2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷（附详解）

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷

一、单选题(本大题共30小题，共114.0分)

2

1.己知集合4={%6R\x4-x-6<0},B={xEZ\—2<x<1]9则4n8=()

A.[-2,1)B.[-3,2]C.{-2,-1,0}D.{-2,-1,0,1}

2,下列函数表示同一函数的是()

A.y=%+1与y=y4-1B.y=/与y=(%—l)3

C.y=|%|与y=(V%)2D.y=%。与y=3

3.已知角。的顶点为坐标原点，始边为工轴的非负半轴，若P(2,y)是角6终边上的一点,

且点九8=—?，则y的值为()

A.±1B.-1C.±2D.-2

(2%T+1%<1

4.设函数/⑶=；|)(；>1，则/(/(。))的值为()

A.1B.2C.3D.4

5.已知某扇形的圆心角为会面积为6兀，则该扇形的弧长为()

A.7rB.2nC.3兀D.4兀

6.函数f(x)=2*—M+3的零点所在的区间可以是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

7.已知函数f(x)=2cosC-2x)+l,则函数f(x)的单调递减区间是()

A.[kn+*E+y](/ceZ)B.[一而-^,-kn+^keZ)

C.阿一色做+净(keZ)D.即+能面+詈](kez)

8.函数y=餐券，[-2乃,2扪的图象大致是()

9.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护

中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面

上的大气压强是760mmHg,大气压强P(单位：mmHg)和高度九(单位：m)之间的

关系为P=760e-u(e为自然对数的底数，k是常数),根据实验知500巾高空处的大

气压强是700?nmHg,则当歼20战机巡航高度为1000m,歼16。战机的巡航高度为

1500m时，歼20战机所受的大气压强是歼16。战机所受的大气压强的()倍.

A.0.67B.0.92C.1.09D.1.5

10.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调递增，则()

A.f(-log23)>/碗〉/审］B.f(-log23)>升(|向>开(|)向

C.八(|向>f(-log23)>H(|角D.f[(萌>H(|角>f(-log23)

11.已知函数/'(X)=4sin(x-$,且/'(Xi)f(X2)=16,贝ij%+©I的最小值为()

12.若2Ea+5-mbZ2mb+5Tna,贝lj()

A.a<bB.a>bC.ab>1D.ab<1

13.已知集合4={4,5,6},B={3,5,7},则ACB=()

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A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,567}

14.函数/Q)=V7不+力的定义域为()

A.(—3,—2)U(-2,+8)B.[—3,—2)U(—2,+8)

C.(-3,+8)D.(-8,-2)U(—2,+8)

15.log318-log32=()

A.1B.2C.3D.4

16.以4(2,0),B(0,4)为直径端点的圆方程是()

A.(x+I)2+(y+2)2=20B.(x-1)2+(y-2)2=20

C.(x+1)2+(y+2)2=5D.(x—1)2+(y—2)2=5

17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

()2-*

正视图侧视图

A.2

3

B.4

俯视图

18.不等式2门-“<4的解集是()

A.(-1,3)B.(-00,-1)u(3,4-00)

C.(-3,1)D.(-co,-3)U

'%+yV3,

19.若实数幻y满足不等式组卜一y£1：则2x+y的最大值是()

>1,

A.2B.4C.5D.6

20.若直线入：3x-4y-1=0与。：3x-ay+2=0（aeR）平行，则。与。间的距离

是（）

A.1B.|C.|D.I

21.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsim4=V^a，则B=（）

A.IB.捷朗C.?D.割冷

22.已知平面a,口和直线，，（）

A.若”/a,〃/S，则a〃£B.若l〃a,lu0,则a〃夕

C.若，la,，u0,则a10D.若，_La,，1氏则a1口

23.若a,bER,则“abN；”是“。2+抉之3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

24.函数八乃=溪》的图象大致是（）

A.

