广东省揭阳市2021-2022学年度高中二年级教学质量测试试题含答案

高二·数学试题第=page11页（共=sectionpages22页）揭阳市2021-2022学年度高中二年级教学质量测试数学本试卷共4页，22题，满分150分，考试用时120分钟。第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图1给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（

）A． B． C． D．4．下列函数中，周期为1的奇函数是（）图1A． B．图1C． D．5．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B．2 C． D．6图27．如图2所示，是函数的图象与其在点P处的切线，则等于（

）图2A．－2 B．0 C．2 D．48．已知，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图3所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（

）A．图中的值为B．由直方图中的数据，可估计分位数是C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75D．分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号图图310．如图4，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（

）A．B．C．D．图图411．已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（

）A．B．直线与圆O截得弦长为C．直线与圆O相切D．长最大值为12．在长方体中，，，，分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有（

）A．若是棱上一点，且，则，，，四点共面B．异面直线，所成的角为C．平面截该长方体所得的截面为五边形D．若是棱上一点，点到平面的距离最大值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的零点是______．14．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为______．15．函数的最大值为______．图516．如图5，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了______轮，此时点A走过的路径的长度为______．图5（注：第一个空2分，第二个空3分。）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知为等差数列的前项和，若______.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．（12分）已知函数的部分图象如图6所示．（1）求函数的解析式；图6（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．图619．（12分）学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题，正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分.小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是；每道圆锥曲线题解答正确的概率为.假设小明同学每道题的解答相互独立.(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；(2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值；20．（12分）如图7，四棱锥中，四边形为菱形，，且，．(1)求证：平面；(2)若，，求二面角的余弦值．图图721．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为．以轨迹与轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．(1)求C的方程；(2)求的最小值，并求出此时圆T的方程；(3)设点P是轨迹上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：为定值．22．（12分）已知函数.(1)时，求函数的极值；(2)时，讨论函数的单调性；(3)若对任意，当时，恒有成立，求实数的取值范围．揭阳市2021-2022学年度高中二年级教学质量测试参考答案及评分标准数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1~5DBBCD6~8ADA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BD10．BCD11．ABD12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（只填一个数字8也可以）14．915．16．3

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解：(1)若选①：，，则，………2分解得，………………4分所以；……………5分若选②：，，则，……………………2分解得，…………………4分所以；………………5分若选③：当时：…………………………1分，所以，…………………3分当时：（上式也成立）…………………4分所以………………5分(2)因为，所以…………………8分………………10分【注：最后答案写或者都可以。】18．解：（1）据图象可得，故，………………1分由得：．……………………2分由得：．由知，，（范围没写扣1分）…………………3分，解得，…………………4分；……………………5分（2），，（代入就给1分）…………6分，，（范围没写扣1分）……………………7分，，……………………8分由题意得的面积为，解得，……………10分由余弦定理得，解得：.………12分【注：以上若只写面积公式和余弦定理公式，则各给1分。】19．解：(1)题目有一道导数题和两道圆锥曲线题，设A={导数题解答正确}，B={圆锥曲线第一题解答正确}，C={圆锥曲线第二题解答正确}，则A、B、C相互独立。故小明同学恰好有两道题解答正确的概率为：…………4分【注：以上3种情况每写一种得1分，计算结果正确得1分。】(2)由题意得的可能取值为………………………5分，………………………6分，……………7分，…………………8分，……………9分，………………10分则的分布列为：01235………………………11分均值为：…………12分20．解：(1)证明：连接交于点，连接，则为的中点，因为四边形为菱形，则，……………………1分因为，为的中点，则，……………2分，平面，平面，则，…………………3分，，平面.……………4分(2)解：取的中点，连接，因为四边形为菱形，，则，且，故为等边三角形，因为为的中点，则，因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，……………5分则、、、，……………………6分设平面的法向量为，，，则，取，则，………………8分设平面的法向量为，，，则，取，则，……………………10分，…………11分由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为.……………12分21．解：(1)解：，轨迹为椭圆…………………1分，，，，………………………3分故椭圆C的方程为．…………………4分(2)解：点A与点B关于y轴对称，设，，由点A在椭圆C上，则，因为，得，所以，由题意得……………5分当时，取最小值，……………6分此时，，故，…………………7分又点A在圆T上，代入圆的方程，得故圆T的方程是．……………8分(3)证明：设，则PA的方程为令，得，同理………9分故，①……………………10分因为P，A都在椭圆C上，所以，，代入①可得：……11分，即得．………12分22．解：(1)当=时，=，∴，………………………1分令=得，=，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，……………3分∴函数的极大值为=，无极小值；……………………4分【注：没写“无极小值”扣1分。】(2)当时，函数=，，……………5分①当时，，令=，得=，∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；……………6分②当时，令=，得=或，若，则，∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；……………7分若时，则恒成立，∴函数在上