11数的开方知识点与复习

11,数的开方知识点与复习11,数的开方知识点与复习/11,数的开方知识点与复习数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：假如一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。（2）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a的平方根记作:。a叫做被开方（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。（6）算术平方根的定义：非负数a的正的平方根。（7）算术平方根表示：一个非负数a的平方根用符号表示为：“”，读作：“根号a”，其中a叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。注：①算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数,即≥0;②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0,1;④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；⑤某数的平方的算术平方根等于某数的肯定值，即=|a|=⑥平方根有三种表示形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特殊留意：≠±⑦平方根及算术平方根的区分及联系：区分：①定义不同②个数不同：③表示方法不同：联系:①具有包含关系：②存在条件相同：③0的平方根和算术平方根都是0。知识点二,立方根：（1）立方根的定义：假如一个数的立方等于a，则这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。假如x3=a，则x叫做a的立方根。记作：,读作“三次根号a”。（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则③0的立方根是0，即若a=0，则。注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0,1,-1.典型例题:例1,x为何值时，下列代数式有意义。（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2,已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是，求a+2b的平方根。例3,若x,y都是实数，且，求x+3y的平方根。例4,假如是a+b+3的算术平方根，是a+2b的立方根，求M－N的立方根。例5．已知：，求实数a,b的值。练习：填空：（1）0.25的平方根是;的算术平方根是,的平方根是。的相反数是，的倒数是，的肯定值是；（3），=，=。（4）当x时,有意义；若有意义，则x；当时，有意义；当时，有意义（5）的平方根是______，的算术平方根是______，的平方根是_______，的立方根是。（6）若一个正数的平方根是和，则，这个正数是（7）假如有是m的一个平方根,则m的算术平方根是___________;（8）计算：=__________（9）已知，则；(a+2)2＋|b－1|＋＝0，则a＋b＋c＝。（10）某种洗衣机的包装箱是长方形,其高为1.2m,体积为1.2,底面是正方形,则该包装箱的底面边长为m.（11）已知△ABC的三边长分别为a,b,c,，且满意,则此△ABC的周长=。（12）请你视察,思索下列计算过程：因为，所以，同样，因为，所以…由此猜想=________________．2,选择：（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）．A,1B,0C,-1D,1，-1或0（2）下列各式中无意义的是()A,B,C,D,（3）下列说法正确的是()A,4的平方根是2B,-16的平方根是4C,实数a的平方根是D,实数a的立方根是（4）有理数中，算术平方根最小的是（）A,1B,0C,0.1D,不存在（5）下列说法中，正确的是（）．A,27的立方根是3，记作=3B,-25的算术平方根是5C,的三次立方根是D,正数的算术平方根是（6）的值是（）．（A）是正数（B）是负数（C）是零（D）以上都可能（7）若，则（）．（A）-0.7（B）±0.7（C）0.7（D）0.49（8）下列等式：①，②，③，④⑤，⑥；正确的有（）个．（A）4（B）3（C）2（D）1（9）设,为实数，且，则的值是（）A,1B,9C,4D,5（10）下列说法中正确的是（）．A,4是8的算术平方根B,16的平方根是4C,是6的平方根D,没有平方根（11）下列各式中错误的是（）．A,B,C,D,（12）下列计算中正确的是（）．A,B,C,D,3,求下列各数的平方根和算术平方根：（1）（2）（3）．4,计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）-+（8）（9）5,解方程：（1）（2）（3）．（4）(x+3)3=27（5）（6）64(x-1)3+125=06,已知实数满意，求的值.7,a,b在数轴上的位置如图所示，化简：．8,已知2x-1的平方根是±3，3x+y-1的平方根是±4，求x+2y的平方根。9,已知：实数,满意条件试求的值．知识点三：实数基础知识1．无理数的定义:（）叫做无理数2．有理数及无理数的区分：有理数总可以用（）或（）表示；反过来，任何（）或（）也都是有理数。而无理数是（）小数，有理数和无理数区分之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（），无理数不能化成（）。3.常见的无理数类型一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。如：。实数,概念：________和________统称为实数。分类按定义按性质6,实数的有关性质⑴a及b互为相反数〈=〉a+b=0⑵a及b互为倒数〈=〉ab=1⑶任何实数的肯定值都是非负数，即≥0⑷互为相反数的两个数的肯定值相等,即=⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.A.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系B.实数的大小比较：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，肯定值大的反而小。C.实数中的非负数及其性质非负数有如下三种形式⑴任何一个实数a的肯定值是非负数，即≥0⑵任何一个实数的平方是非负数，即≥0；⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0(4),非负数有以下性质：⑴非负数有最小值零⑵有限个非负数之和仍旧是非负数⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。二,典型例题类型一．有关概念的识别例1．下面几个数：，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）

A,1B,2C,3D,4举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（）

A,的平方根是±3B,1的立方根是±1C,=±1D,是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根,算术平方根,立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B,C,D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A,B,1.4C,D,

【答案】本题考察了数轴上的点及全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴类型二．计算类型题例2．设，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.举一反三：

【变式1】（1）25的算术平方根是__________；平方根是__________.（2）-27立方根是__________.（3）___________，___________，___________.

【答案】（1）；.（2）-3.（3），，

【变式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合例3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A,B两点，例4.已知实数,,在数轴上的位置如图所示：

化简举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．

A．B．C．D．类型四．实数肯定值的应用例5,化简下列各式：

(1)(2)|π-3.14︱(3)(4)|x-|x-3||(x≤3)(5)|x2+6x+10|举一反三：

【变式1】化简：类型五．实数应用题例6,有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪慧的你能发觉什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为

大正方形的面积为，

一个长方形的面积为。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发觉的规律是：（或）

(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，

又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

所以有，

化简得：

将代入，得：cm

答：中间小正方形的边长2.5cm。类型六．实数非负性的应用例题7,已知：，求实数a,b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。

解：由题意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知则a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2类型七．易错题例题8,推断下列说法是否正确

（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）当x=0或2时，（4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.事实上，本题是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）留意到，当x=0时，，明显此式无意义，

发生错误的缘由是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，.

（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八．引申提高例题9,⑴已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③分析：（1）确定算术平方根的整数部分及小数部分，首先推断这个算术平方根在哪两个整数之间，则较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

解：由得

的整数部分a=5,的小数部分，

∴

（2）解：(1)设x=①

则②②-①得

9x=6

∴.

(2)设①

则②②-①，得

99x=23

∴.

(3)设①

则②②-①，得

999x=107，

∴.A组（基础）一,选择题

1．下列各式中正确的是（）A．B.C.D.

2.的平方根是()A．4B.C.2D.

3.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）A．3个B.2个C.1个D.0个

4．和数轴上的点一一对应的是（）A．整数B.有理数C.无理数D.实数

5．对于来说（）A．有平方根B．只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定

6．在，（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）A．3个B.4个C.5个D.6个

7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）

A．B.C.D.

8．下列各组数中，互为相反数的是（）

A．-2及B.及C.及D.及

9．-8的立方根及4的平方根之和是（）A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）

A．B.C.D.

二,填空题

11．的相反数是________，肯定值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算术平方根是8，则x的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

17．若∣2a-5∣及互为相反数，则a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab<0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表示实数,，则A,B两点间的距离为______。

20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三,解答题

21．计算

⑴⑵⑶⑷⑸⑹4×[9+2×（）]（结果保留3个有效数字）

在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的依次排列，用“”号连接：B组（提高）一,选择题：

1．的算术平方根是（）A．0.14B．0.014C．D．

2．的平方根是（）A．－6B．36C．±6D．±

3．下列计算或推断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．