIPIF1<0；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以直线l的斜率为SKIPIF1<0，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0与双曲线方程联立为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是过点SKIPIF1<0的两条互相垂直的直线，且SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于C，D两点．（1）求直线SKIPIF1<0的斜率k的取值范围；（2）若线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为M，N，证明直线SKIPIF1<0经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析；定点SKIPIF1<0.【解析】（1）根据题意直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率均存在且不为0直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以k的取值范围为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0因此直线SKIPIF1<0经过一个定点SKIPIF1<0．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E上任意一点Q到定点SKIPIF1<0的距离与Q到定直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）斜率为SKIPIF1<0的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM交曲线E于点N，交直线SKIPIF1<0于点D，且满足SKIPIF1<0（O为原点）．求证：直线l过定点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）设曲线E上任意一点SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，所以曲线E的轨迹方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线l的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为有两个交点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点M在x轴下方，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线OM的斜率SKIPIF1<0，则直线OM的直线方程为SKIPIF1<0，将其代入双曲线E的方程，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此直线l的方程为SKIPIF1<0，故直线l过定点SKIPIF1<0．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，圆SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的动点，求线段SKIPIF1<0长度的最小值；（2）若点SKIPIF1<0的纵坐标为4，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，分别交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0），求证：直线SKIPIF1<0过定点．【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0线段与圆SKIPIF1<0的交点时，SKIPIF1<0（2）题意可知SKIPIF1<0，过P点直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①设直线SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，则与抛物线C的交点方程可化为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，②题意有，①②方程同解，故有SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程．（2）设SKIPIF1<0是椭圆上一点（异于SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0两点．证明在SKIPIF1<0轴上存在两点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0是定值，并求此定值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析，定值为SKIPIF1<0.【解析】（1）设椭圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是椭圆上的动点，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0是定值，且定值为SKIPIF1<0.【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点SKIPIF1<0是平面直角坐标系SKIPIF1<0上一动点，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于第一象限；SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于第四象限.若四边形SKIPIF1<0的面积为2.（1）若动点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.（2）设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0分别作直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，证明直线SKIPIF1<0的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析，定值为SKIPIF1<0.【解析】（1）设SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，即动点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0或SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，得证.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0.（1）当弦SKIPIF1<0的中点横坐标为3时，求SKIPIF1<0的一般方程;（2）设SKIPIF1<0为原点，若SKIPIF1<0，求证:SKIPIF1<0为定值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）由点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.依题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0.因为弦SKIPIF1<0的中点横坐标为3，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的一般方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，同理得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点，点SKIPIF1<0为其上一点，且SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0为椭圆上一点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线SKIPIF1<0实轴的一个端点是SKIPIF1<0，虚轴的一个端点是SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线的交点为SKIPIF1<0.（1）求双曲线的方程；（2）若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0是坐标原点，求SKIPIF1<0的面积最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与渐近线SKIPIF1<0联立，得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线交点为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线的交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此双曲线方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，等号成立，此时满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）若SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线与抛物线SKIPIF1<0的另一交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合，则直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个公共点，不合乎题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0．又由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点.

（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线SKIPIF1<0上运动时，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以SKIPIF1<0为直径的圆内.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意，将点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标代入椭圆SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，显然点SKIPIF1<0不在x轴上，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0斜率分别为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0为钝角，所以点B在以SKIPIF1<0为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的两个不同的点，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）详见解析.【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点坐标为：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作垂因为直于SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）如图所示：由（1）知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则直线AC的方程为：SKIPIF1<0，直线BD的方程为：SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线BC的方程为：SKIPIF1<0，直线AD的方程为：SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以E，K，G三点共线.七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于不同的SKIPIF1<0两点，且直线SKIPIF1<0的斜率成等比数列．在SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形？若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】（1）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C的方程为SKIPIF1<0；（2）由题意知直线SKIPIF1<0的斜率一定存在，设直线的l方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，需满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；由于直线SKIPIF1<0的斜率成等比数列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，存在点M，使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，理由如下：四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，又点M在椭圆C上，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于坐标原点SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点．（2）已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的右侧，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析;（2）存在，SKIPIF1<0【解析】（1）证明：将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．（2）联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右侧，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以满足条件的SKIPIF1<0存在，SKIPIF1