1

1---

25.已知数列的前n项和为工,且满足%=2,an+1,nEN*,则（）

A.。40<。100B.。40>a100C.S40<S100D.S40>Si。。

26.如图,正方体/BCO—ABIGDI中，E，F分别为棱GD「

的中点，则异面直线DE与4F所成角的余弦值是（

A-I

B1

Q

,10

D噌

27.某简谐运动的图象如图所示,若48两点经过X秒后分别运动到图象上E,尸两点,

则下列结论不一定成立的是（)

A.AB=

C.AE-GB=BF-GBD.AB-EF>BFAG

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28.已知函数/0)=[‘心—7">°,则函数y=/[/(x)+l]的零点个数是()

lx2+2%,%<0

A.2B.3C.4D.5

29.如图，椭圆提+，=1(<1>/7>0)的右焦点为尸，A,

B分别为椭圆的上、下顶点，P是椭圆上一点，4P〃BF,

\AF\=\PB\,记椭圆的离心率为e,则e2=()

A.五

2

B.昆

8

ci

D.D

8

30.如图，在三棱锥D-4BC中，ABBC=CD=DA,乙4BC=90。，E,F,0分别

为棱8C,D4,4c的中点，记直线EF与平面BOD所成角为。，则。的取值范围是()

二、单空题(本大题共7小题，共29.0分)

31.已知tcma=2,则tana•cos2a-siMa=.

32.已知幕函数/'(x)=(k-1)•X。的图象过点(2,},则k+a=.

33.定义在R上的函数/(x)满足：对于任意的孙,X2ER,都有[7(%1)—/。2)]，01一

%2)>。恒成立，且对于任意x，y6R都有+y)=f(x)同时/'(1)=3,

则不等式/(/一为<9的解集为.

34.已知函数/■(无)=log2(三)，xe9(幻=3m-m2sin(x+^),xe

对任意Xi6[-弟弟，总存在%2e6同，使得g(%2)=/QI)成立，则实数m的取

值范围为.

35.已知平面向量苍，石满足|⑹=2,|K|=1，a-fa=-1>贝U|N+1|=.

36.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满

智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图

由正方形的内切圆（简称大圆）和两个互相外切且半径相等

的圆（简称小圆）的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切若正

方形的边长为8,则以两个小圆的圆心（图中两个黑白点视为

小圆的圆心）为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是.

37.已知aeR,b>0,若存在实数无€[0,1）,使得—a|Sb-a/成立，则蓝的取

值范围是.

三、多空题（本大题共1小题，共6.0分）

38.设等比数列｛斯｝的公比为q,前n项和为%,若为=1,a4=64,则勺=

53=-------------

四、解答题（本大题共9小题，共101.0分）

39.计算求值:

（1）（2021）。+J（兀-4乃+（3|京

（2）62+2即+l0g227-log34-lg1.

40.已知f(%)=loga(x+3)—loga(3—%),其中Q>0且QH1.

(1)判断/(%)的奇偶性并证明；

(2)解不等式：/(x)>0.

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41.集合4={%比2+2x—3<0},B={x|*>l},C={x\2a<x<a+3,aER].

(1)求(CRA)CB；

(2)请从①Bnt=C,②BCC=0,③C曝B这三个条件中任选一个作为已知条

件，求实数a的取值范围.

sin(^+a)cos2(^+a)tan(-7T+a)

42.已知f(a)=

sin(7r+a)tan(-a+37r)

(1)化简f(a);

(2)若/(Q)=$且0VaV%求s出a-cosa的值;

(3)若a=-I860。，求/"(a)的值.

43.己知二次函数〃%)同时满足以下条件：①f(2+x)=/(2-工)，②f(0)=1，

③"2)=-3.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若九(%)=f(%)+(m+4)%,x6[—1,2],求：

①九(x)的最小值0O)；

②讨论关于m的方程|乎(6)|=攵的解的个数.

44.已知函数/(%)=2*,h(x)=%2-4%4-5m,中(%)与f(%)互为反函数.

(1)求8(%)的解析式；

(2)若函数y=0(/i(x))在区间(3m-2,m4-2)内有最小值，求实数m的取值范围；

(3)若函数g(%)=W(券)(％>0),关于方程[g(x)F+a|g(x)|+a+3=0有三个不

同的实数解，求实数。的取值范围.

45.已知函数/Q)=»sin(x+看)+]cos(x+凯xER.

