新高考一轮复习导学案第36讲 平面向量的数量积（原卷版）

第36讲平面向量的数量积1、向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2、平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3、平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．4、向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5、平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1、已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03、正方形SKIPIF1<0的边长是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.3 C.SKIPIF1<0 D.54、已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．5、已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．26、已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为60°，则在下列向量中，与SKIPIF1<0垂直的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07、已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01、已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为()A.12B.6C.3eq\r(3)D.32、（多选）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是()A.a·b＝5B.|a－b|＝eq\r(5)C.〈a，b〉＝eq\f(π,4)D.a∥b3、已知a，b为单位向量，若|a－2b|＝eq\r(5)，则|a＋2b|＝．4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))考向一平面向量的夹角及模的问题例1、（1）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0（2）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．（3）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，eq\r(2)），则向量a，b的夹角为．变式2、若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为.变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是．变式4、（多选题）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在下列命题中，是真命题的有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角三角形 B．若SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0为直角三角形 C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰三角形 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直例2、已知向量，，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．变式1、已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。考向三平面向量的数量积的运算例3、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0变式1、在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．变式3、在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.1、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的数量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、已知非零向量SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0夹角SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、已知△SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0