高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4《对数函数》课时1 教学设计

《对数函数》教学设计课时1对数函数的概念、图象与性质必备学问学科力量学科素养高考考向1.对数函数的概念学习理解力量观看记忆概括理解说明论证应用实践力量分析计算推想解释简洁问题解决迁移创新力量综合问题解决猜想探究发觉创新数学抽象【考查内容】考查对数函数的图象与性质应用,常考的形式有:以对数函数为载体,与其函他函数、方程、不等式综合应用.【考查题型】选择题、填空题为主2.对数函数的图象与性质直观想象数学运算3.指数函数与对数函数的关系数学运算4.不同函数增长的差异数学建模一、本节内容分析本节主要内容是对数函数的概念、图象和性质,不仅反映出对数函数和指数函数的关系,也蕴含了化归、分类争辩、数形结合等数学思想.本节内容所涉及的核心学问及所体现的核心素养如下:核心学问1.对数函数的概念2.对数函数的图象与性质3.指数函数与对数函数的关系4.不同函数增长的差异数学抽象直观想象数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析从学校到现在,同学已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数,对其概念、基本性质、争辩方法有了肯定的了解和把握.通过类比的方法学习对数函数的学问,还是比较轻松的.但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化简单,这就使得同学在争辩过程中可能遇到困难.在情感方面,多数同学对新内容的学习有相当的爱好和乐观性,但在探究问题的力量以及合作沟通等方面的进展不均衡,故仍需要老师赐予指导点拨.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动预备【任务专题设计】1.对数函数的概念2.对数函数的图象与性质3.指数函数与对数函数的关系4.不同函数增长的差异【教学目标设计】1.理解对数函数的概念和意义,把握对数函数定义域、值域的求法.2.能画出具体对数函数的图象,并能依据对数函数的图象说明对数函数的性质.3.把握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.4.了解反函数的概念,把握互为反函数的两个函数之间的联系及两个函数图象的特征.5.结合具体函数图象,总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异,通过图象,了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.【教学策略设计】1.老师创设问题情境,以同学看,同学想,同学议,同学练为主,在同学认真观看、类比、想象的基础上,通过问题串的形式加以引导点拨,使新学学问更坚固,理解更深刻.2.类比指数函数的图象和性质来争辩对数函数的相关内容.强调生疏底数a对函数值变化的影响,鼓舞同学乐观主动地参与获得性质的过程.3.同学是教学活动的主体,他们在学习过程中的参与状态和参与程度是影响教学效果最重要的因素,因此在学法上要重视动手操作、自主探究,让同学利用图象直观的性质,观看图象,合作探究,并通过正、反例的构造,来完成从感性生疏到理性生疏的转变.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________【教学重点难点】重点:1.对数函数的概念、图象及性质.2.对数函数性质的初步应用.3.争辩一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.难点:1.对数式与指数式的互化.2.底数a对对数函数的影响.对数函数性质的初步应用.3.函数的增长快慢的差异.【教学材料预备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:在4.2.1的问题2中,我们已经争辩了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地,死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？【同学思考,争辩,沟通,老师板书课题】【设计意图】由实际问题引入,激发同学的学习爱好.教学精讲探究1对数函数的概念师:下面请看对数函数的定义.【要点学问】对数函数的定义一般地,函数,且)叫做对数函数(logarithmicfunction),其中是自变量,定义域是.师:在对数函数定义中,为什么要限定,且?为什么对数函数,且的定义域是?【同学思考,老师引导同学回答问题】生:(1)依据指数式与对数式的关系,知可化为.由指数的概念,要使有意义,必需规定,且.生:(2)由于可化为,不管取什么值,由指数函数的性质,知.师:怎样推断一个函数是不是对数函数?【同学思考,分组争辩,回答问题,老师总结】师:依据定义,抓住其解析式的三个结构特征进行推断:①的系数为1;②底数满足,且;③真数为且.只有同时具备以上三个条件才是对数函数,否则就不是.【以学定教】经受争辩、沟通的过程,培育同学的分析、概括理解力量,体现了规律推理核心素养.【典型例题】对数函数的应用例1求下列函数的定义域:(1);(2),且.生解:(1)由于,即,所以函数的定义域是.(2)由于,即,所以函数的定义域是.师:求对数函数的定义域应留意:①对数的真数大于零,对数的底数大于0且不等于1;②使式子符合实际背景;③对底数含有字母的对数式要留意分类争辩.【分析计算力量】通过演练,进一步理解对数函数的定义,培育同学的分析计算力量,体现了数学运算素养.【同学争辩,自由回答,老师总结】师:由指数和对数的关系,我们可以得到对数的基本性质.【典型例题】对数函数的应用(二)例2假设某地初始物价为1,每年以的增长率递增,经过年后的物价为.(1)该地的物价经过几年后会翻一番?(2)填写下表,并依据表中的数据,说明该地物价的变化规律.【同学独立回答问题,老师总结】生:(1)由题意可知,经过年后物价为,即.由对数与指数间的关系,可得.由计算工具可得,当时,.所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番.(2)依据函数,利用计算工具,可得下表:由表中的数据可以发觉,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在渐渐缩小.【简洁问题解决力量】通过解决实际问题,让同学体会对数函数在实际生活中的应用,培育简洁问题解决力量、分析计算力量.师:(1)这里中,是的函数,是一个指数函数,而中,是的函数,是一个对数函数.(2)解决对数函数模型的实际问题时,通常先用指数函数列出数量关系,再转化为对数式,下面我们进行巩固练习.【巩固练习】对数函数的定义的应用求出函数的定义域,并画出它的大致图象.【同学独立完成,汇报结果,老师总结】生:函数的定义域为函数解析式可化为其大致图象如图所示(其特征是关于轴对称),如图所示:师:解决类似问题,先去掉确定值,转化成分段函数后再画出大致图象,求函数的定义域,结果必需用集合表示.