(I)求/《)的值；

(n)求函数f(x)的最小正周期；

(川)当％6[0,争时，求函数/⑴的值域.

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46.如图，直线1与圆E：/+日+1)2=1相切于点「，与抛物线c：/=4y相交于不

同的两点A,B,与y轴相交于点7(0,t)(t>0).

(I)若7是抛物线C的焦点，求直线/的方程；

(II)若|TE|2=伊川.|PB|,求t的值.

47.设a€[0,4],已知函数/。)=署，xER.

(I)若/(x)是奇函数，求a的值；

(II)当x>0时，证明：/(x)<^x-a+2；

(HI)设与，彳26R,若实数m满足/Qi)•/(不)=-Hi?,证明：/(m-a)-/(I)<"

o

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4=[xG.R\x2+x-6<0}={x|-3<x<2},B={xGZ|-2<x<

1]={-2,-1,0),

则力CB={-2,-1,0}.

故选：C.

求出集合A,B,由此能求出AnB.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：选项4因为函数y=x+l的定义域为R,而函数y=?+1=x+l,定

义域为{x|x40}，故A错误，

选项B：两个函数的解析式不同，故8错误，

选项C：因为函数y=|处的定义域为R,而函数y=(正产的定义域为[0,+8),故C错

误，

选项D：因为y=x0=1,函数定义域为{x|x力0},函数y=9=1,函数定义域为{x|x丰

0},故。正确，

故选：D.

根据同一函数的两个条件即定义域与解析式完全相同对应各个选项判断求解即可.

本题考查了判断函数是否是同一函数的问题，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：因为P(2,y)是角。终边上一点，

所以sin。=-^==-y(y<0),

解得y=-1,

故选：B.

利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果.

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本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

4.【答案】A

+1%<1

•••/(0)=2-1+1=|,

/(/(0))=居)=log2G+}=10g22=1,

故选：A.

根据分段函数f(x)的解析式结合对数的运算性质求解.

本题主要考查了分段函数的性质，考查了对数的运算性质，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：设扇形的半径为r,因为圆心角为a=枭面积为S=6TT,

所以1a•产=：xgx户=6兀，解得r=6,

所以扇形的弧长为，=ar=gx6=2兀.

故选：B.

根据扇形的圆心角和面积求出半径，再求扇形的弧长.

本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：设立(乃=2/也(*)=/一3,则/(%)=万(x)-力(尤),

在区间(一8,0］上，/i(x)单调递增，为(x)单调递减，则f(x)单调递增，

由于/'(-2)=2-2_4+3<0,/(-I)=2-1-1+3>0,,

所以有唯一零点且零点在区间(一2,—1)内；

在区间(0,2］上，仅为=2X>20==%2-3<22—3=1,故在区间(0,2］函数

A(x)与/2(x)的图象没有交点，从而函数/(x)没有零点，

故选：A.

设立(x)=2*,/(%)=/-3,则/'(x)=R(x)-。=)，分析可得在区间(-8,0］上函数

/■(%)单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间；

在(0,2]上，函数f(x)的单调性不确定，分别考察fi(x)和/2(x)的取值范围，可知人。)>

1和%O)W1,从而可知/(x)>0恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点，从而可判断

零点所在区间.

本题考查了函数的零点判断定理，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：/(无)=2cosc-2x)+1=2cos(2x-$+1,

令€[2上兀，2/OT+TT],keZ,则xe[/ot+，k兀+§],kEZ,

所以函数f(x)的单调递减区间为即+也时+争，k&Z.

故选：A.

先利用诱导公式可得/(x)=2cos(2x-今+1,再由余弦函数的单调性，即可得解.

本题考查余弦函数的图象与单调性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设y=/(x),

则/(-%)=言翳=一〃>)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称•排除C,D,

当0<x<〃时，/(x)>0,排除B,

故选：A.

判断函数的奇偶性和对称性，利用0<%<兀时，/(%)>0,进行排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决

本题的关键，是基础题.

9.【答案】C

【解析】解：由题意，可设Pi=760eT°0°k,p?=760eT5°°k,

500k

则以=e,

又,:700=760e-5OOk,

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...e500k—3a1.09.

700

故选：C.

