2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第六章 概率

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第六章概率

（全卷满分150分,考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.若随机变量X的分布列如下表所示:

X-1012

p0.2ab0.3

且EX=0.8,则a,b的值分别是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4C.0.3,0.2D.0.2,0.3

2.从一副不含大小王的52张扑克牌（即A,2,3,10,J,Q,K不同花色的各4张）

中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（）

A鬣8BA：8QD

篇2^52^52A微2

3.某盏吊灯上并联着4个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都

是0.8,那么在这段时间内，该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是

（）

A.0.8192B.0.9728C.0.9744D.0.9984

4.已知随机变量X服从正态分布N（3,1）,且己2VXW4）亡0.6826,则

P（X>4）x（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

5.排球比赛的规则是5局3胜制(5局比赛中，优先取得3局胜利的一方,获得最

终胜利,无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为

:，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是()

4

A.—91B.—9sC.-D.—37

1627864

6.设随机变量CB(2,P),n~B(4,p),若PQNI),则P(n,l)=()

9

A.—B.—C.—D.—

81818181

7.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活

动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球

活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记W=|X-Y,

则随机变量C的数学期望E1为()

.128口134八140148

A.--D.--C.--D.--

81818181

8.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东,夺得冠

军.乒乓球决赛采用7局4胜制,在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方,

但打到10平以后,先多得2分者为胜方.在10：10平后,双方实行轮换发球法，

每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为|,樊振

东发球时马龙得分的概率为各球的结果相互独立,在双方10：10平后,马龙先

发球，则马龙以13：11赢下决胜局的概率为()

A.-B.-C.-D.-

25257575

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

9.设A,B为两个随机事件,则以下命题正确的为()

A.若A,B是互斥事件,P(A)=|,P(B)4则P(AUB)4

3Z6

B.若A,B是对立事件,则P(AUB)=1

C.若A,B是相互独立事件,P(A)三,P(B)=|,则P(AB)三

D.若P(彳)=|,P(耳)=3P(IB)=：,则A,B是相互独立事件

344

10.若随机变量CN(0,1),6(x)=P(1Wx),其中x>0,则下列等式成立的有

()

A.A(-x)=l-(x)B.A(2x)=2。(x)

C.P(|口Wx)=26(x)-lD.P(|C|>x)=2-4)(x)

11.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,该射手连续射击4次,且各次射击是

否击中目标相互之间没有影响，则下列四个选项中，正确的是()

A.该射手第3次射击击中目标的概率是0.9

B.该射手恰好击中目标3次的概率是0.93X0.1

C.该射手至少击中目标1次的概率是1-0.14

D.该射手恰好连续2次击中目标的概率为3X0.93X0.1

12.随机变量W的分布列为

012

bb

Pa

22

其中abWO,则下列说法正确的是()

A.a+b=lB.EC=—

2

C.DC随b的增大而减小D.DW有最大值

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为杯畤.假定两球是否落入盒子互不影

响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

14.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活

动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目，每人限

报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学

一人报‘走进社区'项目”，则P(A|B)的值为.

15.假设某球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于p,其中0<p<l,且各

场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数,且令

p"k=O,1,2,…,9)代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率P(X=k).已知

p4+p5=^p6,则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为.

16.“学习强国”新开通一项“争上游答题”栏目，其规则如下：比赛两局，首局

胜利积3分,第二局胜利积2分,失败均积1分,某人每局比赛胜利的概率均为：，

设他参加一次答题活动得分为W,则E己=.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)某中学在教工活动中心举办了一场台球比赛，为了节约时间,

比赛采取3局2胜制.现有甲、乙两人参赛,已知每局甲胜的概率为0.6,乙胜的

概率为0.4.求：

⑴这场比赛甲获胜的概率；

(2)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率.

18.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比另一

人多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为玄各

局比赛相互独立,用X表示比赛结束时的比赛局数.

⑴求比赛结束时甲只获胜一局的概率；

⑵求X的分布列和数学期望.

19.(本小题满分12分)某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索

的热情和兴趣,提高学生生物学实验动手能力,举行生物学实验技能大赛.大赛先

根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与

“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮

的比赛.在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为

在实验操作考试中“合格”的概率依次为|,*去所有考试是否合格相互之间没有

影响.

⑴假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实验操作考试，谁进入下一轮比赛

的可能性最大？

(2)这三人进行理论笔试与实验操作考试后,求恰有两人进入下一轮比赛的概率.

20.（本小题满分12分）“键盘侠”是指部分在现实生活中胆小怕事,而在网上占据

道德制高点发表“个人正义感”和“个人评论”的人群.某调查组织在某广场上

邀请了10名男士和10名女士,并请他们谈一下对“键盘侠”的认识,结果10名

男士中有的勺人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有的勺

人也这样认为，其他人都认为“键盘侠”的出现是“社会冷漠的表现”.

