2011.9 实数教材分析

北京青年政治学院附中初二备课组佟铭1-第十三章《实数》教材分析青院附中佟铭一、本章主要内容及地位、作用：本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．（通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．）（虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位。）本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．二、本章知识结构框图：1．本章知识的内在结构如下图所示：2．本章知识的展开顺序如下图所示：术术（“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构：由于乘方与开方互为逆运算，所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的，因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念．无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数．）三、本章课程学习目标：1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；能用有理数估计一个无理数的大致范围．本章中考要求：知识考试水平基本要求略高要求较高要求无理数了解无理数的概念会用有理数估计一个无理数的大致范围平方根及算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根立方根会用根号表示数的立方根会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算理解二次根式加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个；不要求分母有理化）五、本章重点、难点：1．本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法。（它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础．）本章的难点是平方根和实数的概念．（学生对正数开平方有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆．实数的概念是一个构造性的定义，比较抽象，学生真正理解这个概念也有一定的困难．）六、本章课时安排:本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：13．1平方根

3课时13．2

立方根2课时13．3实数

2课时数学活动小结

1课时七、本章教材内容分析:13.1平方根（本小节主要介绍平方根与算术平方根的概念，这两个概念属本章的重点内容。只有把握住概念才能正确地进行求平方根运算，理解实数的概念，为学习后续的知识作好准备。)1．平方根与算术平方根的区别和联系.区别：(1)定义不同；(2)个数不同；(3)表示方法不同联系：(1)具有包含关系；(2)存在条件相同；(3)0的平方根、算术平方根均为0.例1.求下列各数的算术平方根（1）100（2）0.0001（3）（4）注意①指出书写形式：切忌100==10或②的算术平方根学生容易出错，认为是4，应该认清楚被开方数.例2.求下列各数的平方根（1）0.25（2）36（3）（4）(学生在实际解题中．常常把平方根与算术平方根混淆，错用符号，为了解决这一问题，如，在求36的平方根时，不是直接写出36的平方根是，而是采用如下的书写格式逐渐过渡)例3.(恰当地运用正反例，让学生判断，是巩固基本概念的一个方法．)如为使学生对平方根的性质有较探的印象，可举如下数：64,—36，,0，—9，0．0004等，要学生思考，其中哪些数有平方根?哪些数没有平方根?为什么？又如，为使学生能正确理解算术平方根概念，能与平方根概念作出区别，要求思考：（或）表示什么？对不对？对不对？4是16的平方根？16的平方根是4？对于式子，，（a≥0）的理解.例4.求下列各式的值（1）（2）（3）（4）注意：①书写形式②在解决每个题时，可以先读题，再说出式子含义，最后再求值。3．及时总结三种重要非负数：，，(a≥0).4.两个重要公式及.5.落实一个基本功：让学生熟练掌握1到20的平方，便于求常用数的平方根。6.初步了解无限不循环小数.(1)让学生经历用夹逼的办法估计的大小，感受是无限不循环小数.(2)在具体实例中,了解无限不循环小数的特征.(3)会使用计算器求数的平方根.(利用计算器求平方根,较多感受无理数的近似值)(4)会用有理数估计无理数的大小.例5．(1)(2)7.理解平方与开平方互为逆运算，明确三级运算中的互逆关系．13.2立方根1.在类比思想的引导下,学习立方根的概念与性质(本节从内容到知识的展开顺序都与上一节平方根基本平行，主要研究立方根的概念和求法．