根据已知条件，结合指数幕的运算性质，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，掌握指数基的运算性质是解本题的关键，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：由f(x)是定义域为R的偶函数得f(-log23)=/(log23),

•.•log23>log22=l,(|)i<(|)°=1,(|)t<(|)0=1,

o2Q1-y3Q1o2

(萨=&>鼾=(即，・,,1唯3>(软>(滔

又•・•/(%)在(0,+8)单调递增.

•••/(log23)>〃(旃>"(|角，BP/(-log23)>嗣>f碗.

故选：A.

由/'(X)是定义域为R的偶函数得/(—1密3)=/(1唯3),然后比较Iog23,(|)L(|及三者

大小关系，再结合f(x)在(0,+8)单调递增可判断选项.

本题考查函数奇偶性、单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：,函数/(x)=4sin(x-G[-4,4],且f(Xi)f(X2)=16.

-sin(%i-%)=sin(x-^)=1,sin%一5=sin%-£)=T,

oo2oo

当sin(xi-9=sin(x2_%)=1时,/一.=2k、n+px2~^=2k27r++x2\=

I2M+y+2k2n+y|>y,其中2自兀+2k2n=-2兀时取等号.

当sin(XI—g)=sin(x—7)=—1时，/—g=2kln—\x—7=2k2Tl—\x+

O2OOZ2OZr

-

x2l=|2/cx7r-W+2k2兀I-T,其中2的兀+2k2n=。时取等号.

因此出+打|的最小值为拳

故选：B.

由题意可得sinQi-勺=sin®一曰)=1，sin(Xi-7)=sin(x-^)=-1,利用三角函

OOD2D

数的单调性最值即可判断出结论.

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】解：•••2lna+5~lnb>2lnb+5-lna,

...2^na—5一，九a>21nb—,

设/(X)=2X-5~x,则原式等价于f(Ina)>f(lnb),

函数/(x)=2丫一5r显然单调递增，

则Ina>Inb,

■■a>b>0,

故选：B.

构造函数f(x)=2、-5-x,利用其单调性比较f(Ina),f(lnb)的大小,即可得出结果.

本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，其中构造函数f。)=2、-5T是本题解题

关键，属于中档题.

13.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.

由交集的定义，可求得4nB.

【解答】

解：•••力={4,5,6},8={3,5,7},

二AnB={5}.

故选8.

14.【答案】B

【解析】解：由仔［洽］，得八一3,且x于一2.

1%+2。0

二函数/(无)=VF0+白的定义域为［-3,-2)U(-2,+8).

故选：B.

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由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合.

本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题.

15.【答案】B

【解析】解：log318-log32

=log3(2x9)-log32

=log32+2-log32

=2,

故选：B.

根据对数的运算性质计算即可.

本题考查了对数的运算性质，是基础题.

16.【答案】D

【解析】解：・；4(2,0),B(0,4),.•・AB的中点坐标为(1,2),

由|28|=V22+42=2V5，

・••以4(2,0),B(0,4)为直径端点的圆方程是(x-1)2+(y-2)2=5.

故选：D.

由中点坐标公式求得AB的中点坐标，再由两点间的距离公式求得|48],则以4(2,0),

8(0,4)为直径端点的圆方程可求.

本题考查圆的方程的求法，考查中点坐标公式及两点间距离公式的应用，是基础题.

17.【答案】A

【解析】解：由三视图还原原几何体如图,

该几何体为直三棱柱，底面三角形4BC为等腰直角三角形，AC1BC=V2,

侧棱长为2,

则该几何体的体积为V=1xV2xV2x2=2.

故选：A.

由三视图还原原几何体，可知原几何体为直三棱柱，再由棱柱体积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

18.【答案】A

【解析】解：不等式2忧-11<4,即为<22,

即有|x—1|<2,

即—2<x—1<2,

解得—1<x<3,

则原不等式的解集为(-1,3).

故选：力.

由指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，可得所求解集.

本题考查含绝对值的不等式的解法，同时考查指数函数的单调性，考查转化思想和运算

能力，属于基础题.

19.【答案】C

【解析】解：作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示，

由图可知I,当目标函数z=2x+y过点2(2,1)时取得最大值，且为2x2+1=5,

故选：C.