⑴从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人认为“键盘侠”的出现是

“社会进步的表现”的概率；

⑵从这些男士和女士中各抽取两人，求至少有两人认为“键盘侠”的出现是

“社会进步的表现”的概率.

21.（本小题满分12分）根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.

为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用，试验方案为:

若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,认为该药无

效.

⑴如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人

了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的分布列及数学期望；

⑵如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,

并根据P的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件为小概率事件）

22.（本小题满分12分）2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速

公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况,在某高速

公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发

现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点,它们通过该收费站点的时刻的频

率分布直方图如下图所示,其中时间段9:20〜9:40记作［20,40),9:40*10:00记作

［40,60),10:00^10:20记作［60,80),10:20~10:40记作［80,100).例如：10点04

分,记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费站点的时刻的平均值(同

一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

⑵为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再

从这10辆车随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:20~10:00之间通过的车辆

数为X,求X的分布列；

⑶根据大数据分析,车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布

N(u,。,)，其中11可用3日数据中的600辆车在9:20〜10:40之间通过该收费站

点的时刻的平均值近似代替，。2用样本的方差近似代替.假如4日全天共有1

000辆车通过该收费站点，估计在9:46〜10:40之间通过的车辆数(结果保留整数).

附:若随机变量T服从正态分布N(u,。2),则P(p-。〈TwP+。)心0.682

6,P(n-2o<T<u+2o)^0.9544,P(□-3o〈TWn+3o)^0.9974.

答案与解析

1.B由随机变量X的分布列，得0.2+a+b+0.3=1,所以a+b=0.5.

又因为EX=-1XO.2+0Xa+lXb+2X0.3=0.8,所以b=0.4,

所以a=O1,故选B.

2.C设X为抽出的5张牌中A的张数,可知X服从超几何分布，

则P(X=3)二室逐.故选C.

C52

3.B4个都不亮的概率为(1-0.8尸=0.0016,

只有1个亮的概率为4X0.8X(1-0.8)=0.0256,

所以至少有两个能正常照明的概率是「0.0016-0.0256=0.9728,

故选B.

4.B随机变量X服从正态分布N(3,1),其图象的对称轴为直线x=3.

所以P(3〈XW4)七擀X0.6826=0.3413,

所以P(X>4)=0.5—P(3VXW4)=0.5—0.3413=0.1587.故选B.

5.D由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为“最后3局均为甲队获

胜”，记此事件为A,

由独立事件的概率公式可得P(A)=(，磊，

因止匕,最后乙队获胜的概率是「P(A)言.

64

故选D.

6.A因为随机变量之〜B(2,p),P(W21)=也

所以P(CNl)=l—P(W=0)4贝ljP(C=0)

99

因为P(W=0)=C却。(l-p)2,即C却。(1-p)2],所以(l-p)2=1,

因为随机变量n~B(4,机,

所以P(n21)=1-P(n=0)=9。(1-p)Y，故选A.

\9/81

7.D依题意,这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为号去参加乒乓球活

动的概率均为a

设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件&(i=0,1,2,3,4),

贝IP(AJ=C：(|)1(i=0,1,2,3,4).

C的所有可能取值为0,2,4,

且P(昌=0)=P(A2)二,P(W=2)=P(A)+P(A3)=^,P(€=4)=P(AO)+P(Aj

278181

所以w的分布列为

024

84017

P

27近81

随机变量W的数学期望EnOX^+2X?+4X富^.

8.C记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以

13:n赢下此局的结果分两种：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲,其概率PlWXIX|X9今

②后四球胜方依次为乙甲甲甲,其概率P=|x|xfx|=^,

2JDJO/O

所以所求事件的概率P=Pl+P2=a?J.

257575

9.BCD若A,B是互斥事件,P(A)4,P(B)则P(AUB)故A错误;若A,B

32326

是对立事件,则P(AUB)=P(A)+P(B)=1,故B正确;若A,B是相互独立事

件,P(A)=|,P(B)=|,则A,万也是相互独立事件,又P(B)=l-P(B)三,所以

P(A万)=P(A)P位)JX故C正确;若P(才)="P(万)三,则P(B)4又

339344

P(雇)44x7=p㈤P⑻，则4B是相互独立事件,故A,B也是相互独立事件,故D

正确.故选BCD.

10.AC•.•随机变量N(0,1),.•.正态曲线关于直线x=0对称.

