新高考一轮复习导学案第56讲 立体几何中的切接问题（微专题）（解析版）

第56讲立体几何中的切接问题（微专题）题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0，所以外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B.变式1、（2022·江苏海门·高三期末）已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为SKIPIF1<0，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（）A．16π B．SKIPIF1<0 C．8π D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】探求正四棱锥SKIPIF1<0的顶点P在底面上射影SKIPIF1<0与球O的球心关系即可计算作答.【详解】在正四棱锥SKIPIF1<0中，连接AC，BD，SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，如图，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因此，顶点P，A，B，C，D在以SKIPIF1<0为球心，2为半径的球面上，即点O与SKIPIF1<0重合，所以球O的体积是SKIPIF1<0.故选：B变式2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除SKIPIF1<0如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知SKIPIF1<0，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取BC的中点G，连接FG，作SKIPIF1<0，垂足为H，如图所示，由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，∴这个羡除的外接球体积为SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即：点A到面SKIPIF1<0的距离等于点B到面SKIPIF1<0的距离，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴这个羡除的体积为SKIPIF1<0，∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为SKIPIF1<0.故选：A.变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若将SKIPIF1<0沿AC边上的中线BD折起，使得平面SKIPIF1<0平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（）A．SKIPIF1<0 B．四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0C．存在点E使得SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0 D．四面体ABCD的外接球表面积为SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，利用垂直关系的转化得到SKIPIF1<0判定选项A错误；过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，利用直角三角形求出高和底面面积，再利用体积公式求出体积判定选项B正确；求出SKIPIF1<0的面积的最大值和最小值，进而判定选项C正确；确定四面体外接球的球心，再通过直角三角形求出半径，再求其体积判定选项D正确.【详解】对于A：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然不可能，故选项A错误；对于B：考查三棱锥SKIPIF1<0的体积，易知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，即四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C：显然当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取得最小值，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选项C正确；对于D：设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外心依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球球心SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，则四边形SKIPIF1<0为矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则外接球表面积为SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：BCD.变式4、（2022·河北张家口·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）.如图，三棱锥SKIPIF1<0为一个鳖臑，其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，则（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的直径C．三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积与三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积相等【答案】BC【分析】利用线面垂直的判定可判断A选项的正误；利用直角三角形的性质可判断B选项的正误；确定球心的位置，求出三棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径，利用球体的体积公式可判断C选项的正误；求出三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图，过点SKIPIF1<0向SKIPIF1<0引垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0矛盾，A错；对于B选项，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离相等，所以SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的直径，故B正确；对于C选项，分别取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的外心为线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心在直线SKIPIF1<0上，即该球球心在平面SKIPIF1<0内，所以SKIPIF1<0的外接圆直径SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的直径，且SKIPIF1<0，而三棱锥SKIPIF1<0的外接球直径为SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC.变式5、（2022·江苏如皋·高三期末）已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝SKIPIF1<0，∠BAC＝SKIPIF1<0，则点A到平面BCD的距离为_________，该三棱锥的外接球的体积为_________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】①SKIPIF1<0，等积法计算顶点到底面的距离；②求三棱锥外接球球心，然后再求体积.【详解】①如下图所示，SKIPIF1<0设点A到平面BCD的距离为h，取BC中点E，连AE、DE，因为AB=AC=AD=1，SKIPIF1<0，所以BC=1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②取AB中点F，连CF交AE于G，则G是SKIPIF1<0的外心，过G作SKIPIF1<0，O为三棱锥外接球的球心，过O作SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0设球的半径为R，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案为：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0变式6、（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，ABSKIPIF1<0平面BCD，CDSKIPIF1<0AD，AB=BD=SKIPIF1<0，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为SKIPIF1<0，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图所示：设CD=x，由题意得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0变式7、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接球的体积为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别x，y，z的长方体，其面对角线分别为SKIPIF1<0解出x，y，z,求长方体的体对角线即可.【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0变式8、（2022·河北保定·高三期末）如图，SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形SKIPIF1<0的中位线，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则四棱雉SKIPIF1<0外接球的表面积是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出四边形SKIPIF1<0外接圆的圆半径，再设四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出半径，代入球的表面积公式即可.【详解】如图，分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.设四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0.易证四边形SKIPIF1<0是矩形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设四棱锥SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例2、（2021·山东高三其他模拟）如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均为1的六边形是某棱锥的侧面展开图，则该棱锥的内切球半径为_________．【答案】【解析】将图形还原得四棱锥，如图，设内切球的球心为O，半径为r，则有即，解得.故答案为：.变式1、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知三棱锥SKIPIF1<0的所有棱长都相等，现沿SKIPIF1<0三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的内切球的体积为_______【答案】SKIPIF1<0【解析】：三棱锥SKIPIF1<0展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以三棱锥的棱长为SKIPIF1<0，可得棱长的高SKIPIF1<0设内切球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0变式2、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知三棱锥SKIPIF1<0的所有棱长都相等，现沿SKIPIF1<0三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的内切球的体积为_______【答案】SKIPIF1<0【解析】：三棱锥SKIPIF1<0展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以三棱锥的棱长为SKIPIF1<0，可得棱长的高SKIPIF1<0设内切球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出图形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形相似得到SKIPIF1<0，得到圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由导函数得到当SKIPIF1<0时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，作出圆锥的外接球，设外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】设圆锥的顶点为SKIPIF1<0，底面圆的圆心为SKIPIF1<0，内切球圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设圆锥的外接球球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故其外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A变式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为SKIPIF1<0的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，SKIPIF1<0，则在该四面体中（）A．SKIPIF1<0B．BE与平面DCE所成角的余弦值为SKIPIF1