作出可行域，根据目标函数的几何意义结合图象即可得解.

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本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题.

20.【答案】C

【解析】解：两条直线，J3x-4y—1=0与，2：3x—ay+2=0平行，

则一3a+12=0,解得a=4.

所以直线3x-4y+2=0,

所以两直线间的距离d=|.

故选：C.

首先利用直线的平行的应用求出a的值，进一步利用两平行线间的距离公式的应用求出

结果.

本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离的应用，主要考

查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

21.【答案】D

【解析】解：由正弦定理及2bsin力=V5a得，2sinBsinA->/3sinA，

因为s讥力丰0,

所以sinB=—,

2

故8=弓或拳

故选：D.

由已知结合正弦定理进行化简即可求解.

本题主要考查了正弦定理，属于基础题.

22.【答案】C

【解析】解：对于4当l//a,2〃夕时，则a与/?相交，或a//B，所以A错误；

对于B,当4/a,时，贝ija与0相交，或&〃0,所以8错误；

对于C,根据平面垂直的判定定理知，Ila,时，则所以C正确；

对于D,当21a,时，贝！］a〃夕，所以。错误.

故选：C.

力中，///a,，〃0时，a与£相交，或(山小

B中，l//a,时，a与£相交，或a〃八

C中，I1a,/u?时，a±S；

。中，I1a,时，a///?.

本题考查了空间中的直线与平面的平行与垂直关系的应用问题，是基础题.

23.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用基本不等式的性质是解决本题的关键,

是基础题.

根据基本不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：当abN；时，a?222ab22x；=：,当且仅当a=b时等号成立，即充分性成

立，

反之当时，a=-1,b=l时，满足彦+川之5但abN：不成立，即必要

性不成立，

即“ab>是“a?+加2的充分不必要条件，

42

故选:A.

24.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为R,f(r)=E江嘉=翳=

即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项8,C；

当X-0+时，sinx>0,ln(x2+2)>>0,故可排除选项D

故选：A.

由函数的奇偶性排除选项BC,由函数值的正负排除选项。，进而得解.

本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题.

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25.【答案】C

【解析】解：因为的=2,。九+1=1—nWN*,

an

所以a2=1-^-=1-7=7

a3=1—-=1—2=-1

02

Q4=1-;1-(-1)=2,

.11

a5=1----=-

,a42

所以数列｛aj的周期为3,

所以CI40=03x13+1=al2,

0100=a3x33+l=al=2,

所以&40=。100，故A，8错误;

i43

S40=13(%+。2+a3)+a40=13X(2+--1)4-2=y,

S100=33(@i+。2+a3)+aioo=33x(2+：—1)+2=手

所以S40<Si00，故C正确，。错误.

故选：C.

求出数列的前几项，可得数列｛a.｝的周期，从而可求得。的，SM，Si。。，比较即

可的结论.

本题主要考查数列递推式，求出数列的周期是解本题的关键，属于中档题.

26.【答案】A

【解析】解:取4当的中点M,连接则EM〃/1IDI〃4D,EM=4也=AD,

二四边形ADEM为平行四边形,

DE//AM,

•••或其补角为异面直线DE与4F所成角,

设正方体的楼长为2,

在AAFM中，AF=AM=V5,FM=V2,

AF2+AM2-FM25+5-2_4

由余弦定理知，COSN凡4M=

2AFAM2xV5xV5-5

取的中点M,连接AM,EM,FM,先证四边形ADEM为平行四边形，从而有0E〃/IM,

故NB4M或其补角即为所求，设正方体的棱长为2,再在中，结合勾股定理和余

弦定理，求得COSNB4M的值，即可.

本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查空

间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

27.【答案】B

【解析】解：设E(xi，yj,则尸01+1,、2)，

对于4ABGB=(1,1)•(1,0)=1>EF-GB=(l,y2-71)•(1<0)=1>

所以宿•旗=司・福，故A一定成立；

对于B,AB-AG=(1,1)-(0,1)=1>EF-AG=(l,y2-yj-(0,1)=y2-yi,

若光=0,=-1,此时南•布=即•布，故B不一定成立；

对于C，AEGB=(x^yj-(1,0)=BF-GB=(x1,y2-1)-(1,0)=xx.

