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第页11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性关键问答如何用数量关系描述三角形的高、中线与角平分线?由三角形的高、中线与角平分线可得到什么样的数量关系?1.①如图11-1-12,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法正确的是()图11-1-12A.BC是△ABE的高B.BE是△ABD的角平分线C.BD是△EBC的中线D.∠EBD=∠A2.②如图11-1-13,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是()图11-1-13A.AB=2BFB.∠ACE=eq\f(1,2)∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE3.如图11-1-14所示,一扇窗用窗钩AB即可固定,这所用的原理是()图11-1-14A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性命题点1三角形的高、中线与角平分线[热度:90%]4.③④在△ABC中,画出边AC上的高,下面4个图中画法正确的是()图11-1-15方法点拨③在三角形中,画三角形已知边上高的方法:把直角三角尺一条直角边放在已知边上,且直角三角尺与三角形位于已知边的同侧,沿已知边推动直角三角尺,使已知边所对的顶点落在直角三角尺的另一条直角边上,沿这条直角边画直线,顶点与交点之间的线段即三角形的一条高.易错警示④钝角三角形中,钝角两条边上的高在钝角三角形的外部.5.如图11-1-16,在△ABC中,∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC,则△ABC的角平分线是()图11-1-16A.ADB.AEC.AFD.AC6.如图11-1-17,△ABC的角平分线AD及中线BE交于点O,有下列结论:①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD的中线.则()图11-1-17A.①②都正确B.①②都不正确C.①正确,②不正确D.①不正确,②正确7.如图11-1-18,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,CF⊥AD于点H.下列判断正确的是()图11-1-18A.AD是△ABE的角平分线B.BE是△ABD的边AD上的中线C.CH为△ACD的边AD上的高D.AH为△ABC的角平分线命题点2交点问题[热度:80%]8.⑤有下列说法:①三角形的中线、角平分线、高都是线段;②三角形的三条高必交于一点;③三角形的三条角平分线必交于一点;④三角形的三条高必在三角形内.其中正确的是()A.①②B.①③C.②④D.③④方法点拨⑤三角形三条中线相交于一点,且相交于三角形的内部;三条角平分线相交于一点,且相交于三角形的内部;三条高所在的直线相交于一点,锐角三角形的三条高相交于三角形内部,直角三角形三条高相交于直角顶点,钝角三角形三条高所在的直线相交于三角形的外部.9.三角形的三条中线的交点的位置为()A.一定在三角形内B.一定在三角形外C.可能在三角形内,也可能在三角形外D.可能在三角形的一条边上命题点3与三角形的中线、高、角平分线相关的计算与证明问题[热度:90%]10.⑥已知AD是△ABC的中线,且△ABD比△ACD的周长大3cm,则AB与AC的差为()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm方法点拨⑥三角形一边上的中线分得的两个三角形的周长差实际上是另外两边的差.11.⑦如图11-1-19,在△ABC中,AD为中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE=________.图11-1-19方法点拨⑦已知三角形一边及这一边上的高的问题,常常利用面积相等建立方程求解.12.如图11-1-20,在△ABC中,∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,∠BDC=76°,DE∥BC,则∠ADE=________°.图11-1-2013.⑧如图11-1-21,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN.图11-1-21解题突破⑧证明两个三角形的高相等,可以通过证明这两个三角形的面积相等以及高所对应的底边相等.14.⑨佳佳用7根木条钉成一个七边形的木架,她为了使该木架稳固,想在其中加上四根木条,请你分别在图11-1-22中画出你的三种想法,并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学依据.图11-1-22模型建立⑨本题的实质是加若干条线段,把多边形分成多个三角形,利用三角形的稳定性解决问题.详解详析1.A2.C3.D4.C5.B[解析]由题意得∠BAD+∠DAE=∠EAF+∠FAC,即∠BAE=∠CAE,所以AE是△ABC的角平分线.6.C[解析]因为AD为△ABC的角平分线,所以∠BAD=∠CAD,由于点O在AD上,所以∠BAO=∠CAO,所以AO是△ABE的角平分线.由BE是△ABC的中线,能得到AE=CE,不能得到AO和OD相等,因此“BO是△ABD的中线”不正确.7.C[解析]由题意可得AD是△ABC的角平分线,BG是△ABD的边AD上的中线,CH为△ACD的边AD上的高,AH为△ACF的高.8.B9.A10.B[解析]由题意得△ABD的周长为AB+AD+BD,而△ACD的周长为AC+AD+CD.由于AD是△ABC的中线,所以BD=CD,所以△ABD的周长-△ACD的周长=AB-AC=3cm.11.2[解析]由于AD是△ABC的中线,所以S△ADB=S△ADC,所以eq\f(1,2)×AB×DE=eq\f(1,2)×AC×DF,所以DE=eq\f(4×1.5,3)=2.12.68[解析]∵∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°.∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD=36°.∵∠BDC=76°,∴∠CDE=112°,∴∠ADE=180°-∠CDE=68°.13.证明:∵BE,CF均是△ABC的中线,∴S△ABE=S△ACF=eq\f(1,2)S△ABC.∵AM⊥CF,AN⊥BE,∴eq\f(1,2)AM·CF=eq\f(1,2)AN·BE.又∵BE=CF,∴AM=AN.14.解:如图所示(答案不唯一).依据:三角形具有稳定性.【关键问答】①过三角形顶点的直线,若与对边所在直线的交角为直角,则顶点与交点之间的

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