江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2023~2024学年度第二学期期中考试高二数学试题卷I（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知函数，则从1到的平均变化率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.【详解】函数从1到的平均变化率为故选：B2.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，得，则，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：D3.一个质点做直线运动，其位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（）A.10米/秒 B.8米/秒 C.6米/秒 D.12米/秒【答案】C【解析】【分析】根据题意，求导代入计算，即可得到结果.【详解】，所以米/秒.故选:C.4.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式逐个判断选项即可.【详解】由基本初等函数的导数公式得，，，，显然A正确.故选：A5.已知函数，则（）A.3 B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式求出导函数，再令，计算出，由此可得，计算即可.【详解】因为，所以，所以，解得，由此可知，所以故选：A6.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，代入求值，即得答案.【详解】由，得，故，故选：A7.函数在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域.【详解】由题意得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，故，因为，所以．故所求的值域为．故选：A8.某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（）A.16m，16m B.32m，16mC.32m，8m D.16m，8m【答案】B【解析】【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案.【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，因此新墙总长度，则，令，得或(舍去)，当时，，当时，，则L在上单调递减，在上单调递增，∴是L的最小值点，此时，故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.故选：B二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.）9.若函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】求导，得到，进而得到函数解析式及导函数解析式，代入求值，得到答案.【详解】A选项，由题意得，令，解得，A错误；BCD选项，，所以，BC正确，D错误.故选：BC10.下列求导运算正确的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用导数的四则运算即可判断.【详解】因为，故A不正确；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，故D不正确；故选：BC.11.设函数在R上可导，其导函数为f'x，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数在上为增函数 B.函数在上为增函数C.函数有极大值和极小值f1 D.函数有极大值和极小值【答案】AD【解析】【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点.【详解】由图可知当时，所以，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数，故A正确，B错误，则在处取得极大值，处取得极小值，即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.故选：AD卷II（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数在处的切线方程为，求_______．【答案】5【解析】【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解．【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为，所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上，所以．.故答案为：513.已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为__________．【答案】【解析】【分析】利用“新驻点”的定义即可求解.【详解】因为，所以，令，即，得，因为，解得，所以，函数在上的“新驻点”为．故答案为：．14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元．【答案】##1.5【解析】【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值.【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，则，可得，当时，可得，函数单调递增；当时，可得，函数单调递减；所以当时，函数取得最大值，最大值为.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15题13分；16-17题15分；18-19题17分）15.求下列函数的导数.（每小题4分，需有答题过程）（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】令，令，则；【小问4详解】.16.已知函数（），且．（1）求的解析式；（2）求函数图象在点处的切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将代入f'x的表达式即可解出，从而得到的解析式；（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由，得，又，所以，解得，即．【小问2详解】由（1），得，，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即．17.已知函数与函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；（2）设曲线与曲线的公切点为Px0,y【小问1详解】，，.在点处的切线方程为：；【小问2详解】设曲线与曲线的公切点为Px0,，，令，即，或（舍），，∴所求公切线方程：，即.18.已知函数．（1）求函数在处切线方程；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为【解析】【分析】（1）利用导数几何意义即可求得函数在处的切线方程；（2）利用导数即可求得函数的单调区间．小问1详解】，定义域，函数在处的切线方程为即【小问2详解】由可得，解之得或由可得，解之得所以的单调递增区间为和；单调递减区间为19.高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.（1）求该圆柱的侧面积的最大值；（2）求该圆柱的体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆柱的半径为，高为，由题意得，用表示，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式求出侧面积的最大值．（2）