所以屈•布=丽•而，故C一定成立；

对于。，ABIF=(1,1)•(l,y2-yj=1+y2-~BF-AG=(x1,y2-1)-(0,1)=

旷2-1，

所以而•胡一前•同=2一%，又因为yie

所以2-丫］>0,所以四•前>前•刀，故。一定成立.

故选：B.

设E(xi，%),则代与+l,y2),利用平面向量数量积的坐标运算逐一判断各个选项即可.

本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于中档题.

28.【答案】D

【解析】

第20页，共34页

【分析】

本题考查函数的零点个数问题，考查数形结合思想，属于拔高题.

令t=/(x)+l,结合零点存在定理得出函数f(t)的零点t]e(1,2),12=-2,±3=3

然后作出函数t=/(%)+1,直线t=t]、t=-2、t=0的图象，观察三条直线与函数

t=f(x)+l的图象的交点个数，由此得出结论.

【解答】

解：令t=/(X)+l={x,

l(x+l)2,x<0

①当t〉0时，=则函数/(t)在(0,+8)上单调递增，

由于f(1)=-1<0,/(2)="2-3>0，

由零点存在定理可知，存在口6(1,2),使得f(ti)=0；

2

②当tWO时，/(t)=t+2t,由/(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0,

作出函数t=f(x)+l,直线t=G、t=-2,t=0的图象如下图所示：

由图象可知，直线t=q与函数t=f(x)+1的图象有两个交点,

直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，

直线t=-2与函数t=/(x)+1的图象有且仅有一个交点，

综上所述，函数y=/[/0)+1]的零点个数为5.

故选：D.

29.【答案】B

【解析】解：B(0,i),F(c,0),则kBF=g：•直线AP：y=^x+b,

与椭圆方程联立，可得(必+c2)%2+2a2cx=0,

可得P点的横坐标为x=-弊，则y=即P(一警,_g),

a2+c2Ja2+c2'a2+c2a2+c27

由|4F|=|PB|,得附『2,即儡＞+（一急+外2=。2,

6

整理为：4c6—3Q2c4—2a4c24-a=0,

则4〃-3e4-2e2+1=0,即（/一l）（4e44-e2-1）=0,

■.■e2-1^0,.-.4e4+e2-l=0,解得e2=g或e?=zylZzl（舍去）.

88K

故选：B.

先求直线AP的方程，并求点P的坐标，根据|PB『=|4用2=。2,整理为关于a,c的齐

次方程，再求e2.

本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的求法，关键是建立关于a与c的齐次方程,

考查运算求解能力，是中档题.

30.【答案】C

【解析】解：因为48=BC=CD=DA,

^ABC=90°,又因为ZB为公共边，所

以△ABC三△4DC,

所以乙4DC=乙ABC=90°,

又因为04C的中点，所以4B1。。，

481。8,设48。0=a,则a£(0,兀)，

设如图所示的空间直角坐标系，不妨设

AB=BC=CD=DA=V2，则。4=OB=OC=OD=1,

由己知得各点坐标如下：

>4(0,—1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),Docosa,O.sina'),

*Gt⑼，^(1cosa*_2,1

所以前=(|(cosa—1),—l,|sina),

平面的法向量为记=(0,1,0),

因为直线EF与平面BOC所成角为。，

—画,箱____________1____________2_0

|EF|-|n|-y](cosa-1')2+{-2)2+(sinayil<j6-2cosaV3-cosaT

因为ae(0,?r),于是cosa6(-1,1),所以sin。e(今1)，

所以。e0().

故选：c.

第22页，共34页

引入辅助角变量，建立空间直角坐标系，用向量数量积求出直线与平面所成角的正弦值,

再判断角的取值范围.

本题考查了三棱锥的结构性质，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题.

31.【答案】—|

【解析】解：因为tana=2,

所以tcma•cos2a—sin2a=•cos2a—sin2a=sina•cosa-sin2a=

cosa

sinacosa-sin2a_tana-tan2a_2-22_2

sin2a+cos2atan2a+l22+l5

故答案为：—|.

