高考数学一轮复习练案50第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第二讲两条直线的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2021·江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为(B)A．x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0〖〖解析〗〗设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.可得要求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选B.2．(2021·河北张家口一中期中)直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(B)A．－1 B．2C．－1或2 D．0或1〖〖解析〗〗l1∥l2⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－2＝0,a3≠－1))，解得a＝2.故选B.3．(2021·安徽合肥)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(B)A．－4 B．－2C．2 D．4〖〖解析〗〗∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B.4．(2021·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为(C)A．x＋2y－2＝0 B．x－2y＝0C．2x－y－3＝0 D．2x－y＋3＝0〖〖解析〗〗因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，所以直线l的斜率为2，且直线l过点(2,1)．故选C．5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为(C)A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－2,1)〖〖解析〗〗设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0＋y0－5＝0，,\f(|x0－y0－1|,\r(2))＝\r(2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－1，))所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)，故选C．6．(2021·河北五校联盟质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(B)A．eq\r(2) B．eq\f(8\r(2),3)C．eq\r(3) D．eq\f(8\r(3),3)〖〖解析〗〗l1∥l2⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3，,a2≠9，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0.所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故选B.7．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为(B)A．y＝eq\f(1,2)x－1 B．y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2) D．y＝eq\f(1,2)x＋1〖〖解析〗〗由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))记A(－1，－1)，在直线y＝2x＋1上取一点B(0,1)，则其关于直线y＝x的对称点为B′(1,0)，又kAB′＝eq\f(0－－1,1－－1)＝eq\f(1,2)，∴所求直线方程为y－(－1)＝eq\f(1,2)〖x－(－1)〗，即y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).故选B.8．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(C)A．3 B．0C．－1 D．1〖〖解析〗〗直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·eq\f(2－1,3－2)＝m＝－1，故选C．二、多选题9．使三直线l1：4x＋y＝4、l2：mx＋y＝0、l3：2x－3my＝4不能围成三角形的m的值可能是(ACD)A．－eq\f(1,6) B．－eq\f(1,4)C．－1 D．4〖〖解析〗〗当l1∥l2时，－m＝－4，即m＝4；当l1∥l3时，－3m＝eq\f(1,2)，即m＝－eq\f(1,6)，当l1、l3相交时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝4,2x－3my＝4))得l1与l3的交点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6m＋2,6m＋1)，\f(－4,6m＋1)))，由eq\f(6m2＋2m,6m＋1)＋eq\f(－4,6m＋1)＝0得m＝－1或eq\f(2,3)，故选ACD.10．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，则m的倾斜角可以是(AD)A．15° B．30°C．60° D．75°〖〖解析〗〗l1与l2之间的距离|AB|＝eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，如图不防设直线m与l2相交于M或N，由题意知∠ABM＝∠ABN＝60°，∴m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°，故选AD.三、填空题11．(2021·辽宁师大附中模拟)两条直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是－1<a<2.12．(2021·重庆重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为x＋2y－3＝0.〖〖解析〗〗圆心为(－1,2)，kl2＝－eq\f(1,2)，故l2的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－3＝0.13．(2021·江苏启东质检)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是x＋2y－3＝0.〖〖解析〗〗当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－eq\f(1,2)，此时，直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.14．(2021·洛阳模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝eq\f(34,5).〖〖解析〗〗由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).四、解答题15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．〖〖解析〗〗由题意知kBH＝eq\f(1,2)，∴kAC＝－2，又A(5,1)，∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0))可得C(4,3)，设B(x0，y0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入CM的方程得2x0－y0－1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－1＝0,x0－2y0－5＝0))可得B(－1，－3)，∴kBC＝eq\f(6,5).所以直线BC的方程为y－3＝eq\f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.B组能力提升1．(2021·湖北武汉调研)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(B)A．1 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)〖〖解析〗〗由题意知b2＋1－ab2＝0，∴a＝1＋eq\f(1,b2)，又b>0，∴ab＝b＋eq\f(1,b)≥2(当且仅当b＝1时取等号)，故选B.2．(2018·北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为(C)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗由题意d＝eq\f(|cosθ－msinθ－2|,\r(12＋m2))＝eq\f(|\r(m2＋1)sinθ－α－2|,\r(m2＋1))，∴当sin(θ－α)＝－1时，dmax＝1＋eq\f(2,\r(m2＋1))≤3.∴d的最大值为3.故选C．3．若直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则l的方程是(C)A．3x－2y－5＝0 B．2x－3y－5＝0C．2x＋3y＋1＝0 D．3x＋2y－1＝0〖〖解析〗〗设P(a,1)，则由题意知Q(2－a，－3)，∴2－a＋3－7＝0，即a＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝eq\f(1－－1,－2－1)＝－eq\f(2,3)，∴l的方程为y＋1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y＋1＝0，故选C．4．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(C)A．