学习立方根的意义在于，一方面它有着广泛的应用，因为空间形体都是三维的，有关体积等的计算经常涉及开立方的问题；另一方面，立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，它对进一步研究奇次方根的性质有典型的代表意义．)例如:概念教学可以从问题入手:什么数有平方根,只有非负数才有立方根吗?平方根如何表示,猜想一下立方根可以怎样表示?回顾平方根的特征,能试着总结一下立方根的特征吗?它们有什么异同?求一个数的立方根的运算与什么运算互为逆运算2.会用计算器求立方根．3.落实一个基本功：让学生熟练掌握1到10的立方，便于求常用数的立方根。例6.求下列各数的立方根.(1)-8(2)-0.001(3)注:①强调书写格式,切忌②认准被开方数.例7.求下列各式的值(1)(2)(3)(4)(5)注:①读准各式的符号;并用文字语言说明各式的含义.②借助课本页习题9归纳重要结论:;;③结合立方根的重要结论,与平方根中的重要结论相比较.例8.解方程(1)(2)(3)注:借助平方根,立方根的定义解高次方程,一方面巩固了定义,另一方面让学生体会到转化思想的应用,即高次化低次;难化易;不会化会.例9.求下列代数式的值.若求.若求若有意义,求若,求若的算术平方根,是的立方根,求.注:①重视对非负数算术根的非负性的认识与应用.②对平方根,立方根中主要结论的应用.13.3实数1.在数系扩充的原则指导下把有理数过渡到实数eq\o\ac(○,1)概念扩充：相反数，绝对值,倒数等等eq\o\ac(○,2)数系扩充后原有的运算法则仍然成立例10.填空的绝对值.若则=.若则=.在数轴上表示的点与原点的距离是;在数轴上与原点距离是的点表示的数是;在数轴上与表示的点距离为3的点表示的实数为;大于小于2的整数是.实数满足,则的取值范围.例11.比较下列各组实数的大小.与2.23(2)与(3)与与(5)3，4，类比有理数的分类，认识实数的分类例12.把下列各数分别填入相应的集合中.,,-3.1415926，,,,,0.303003000···,-0.050505···;正有理数正无理数负有理数负无理数注：提醒学生不要被数的外表所迷惑，要透过“现象”看“本质”.适当介绍勾股定理，尝试着让学生在数轴上找一些无理点.（将数学活动1提前。）意义在于感受无理数的存在性，认识更多的无理数。在实际操作的基础上，让学生体会实数与数轴上的点的一一对应关系.及平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系.5.有关实数计算的教学,需要掌控好尺度.关于二次根式的运算,以后还会进一步的学习,教学时注意掌握现有计算的难度.例14.计算注:区分运算符号与性质符号；在运算中,再渗透实数的有关概念.例15.若实数满足,求的值.注:①在问题解决的过程中,注意非负性;②小结非负实数:,,.例16.化简下列各式(1)若化简(2)(3)注:①含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.应遵循逐步渗透,不断加深的原则.②此处字母的取值范围为全体实数.③分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.④有关实数的化简,在二次根式的学习中还会涉及到,此处不宜太难,应给学生留有继续学习的空间.几点教学建议：1.加强与实际的联系抽象的概念,借助简单实际背景给出.这种编写的特点,分解了学习中的难点,感受了数学的实用性,易于学生接受,也体会到了数学的抽象性.加强知识间的联系本章内容属于“数与代数”领域，有关数的内容，学生已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识.因而本章很多内容可以类比有理数的相关内容得出.另外平方根,立方根在内容上也有很多类似之处.教学中注意利用类比的方法,既有助于加强知识间的相互联系,同时通过新旧知识的类比,可使学生的学习形成正迁移.思想的教育重于知识,及时进行知识的总结有利于提高学生的学习能力.类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论3.留给学生探索交流的空间本章编写时注意借助实际背景,让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论．教材中多次设置探究栏目,这些栏目多以填空形式出现.教学中适当给出时间,让学生多实践,引导学生从具体问题发现特征,在交流讨论中归纳出结论.体会从特殊到一般的过程,有利于发展学生的思维能力,可有效地改变学生学习的方式.4.适当发挥计算器的作用，加强估算能力的培养估算是一种具有实际应用价值的运算能力．本章安排了利用计算器求数的平方根,立方根,以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容.这个环节的设置将有利于帮助学生感受无理数无限不循环的特点,更好的认识无理数.