由已知利用同角三角函数基本关系式化筒所求即可求解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和

转化思想，属于基础题.

32.【答案】1

【解析】解：・.・暴函数/(切=(女—1)・”的图象过点(2弓)，

住一1=1、

•••_1，求得k=2,a=-1,

则k+a=1,

故答案为：1.

由题意利用基函数的定义和性质，求得k和a的值，可得结论.

本题主要考查基函数的定义和性质，属于基础题.

33.【答案】(-1,2)

【解析】解：因为对于任意的右,X2ER,都有[/(xj-/(&)]-(xi-x2)>0恒成立,

所以"X)在R上单调递增，

因为对于任意x,y6R都有f(x+y)=f(x)"(y),同时/(l)=3,

所以f(2)=/(I+1)=/⑴〃1)=9,

所以不等式/(/-%)<9等价于/(/一x)<f⑵,

所以％2—x<2,解得—l<x<2,

即不等式的解集为(-1,2).

故答案为：(-1,2).

由已知判断/(x)在R上单调递增，求得/(2)=9,从而将不等式f(/-x)<9转化为M一

x<2,即可求得结论.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判断与应用，考查转化思想与运算

求解能力，属于中档题.

34.【答案】(-8,—4]U[3+V17,+oo)

【解析】解：额

•••/'(X)+/(-X)=10g2(M)+，。比(若)=0，

•••/(-%)=—/(X),即/(X)为奇函数；又3=-1+E为[一"，工]上的减函数，y=10g2%

为增函数，

f(x)=10g2(M)为定义域[-工,勺上的减函数，设其值域为集合4，

/(H)=1。。2(超)=-4,

则4=[-4,4].

22

vg(x)=3m—msin(x+^)=3m—mcosx9xe[pTT],

令t=cosx,贝Ijt6

依题意，mHO,则h(t)=3m—M2t在上单调递减，设其值域为8(即为g(x)的值

域)，则B=[―+3m,m2+3m].

・•・对任意与G[一金勺，总存在右W覃用，使得。(外)=/。1)成立，

・・・AGB,

f—+3m<-4(T)

(m2+3m>4②

解①得TH>3+VI7或m<3—V17;③

解②得m>1或？n<-4；④

联立③④得：小三一4或根23+g，

故答案为：(一8,-4]U[3+m,+8).

第24页，共34页

当时，可求得/(x)=log2(W)的值域4=[-4,4]；当网时，可求得

g(x)=3m-ni2sin(x+今的值域B=[-扣2+3m,ni2+3加|,依题意4uB,列式求

解即可.

本题主要考查函数恒成立问题，考查对数函数及二次函数的性质及应用，突出考查等价

转化思想与逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.

35.【答案】V3

【解析】解：|a|=2,|K|=1，a-b=-1>

•••(a+b)2=a2+2a-b+b=4—2+1=3，

|a+b|=V3-

故答案为：V3.

根据数量积的运算即可求出0+9产的值，进而得出|五+石|的值.

本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题.

36.【答案】2/

【解析】解：以两焦点所在直线为y轴，两焦点的中垂线为x轴建立平面直角坐标系,

设双曲线的焦距为2c,则4c=8,再由题意可得，双曲线的渐近线方程为y=±x,

:a=b,则c=2,a=b=V2»故双曲线实轴长是2a=2a.

故答案为：2五.

由题意，双曲线的渐近线方程为丫=±，4c=8,a=b,结合隐含条件求解a,则答案

可求.

本题考查双曲线的简单性质，关键是建立适当的平面直角坐标系，考查数学建模能力与

运算求解能力，是中档题.

37.【答案】[一1,”]

【解析】解：由于b>0,故不等式两边同除以b,得——"2,令户teR,

即不等式1%-t|<1-在％6[0,1)上有解，

亡<#+1

一1在久G

t>一二=———

(-l-x2X+1

[0,1)上有解，

设/1(4)=一击，9(%)=妥，刀6[0,1),即加且tWg(X)M即可，

由/'(%)=一a在xeo,1)上，x+161,2),^e(pl].即/"(久)e[-1,一》，故t之

，(X)min=T；

由9。)=瑞=(*+1晨鼠+1)=x+l+X-2,利用基本不等式(％+1)+京22企，

当且仅当％+1=系即X=V2-le[0,1)时等号成立，故g(x)<力=第，即

0(x)max-故t<

综上，t的取值范围为—iwtw空，即;的取值范围为一1号三号土

故答案为：[-1,与i].

