【青松雪】中考数学几何模型【模型02】手拉手旋转

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型02】手拉手模型主讲人：王建林【模型介绍】手拉手模型：是指两个形状相同，但大小不一样的三角形(即相似的三角形)绕其公共顶点旋转，从而导致出现另外一组三角形全等(或相似)的几何模型，也称为“手拉手旋转模型”．包含“全等型手拉手”和“相似型手拉手”，初一阶段研究前者，初三阶段研究后者．两个等边△

两个等腰直角△

两个任意等腰△【常见结论】连接

BD、AE

交于点

F，连接

CF，则有以下结论成立：

①

△BCD

≌△ACE；②

AE=BD；③∠AFB=∠DFE=∠ACB；

④

FC

平分∠BFE．【模型介绍】两个等边三角形的手拉手如图，已知△ABC

与△ADE

都是等边三角形，且

C、A、D

三点共线，连结CE与BD，则如下结论成立：(1)△ACE≌△ABD；

(2)CE=BD；(3)∠CFB=60°；(4)△AMC≌△ANB；(5)△AME≌△AND；(6)FA平分∠MFN；

(7)△AMN为等边三角形；(8)MN

//CD；(9)

FC=FB+FA；(10)

FD=FE+FA；(11)

F为△ABE的费马点．(1)△ACE≌△ABD；(2)

CE=BD；(3)∠CFB=60°；(4)

△AMC≌△ANB；(5)

△AME≌△AND；(6)

FA平分∠MFN；(7)

△AMN为等边三角形；(8)

MN

//CD；(9)

FC=FB+FA；(10)

FD=FE+FA；(11)

F为△ABE的费马点．【结论证明】【模型介绍】两个等腰直角三角形的手拉手和其他等腰【模型介绍】荼毒学生的“手拉脚”和“脚拉脚”【典型例题】【例1】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝

90°，如图1所示放置，使点

D

落在

AC上，连接

BD、CE．(1)试判断

BD、CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，(1)中的结论是否仍成立？

请说明理由．【典型例题】【例2】(1)如图1，已知锐角△ABC，分别以

AB、AC为腰，向外部作等腰

Rt△ABD

和等腰Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想

CD、BE

的大小关系，

并证明你的结论；(2)如图2，△ABC

与△ADE

都是等腰直角三角形，点

D

在边

BC

上，且

不与

B、C

重合，连接

EC，则：

①线段

BC，DC，EC

之间满足的等量关系式为

；

②线段

AD，BD，CD

之间满足怎样的等量关系？并证明你的结论；【例2】(3)如图3，在四边形ABCD

中，已知∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，

若

BD=9，CD=3，求

AD

的长；(4)如图4，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以

BC

为腰在△ABC

外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接

AD，求

AD的长．【典型例题】【例3】如图1，在等腰Rt△ABC

与等腰Rt△DCE

中，∠ACB=∠DCE=90°，

连接AD，BE．(1)求证：AB2+DE2=AD2+BE2；(2)试说明：S△ADC=S△BCE；(3)如图2，取

AD的中点

M，连接

CM，求证：CM⊥BE．【典型例题】【婆罗摩笈多模型】【例4】(1)

如图①的图形中，小明发现：若∠BAC=∠DAE，AB=AC，

AD=AE，则△ABD≌△ACE，请你证明他的发现；

(2)

如图②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，试探索线段

CD，

BD，DE

之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3)

如图③，△ABC

和△DEC

是拥有公共顶点

C

的两个等边三角形，

点

M、N、F

分别是DE、AB、AE的中点，当AD=10

时，请直接写

出MN的长.【典型例题】【课堂小结】两个等边△

两个等腰直角△

两个任意等腰△【变式1】(1)如图1，若△ACB

和△DCE

均为等边三角形，点

A、D、E

在同

一条直线上，连接BE，易证△CDA≌△CEB，则∠AEB

的度数为

；

(2)如图2，点

P

为等边△ABC内一点，且

PA

:

PB

:

PC=3

:

4

:

5，若

PA=3，

以

BP

为边向下构造等边△BPQ，连接CQ，则∠APB的度数是

；

四边形

BPCQ

的面积为

；

(3)如图3，点

P

是等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，且CP=1，BP=2，

AP=2，以

CP

为直角边构造等腰直角△DCP，点

C

为直角顶点，则∠CPB

的度数是

；AC

的长为

.【变式练习】【变式2】(1)

如图4，点

C

为线段AE上一动点

(

不与A、E

重合

)，在AE

同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD

与

BE

交于点

O，AD

与

BC

交于点

P，BE

与

CD

交于点Q，连接PQ，以下五个结论：

①AD=BE；②PQ

//

AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°；

⑥CO平分∠BCD，其中恒成立的结论有

.

(2)

如图5，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，若点

P

是

△ABC

内一点，则

PA+PB+PC

的最小值为

.

(3)

如图6，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则

BD

的长

为

.【变式练习】【变式3】(1)如图1，D是等边△ABC

的边

BC

上的一动点，其中等边△ABC

的边长为

10，以

AD

为边在

AB

上方作等边△ADE，小明认为

DE有最小值，那么

DE的最小

值是

；

(2)如图2，若△ABC和△DCE均为等边三角形，点

A、D、E

在同一条直线上，连接

BE，则∠AEB

的度数为

；线段BE与AD

之间的数量关系是

；(3)如图3，若△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点

A、D、

E

在同一条直线上，CM⊥DE，连接BE，求∠AEB

的度数及判断线段

CM、AE、BE

之间的数量关系，并说明理由.(4)如图4，在四边形

ABCD

中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=5，CD=4，求四边形

ABCD

面积的最大值.【变式练习】【变式4】(1)如图1，已知△ABC

与△ADE

都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且

∠BAC=∠DAE，则线段

BD

和

CE

的数量关系是

；(2)如图2，已知△ABC和△ADE

是都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，

∠BAC=∠DAE=90°，若

B，C，D

在同一条直线上，请判断线段

BD

与

CE

存在怎

样的数量关系及位置关系，并说明理由；(3)如图3，直线

l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点

M

在点

O右侧，且OM=4，