•••6(x)=P(WWx),x>0,.•.根据曲线的对称性可得：

A.A(-x)=P(C2x)=1-6(x),.'.A选项正确;

B.6(2x)=P(『W2x),26(x)=2P(T<x),6(2x)W26(x),，B选项错误；

C.P(W|<x)=P(-x<W<x)=l-26(-x)=l-2[l-6(x)]=26(x)-l,/.C选项正确;

D.P(g|〉x)=P(W>x或W<-x)=l-6(x)+6(-x)=1-6(x)+1-6(x)-2-

26(x),JD选项错误.

故选AC.

11.AC该射手射击1次击中目标的概率是0.9,Z.该射手第3次射击击中目标

的概率是0.9,.IA正确；

•••连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，.•.此次射击可以

看作是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概

率是由X0.9々0.1,，B不正确；易知C正确；

•••恰好有连续2次击中目标的概率为3X0.92X0.I2,AD不正确.

故选AC.

12.ABD由题意可知a+甥=1,即a+b=l,所以A正确；

£昌=。・2+1・”・次泉所以8正确;

D€=a(0-y)(1-y)+1(2-3)=争号,be(0,1),

所以在(O,§上函数是增函数,在(I，1)上函数是减函数，

所以DW先增大后减小,有最大值，当b］时取得最大值,所以C错误;D正确.

故选ABD.

13.答案|

解析由题意可知，甲、乙两球都没有落入盒子的概率为(1_1

32

由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

14.答案f

解析根据题意得P(B)恁P(AB)=去急

4"2564"256

所以P(A⑻二瑞福

15.答案y

解析由题意知P(X=k)=C，pk(dk=0,1,2,…，9),

因为P4+P5=_^P6,

o

所以C如4(1-p)5+Cgp5(1-P)4嗜Cfp6(1-p)3,

o

化简得15p2+4p-4=0,解得P=|或p=-1(舍),从而EX=np=y.

11

16.答案-

4

解析依题意可知W的可能取值为2,3,4,5,

且P(W=5)工P(W=4)

44164416

P(W=3)=NW，P「2)*W，

所以EW=5X—+4X—+3X—+2X

16161616164

17.解析(1)因为每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,

所以这场比赛甲胜的概率为0.62+CjX0.4X0.6=0.648.（5分）

⑵设事件人="甲获得比赛胜利”，事件13="乙获胜一局”.

则P（A）=0.648,

P（AB）=禺X0.4X0.6=0.288.（7分）

所以P⑻人）=需9

所以在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率为巳（10分）

9

18.解析（1）因为比赛结束时甲只获胜一局,所以一共进行了4局比赛，且甲在第

1局或第2局获胜.

若甲在第1局获胜,则乙在后面3局都获胜,此事件的概率为二白（2分）

若甲在第2局获胜,则乙在第1,3,4局获胜，此事件的概率为打打（3W，（4分）

记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A,则p（A）=Jx2q.（5分）

168

⑵根据条件可知X的可能取值为2,4,6,（6分）

当X=2时，有2种情况：｛甲,甲｝,｛乙，乙｝;

当X=4时，有4种情况：｛甲,乙，乙，乙｝,｛乙，甲，乙，乙｝,｛乙，甲，甲,甲｝,｛甲,乙,

甲，甲｝（花括号中,按顺序为各局的获胜者）.

P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=4)」，(9分)

4

所以X的分布列为

X246

111

P

244

所以EX=2X14X[+6X*.(12分)

19.解析（1）设“甲进入下一轮比赛”为事件A,“乙进入下一轮比赛”为事件

B,“丙进入下一轮比赛”为事件C,则事件A,B,C以及甲、乙、丙的每两次考试

之间彼此相互独立.

P（A）=|X|=|,P（B）=|XP（C）X5=|.（3分）

6Dy342525

因为P（A）>P（B）>P（C）,所以甲进入下一轮比赛的可能性最大.（4分）

（2）设“三人考试后恰有两人进入下一轮比赛”为事件D,则D=ABe+A豆C+彳BC.（6

分）

PaBC)=(l-1)xix|=±(9分)

贝ljP(D)=P(AB—C+A—BC+—ZBC)气11+4?1?1

即这三人进行理论笔试与实验操作考试后，恰有两人进入下一轮比赛的概率为

得（12分）

20.解析⑴由题意,可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进

步的表现”，10名女士中有5人也这样认为.（2分）

设“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人认为'键盘侠'的出现是‘社

会进步的表现'”为事件A,

贝ljP（A）=1-瓷-=1-网=（6分）

的0cM10010

⑵设“从这些男士和女士中各抽取两人，至少有两人认为'键盘侠’的出现是

'社会进步的表现'”为事件B,

贝11P⑻=1一等一普喀1%一“&竺.（12分）

第0篇0第0《02713545

21.解析（1）由题意知X的可能取值为0,1,2,

p（x=o）蜷qp（x=i）=萼p（x=2）=叁q（3分）

5。95o9Jo9

AX的分布列为

X012

252

P