不等式两边同除以b,先将题意转化为|久-1|w1-52在久e[0,1)上有解，设/(X)=

-^.5(X)=^,xe[0,l),即tN〃X)min且t<9(X)max，再求出函数对应最值即可

得出结果.

本题考查不等式的恒成立问题，涉及了函数最值的求法，考查转化思想，函数思想以及

运算求解能力，属于中档题.

38.【答案】4

21

【解析】

【分析】

第26页，共34页

本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，属于基础题.

由已知利用等比数列的通项公式可求q的值，利用等比数列的求和公式即可求解S3的值.

【解答】

解：因为的=1,=64,

根据a4=%q3，可得64=q3,解得q=4,

可得53=吟项=毛力=21.

故答案为：4；21.

39.【答案】解：(1)原式=1+4—7T+(|)3XS=5—7T+|=Y—

(2)原式=lg2+2'°&3+320g23-2log32+lg5=(lg2+2g5)+3+6=14-3+6=

10.

【解析】(1)利用有理数指数第的运算性质求解.

(2)利用对数的运算性质求解.

本题主要考查了有理数指数事的运算性质和对数的运算性质，是基础题.

40.【答案】解：(1)v/(x)=loga(x+3)-loga(3一x),其中a>0且a彳二j；

求得-3<x<3,

可得函数的定义域为(-3,3),显然此定义域关于原点对称.

••"(T)=】oga(T+3)Toga(3+X)=-[loga(x+3)-loga(3-x)]=-/(x),

故函数f(x)为奇函数.

(2)/(x)>0,即loga(x+3)>loga(3-x),

当a>l时，x+3>3-x>0,求得0<x<3,故不等式的解集为[0,3).

当0<a<l时，0<久+3<3-%,求得一3cxW0,故不等式的解集为(一3,0].

综上可得，当a>l时，不等式的解集为[0,3)；

当0<a<l时，不等式的解集为(一3刈.

【解析】(1)由题意利用函数的奇偶性的定义，得出结论.

(2)分类讨论，利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围.

本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，对数不等式的解法，对数函数的定义域和单

调性，属于中档题.

41.【答案】解：(1);％2+2%-3<0,.••(X-l)(x+3)<0,

解得，-3<x<l,故4=(-3,1)；

•••—>1,>0.

X+lX+1

解得，故8=(-1,5)；

故品4=(-00,-3]U[l,+oo),

故(CR4)AB=[1,5)；

(2)选①：・••BCC=C,,,•C7B,

当C=。，即2Q>Q+3,Q>3时，满足题意；

当CH。，即2QWQ+3,QW3时，

(2a>-1

la+3V5，

解得，一[VQV2;

综上所述，实数a的取值范围为(后，2)U(3,+8).

选②：当C=0,即2Q>Q+3,a>3时，满足题意；

当CH。，BP2a<a+3,a<3时，

a+3工—1或2Q25,

解得，a<一4或a>|；

故Q<-4或:<a<3；

综上所述，实数a的取值范围为(-8,-4]U[|,+8).

选③：由题意知，C麋B,

当C=0,即2Q>Q+3,a>3时，满足题意；

当CH0,即2Q4Q+3,a£3时，

C2.cc>-1

ta+3V5，

解得,—[<a<2；

综上所述，实数a的取值范围为(一Q)U(3,+8).

【解析】(1)解不等式化简集合4=(—3,1),B=(-1,5),再求CRA,最后求(CRA)CB；

(2)选①时，可得CUB,从而按C是否为空集分类讨论即可；

第28页，共34页

选②时，按C是否为空集分类讨论即可；

选③时，由题意知C曙B,从而按C是否为空集分类讨论即可.

本题考查了集合的化简与集合间关系的应用，同时考查了不等式的解法，属于中档题.