3eq\r(3) B．6C．2eq\r(10) D．2eq\r(5)〖〖解析〗〗直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).5．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知两点A(1,2)，B(3,6)，动点M在直线y＝x上运动，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))的最小值为(B)A．2eq\r(5) B．eq\r(26)C．4 D．5〖〖解析〗〗显然A(1,2)关于直线y＝x的对称点为A1(2,1)．∵|MA|＋|MB|＝|MA1|＋|MB|，由图可知当B、M、A1共线时|MA|＋|MB|最小，且最小值为|BA1|＝eq\r(3－22＋6－12)＝eq\r(26).故选B.〖引申〗①|MA|＋|MB|最小时点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(9,4)))；②若将“A(1,2)”改为“A(4,2)”，则|MA|与|MB|差的最大值为eq\r(5).第二讲两条直线的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2021·江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为(B)A．x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0〖〖解析〗〗设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.可得要求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选B.2．(2021·河北张家口一中期中)直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝(B)A．－1 B．2C．－1或2 D．0或1〖〖解析〗〗l1∥l2⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－2＝0,a3≠－1))，解得a＝2.故选B.3．(2021·安徽合肥)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(B)A．－4 B．－2C．2 D．4〖〖解析〗〗∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l1在x轴上的截距是－2，故选B.4．(2021·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为(C)A．x＋2y－2＝0 B．x－2y＝0C．2x－y－3＝0 D．2x－y＋3＝0〖〖解析〗〗因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，所以直线l的斜率为2，且直线l过点(2,1)．故选C．5．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为(C)A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－2,1)〖〖解析〗〗设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0＋y0－5＝0，,\f(|x0－y0－1|,\r(2))＝\r(2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－1，))所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)，故选C．6．(2021·河北五校联盟质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(B)A．eq\r(2) B．eq\f(8\r(2),3)C．eq\r(3) D．eq\f(8\r(3),3)〖〖解析〗〗l1∥l2⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2＝3，,a2≠9，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0.所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故选B.7．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为(B)A．y＝eq\f(1,2)x－1 B．y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2) D．y＝eq\f(1,2)x＋1〖〖解析〗〗由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))记A(－1，－1)，在直线y＝2x＋1上取一点B(0,1)，则其关于直线y＝x的对称点为B′(1,0)，又kAB′＝eq\f(0－－1,1－－1)＝eq\f(1,2)，∴所求直线方程为y－(－1)＝eq\f(1,2)〖x－(－1)〗，即y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).故选B.8．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(C)A．3 B．0C．－1 D．1〖〖解析〗〗直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·eq\f(2－1,3－2)＝m＝－1，故选C．二、多选题9．使三直线l1：4x＋y＝4、l2：mx＋y＝0、l3：2x－3my＝4不能围成三角形的m的值可能是(ACD)A．－eq\f(1,6) B．－eq\f(1,4)C．－1 D．4〖〖解析〗〗当l1∥l2时，－m＝－4，即m＝4；当l1∥l3时，－3m＝eq\f(1,2)，即m＝－eq\f(1,6)，当l1、l3相交时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝4,2x－3my＝4))得l1与l3的交点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6m＋2,6m＋1)，\f(－4,6m＋1)))，由eq\f(6m2＋2m,6m＋1)＋eq\f(－4,6m＋1)＝0得m＝－1或eq\f(2,3)，故选ACD.10．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，则m的倾斜角可以是(AD)A．15° B．30°C．60° D．75°〖〖解析〗〗l1与l2之间的距离|AB|＝eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，如图不防设直线m与l2相交于M或N，由题意知∠ABM＝∠ABN＝60°，∴m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°，故选AD.三、填空题11．(2021·辽宁师大附中模拟)两条直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是－1<a<2.12．(2021·重庆重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为x＋2y－3＝0.〖〖解析〗〗圆心为(－1,2)，kl2＝－eq\f(1,2)，故l2的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－3＝0.13．(2021·江苏启东质检)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是x＋2y－3＝0.〖〖解析〗〗当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－eq\f(1,2)，此时，直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.14．(2021·洛阳模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝eq\f(34,5).〖〖解析〗〗由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).四、解答题15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．〖〖解析〗〗由题意知kBH＝eq\f(1,2)，∴kAC＝－2，又A(5,1)，∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0))可得C(4,3)，设B(x0，y0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入CM的方程得2x0－y0－1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－1＝0,x0－2y0－5＝0))可得B(－1，－3)，∴kBC＝eq\f(6,5).所以直线BC的方程为y－3＝eq\f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.B组能力提升1．(2021·湖北武汉调研)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(B)A．1 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)〖〖解析〗〗由题意知b2＋1－ab2＝0，∴a＝1＋eq\f(1,b2)，又b>0，∴ab＝b＋eq\f(1,b)≥2(当且仅当b＝1时取等号)，故选B.2．(2018·北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为(C)A．1 B．2C．3 D．4〖〖解析〗〗由题意d＝eq\f(|cosθ－msinθ－2|,