4 §3应用案巩固提升案

第页[A基础达标]1．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：选A.A∩B＝{x|2<x<3}，因为集合A表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A∩B表示的区间长度为3－2＝1，所以事件“x∈A∩B”的概率为eq\f(1,6)，故选A.2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()解析：选A.对A，P(A)＝eq\f(3,8)；对B，P(B)＝eq\f(1,3)；对C，P(C)＝eq\f(4－π,4)<eq\f(1,4)；对D，P(D)＝eq\f(1,π)，显然P(A)最大，因此应选游戏盘A.3.如图所示，边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域．向正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3) D.无法计算解析：选B.设阴影区域的面积为S，依题意，得eq\f(2,3)＝eq\f(S,2×2)，所以S＝eq\f(8,3).故选B.4．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：选B.先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故点P到点O的距离大于1的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．已知A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：选C.如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P＝eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3).故选C.6．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为eq\f(9,10)，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这个人看不到广告的概率为eq\f(9,10)，则看到广告的概率约为eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.答案：67．水池的容积是20m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是eq\f(1,2)×20×20，所以所求的概率P＝eq\f(\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,72).答案：eq\f(25,72)8．已知方程x2＋3x＋eq\f(p,4)＋1＝0，若p在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．解析：因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋1))≥0，得p≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a]．所以P(A)＝eq\f(（r，a]的长度,[0，a]的长度)＝eq\f(a－r,a).10．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x表示小强到达小明家的时间，纵坐标y表示小明离开家的时间，(x，y)可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1.事件A表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A＝{(x，y)|6≤x≤7，6.5≤y≤7.5，y≥x}，如图中阴影部分所示，面积为SA＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8).所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(7,8)，即小强能见到小明的概率是eq\f(7,8).[B能力提升]11．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，则()A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1解析：选B.x，y∈[0，1]，事件“x＋y≥eq\f(1,2)”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy≤eq\f(1,2)”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S2<S3<S1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p2<p3<p1.12．在区间[－2，3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是________．解析：如图．直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d＝AB∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))，则半弦长BC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(2,5)\r(5)))，因为圆的半径等于1，所以圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离OC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(5),5)≤eq\f(1,\r(a2＋1))≤eq\f(\r(2),2)，得－2≤a≤－1，或1≤a≤2.又a∈[－2，3]，所以在区间[－2，3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是eq\f([－1－（－2）]＋（2－1）,3－（－2）)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).14．(选做题)如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8eq\r(2)的概率．解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3个，所以组成直角三角形的概率为eq\f(3,10).(2)连接MP，ON，OM，OP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，当S