2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之测量类应用【量感】含答案

2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之测量类应用一、选择题1．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（）A．5sin10°厘米 B．C．5tan10°厘米 D．2．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A．2.5m B．5m C．29m D．103．如图，天定山滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．150tan18°米 B．C．150cos18°米 D．4．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面A．（4+3sin⁡α）mC．4+3sin⁡α5．如图①，将一个楔子Rt△ABC从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10∘，楔子沿水平方向前进6cm（如图A．6sin⁡10∘cm B．6cos6．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角(∠ABC)的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（）

A．(60sinα+70)cm C．(60tanα+707．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m，CD与地面垂直且CD=6m，则灯顶A到地面的高度为（）A．6+1.2sin25°m B．C．6+1.2sin25°8．“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC=3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC=α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（）A．(3sinα−1)米 B．C．(3tanα−1)米 D．(39．榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC，AB=DC，燕尾角∠B=α，外口宽AD=a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为（）A．btanα+a B．2btanα+a C．10．日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC=15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：2≈1A．31m B．36m C．42m D．53m11．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为43cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为230cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）A．73cm B．12cm C．8二、填空题12．如图40-4，ED为一条宽为4m的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3m（即CE=3m）．因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点．已知吊篮的截面为直径为1m的半圆（直径MN=1m），绳子QM=QN=1.3（1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为m．（2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则DP的长应大于m．13．阅读材料：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，求解题思路：在CB上截取CD=CA，再连接AD，可证△ADB为等腰三角形，设AC=CD=a，则AD=BD=2a，则tan22.5°=14．图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB−CE−EF和两个大小相同的车轮组成，已知CD=20cm，DE=15cm，sin∠ACD=45，当A，E，F在同一水平高度上时，∠CEF=135°，则AC=cm三、解答题15．某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）16．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A（1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；（2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈17．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈18．嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了11.8米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出嵩岳寺塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈四、实践探究题19．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图40-2①所示．（1）如图40-2②，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．（2）如图40-2③，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37∘，∠ACD为45∘，地面上点B，C，D在同一水平直线上，（参考数据：sin20．问题：如何设计“倍力桥”的结构？图38-1①是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．图38-1②是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1（1）探究1：图38-1③是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm（2）探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．①若有12根横梁绕成环，图38-1④是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n⩾6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H121．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．（1）解决问题：CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm，α＝°（注：sin49°＝cos41°=34，tan37°（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）（3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB'上，设PC＝x，BQ＝y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．22．【阅读理解】：如图，在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA=ac，sinB=bc，可得（1）【探究活动】：如图，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：asinAbsinB（2）【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在∠ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．已知∠B=30°，∠C=45°，b=2，求c（3）【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼AB的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼AB的高度．（参考数据：3≈1.7

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】（1）5（2）0.713．【答案】2−1；14．【答案】25；2515．【答案】解：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，则BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，ED＝BM，设AE＝xm，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝xm，∵BC＝20m，∴BE＝x+20，在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，∴tan22°＝AEBE∴0.40＝xx解得：x≈13.33，∴ED＝BM＝1.4m，∴AF＝13.33+1.4＝14.73≈14.7（m）．答：古城门最高点A距离地面的高度约为14.7m．16．【答案】（1）解：如图1中，连接OA．由题意，筒车每秒旋转360°×56在Rt△ACO中，cos∠AOC＝0C0A∴∠AOC＝43°，∴2π×3×180−43360＝137π答：盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程为137π60（2）解：如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，过点P作PD⊥OC于D，在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×122.2﹣1.5＝0.7（m），答：盛水筒P到水面的距离为0.7m．（3）解：如图3中，∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝OPOM∴∠POM≈68°，在Rt△COM中，cos∠COM＝OCOM∴∠COM＝74°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为385答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．17．【答案】解：根据题意，得AB⊥BC，EF⊥BC，DC⊥BC，DG⊥AB．∴BG=CD=1.5m，DE=CF=7m，∠AEG=45°，∵在Rt△AGE中，∠AEG=45°，∴∠GAE=45°，∴AG=GE．设AG为x m，则GE=x，GD=x+7，在Rt△AGD中，tan∠ADG=∴4AG≈3GD，则4x≈3(x+7)，解得x≈21，∴AB=AG+GB≈21+1.答：塔高AB的长约为22.5m．18．【答案】解：由题意得：∠DCB＝∠FEB＝∠GBE＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE、四边形FEGB、四边形DCBG均为矩形，∴BG＝EF＝CD＝1.6米，CF＝DE＝11.8米，在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，∴AG＝EG，设AG＝EG＝x米，则DG＝（x+11.8）米，在Rt△AGD中，tan∠ADG＝AGDG＝tan37°≈3即xx+11.8解得：x≈35.4，经检验，x≈35.4是原方程的解，且符合题意，∴AG≈35.4米，∴AB＝AG+BG≈35.4+1.6＝37（米），答：嵩岳寺塔AB的高度约为37米．19．【答案】（1）解：如图所示：由题意知OD⊥PD，在Rt△POD中，∠D=90°，则α+β=90°，∴β=90°−α；（2）解：如图所示：∴AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD，在Rt△ABD中，∠ABD=37°，由tan∠ABD=即0.解得AD=60m，∴气球A离地面的高度AD=60m．20．【答案】（1）解：四边形CDEH1是菱形，理由如下：

由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，

∴CDEH1为平行四边形．

∵桥梁的规格是相同的，

∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，

∵▱CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，

∴四边形CDEH1每条边相等，

∴四边形CDEH1为菱形；

如图1，过点C作CM⊥AB于点M．

由题意，得C