教学中,可结合具体情况,利用多种途径培养学生的运算能力.5.把握好教学要求本章对于某些内容采用提前渗透,逐步提高的编写方式:(1)本章将点的坐标扩展到实数范围,建立点与有序实数对的一一对应关系,为后续学习函数的图像,函数与方程,不等式的关系等打下了基础.本章通过一个例题学习实数的简单运算.(p85,例2）为说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立.而关于实数的运算在后面的二次根式一章中还要继续研究,此处不必过难.为了让学生更好地理解数轴上表示无理数的点的存在性,本章涉及到了勾股定理.这个内容后面还会专门再学,此处仅让学生了解即可.我们的教学,应用一种发展的,动态的观点来看待,不能要求处处一步到位.本章教学中类比思想,分类讨论思想较突出.思想的教学,不一定都体现在题目中,在概念的教学中的渗透,是会迁移到对题目的解决中.希望学生在学习新知识的过程中,更好的感悟数学思想.随着时间的推移,具体的知识也许会在学生的头脑中遗忘,但解决问题的思想还在,将是基础教育实效性的体现.九、知识要点及参考例题（1）平方根知识要点：1.定义（1）如果，那么x叫做a的平方根。记作：，其中叫做a的正的平方根，叫做a的负的平方根。0的平方根是0.（2）我们把平方根中正的平方根，叫做a的算术平方根，通常表示为.0的平方根也叫做0的算术平方根。因此0的算术平方根是0，即=0。（3）平方根的性质eq\o\ac(○,1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。eq\o\ac(○,2)参考例题：例1求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）（4）14.例2求下列各数的平方根：（1）64；（2）（3）0.0004;（4）（5）11。例3例4求满足下列条件的未知数x：（1）x2=49（2）x2=例5（易错题）的算术平方根是；的平方根是；例6比较大小（1）与；（2）4与；（3）3与；例7已知的整数部分为a，小数部分为b，求代数式a2－a－b的值。（*）例8判断下列各式中字母x的取值范围：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。拓展练习1、（1）求下列各式的值（2）（3）（2）对于任意数a，一定等于a吗？2、求下列x的值：（1）（2）（3）3、已知数M的平方根为a+3及2a－15，求M（2）立方根知识要点：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。立方根的基本性质：（1），。（2）一个正数的立方根为正的，一个负数的立方根为负的，0的立方根为0。参考例题：例1求下列各数的立方根：（1）-27；（2）（3）0.126;（4）-5.表示a的立方根，那么（）3等于什么？呢？例2求下列各式的值：（1）（2）（3）；（4）.例3.填空：(1)若，求.(2)若,求.拓展练习1．求下列中的x的值：①②③2．计算：-+(-2)3×3．一个正方形的面积变为原来的倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的倍。（3）实数知识要点：1.有理数和无理数统称为。2.无理数和有理数一样，也有正负之分。（1）从符号考虑，实数可以分为、、。（2）另外从实数的概念也可以进行如下分类：、。3.（1）相反数：a的相反数是；0的相反数仍是；（2）倒数：当a≠0时，a的倒数（0没有倒数）是；（3）绝对值：正数的绝对值是；负数的绝对值是它的；0的绝对值是；即：4.（1）每一个实数都可以用数轴上的一个来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个，即实数与数轴上的点是的；（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数。参考例题：例1、实数概念把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）…有理数集合…无理数集合例2、实数分类内容1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？…正数集合…负数集合内容2．0属于正数吗？0属于负数吗？例3、实数的相关概念内容11．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？2．的相反数是什么？的倒数是什么？，0，—π的绝对值分别是什么？内容2：想一想：1．3—π的绝对值是。2．想一想：a是一个实数，它的相反数是，它的绝对值是，当a≠0时，它的倒数是。012-1-2012-1-2AB内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：议一议：（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？十、相关课