【推想解释力量】结合对数函数定义、分段函数的学问解决问题,培育同学的推想解释、分析计算力量.探究2对数函数的图象和性质师:下面我们争辩对数函数的图象和性质.与争辩指数函数一样,先画出图象,然后借助图象争辩其性质.请同学们画出的图象.【同学思考、争辩后,列表、画图象,并呈现结果,老师总结】生:列表、描点、连线画出的图象.生:列表、描点、连线画出的图象.【情境学习】利用画图象引入,同时复习了函数图象的画法,为新学问做铺垫.师:接下来请同学们思考下面的问题.【情境设置】探究底数互为倒数的对数函数图象的关系我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象?【老师提示:利用换底公式,得出和的关系,依据这个关系画图象,并把两个函数的图象放在同始终角坐标系中.同学思考后回答问题】生:由于,点与点关于轴对称,所以函数和的图象关于轴对称.作出的图象,再作此图象关于轴的对称图形.如图所示:【少讲精讲】同学综合所学学问独立分析函数和的图象关系,老师精讲的图象和性质.师:底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.好了,我们思考下面的问题.【情境设置】探究对数函数的图象和性质选取底数,且的若干个不同的值,在同始终角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观看这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此你能概括出对数函数的值域和性质吗?【老师提示:函数的图象依据底数的取值为和两种类型进行分析,同学争辩,合作探究,回答问题】师:你知道怎样快速画出对数函数,且)的图象吗?生:描出点三点后,连线即可.【同学画出图象,并观看图象,师生共同总结对数函数的图象特点】师:对数函数的图象特点如下.【归纳总结】,且)的图象特点1.图象都在轴的右侧,且都过点;2.图象都无限地靠近轴,但不会与轴相交;3.当时,图象自左向右“上升”,当时,图象自左向右“下降”.【概括理解力量】总结对数函数的图象特点,为学习对数函数的性质做预备,培育同学概括理解、归纳总结力量.师:对数函数的图象和性质如下.【归纳总结】对数函数的图象和性质解析式底数图象定义域值域R单调性在上是增函数在上是减函数共点性图象过定点,即时,函数值特点时,;时,时,时,对称性函数与的图象关于轴对称【观看记忆力量】依据图象,总结、记忆对数函数的性质,进一步理解对数函数图象的特点,培育观看记忆、概括理解力量.师:依据对数函数的图象和性质,你能说出底数的大小与函数值的变化有什么关系吗?观看下面两个图象,你能说出对数函数底数的大小与图象有什么关系吗?【同学思考,争辩,回答问题,老师总结】【深度学习】通过观看图象,总结对数函数底数的大小与图象的关系,加深同学对对数函数图象的理解和观看,为近一步通过图象得到性质进行铺垫.师:两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线右侧部分是“底大图低”.学完了对数函数的性质,下面看一道例题.【典型例题】利用对数函数性质求值例3比较下列各题中两个值的大小:(1),且【依据对数函数的性质,同学独立完成,老师总结】生:(1)和可看作函数的两个函数值.由于底数,对数函数是增函数,且,所以.(2)和可看作函数的两个函数值.由于底数,对数函数是减函数,且,所以.(3)和可看作函数的两个函数值.当时,由于函数是增函数,且,所以;当时,由于函数是减函数,且,所以.【分析计算力量】结合对数函数的性质,合作学习解决比较两个对数值的大小问题,培育同学猜想探究力量、概括理解力量.师:当底数确定时,利用对数函数的单调性求值,当底数不确定时,要分类争辩.解决完例1题,请看例2题.【典型例题】用对数函数性质解决实际问题例4溶液酸碱度是通过计量的,的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔升.(1)依据对数函数性质及上述的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯洁水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算纯洁水的.生:(1)依据对数的运算性质,有,在上,,随若的增大,减小,相应地,也减小,即pH减小.所以,随着的增大,减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.生:(2)当时,,所以,纯洁水的是7.师:胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升,胃酸的是多少?生:.【简洁问题解决力量】运用对数函数性质解决实际问题,培育同学分析理解、简洁问题解决力量.探究3指数函数与对数函数的关系师:下面,请同学们阅读教材,回答什么是反函数?互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系?它们之间有什么关系?【同学阅读教材,画图象进行观看、争辩,老师总结】师:反函数的定义如下.【要点学问】反函数的定义一般地,对于函数,设它的值域为,我们依据这个函数中的关系,用把表示出来,得到.假如对于在中任何一个值,通过在A中都有唯一的值和它对应,那么就表示是自变量的函数,这样的函数叫做函数的反函数.【先学后教】同学阅读教材,自主学习反函数概念,老师引导,总结体现了先学后教的教学策略.师:只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数.那么,反函数具有什么样的性质呢?我们一起探讨下.【情境设置】探究反函数的性质对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗?它们的定义域、值域之间有什么关系?它们也互为反函数吗?生:由得,所以函数是函数的反函数,与的定义域与值域正好互换,与互为反函数.师:一般地,指数函数,且与对数函数,且互为反函数,它们的定义域与值域正好相反.师:画出一对反函数图象,你能说说反函数有什么性质吗?【同学合作探究,老师规范语言,师生共同得出反函数的性质】师:反函数的性质如下.【归纳总结】反函数的性质1.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2.若函数的图象上有一点,则必在其反函数的图象上.反之,若点在反函数的图象上,则必在其原函数的图象上.3.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.4.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.5.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.【发觉创新力量】综合所学学问,探究反函数的性质,培育同学的总结、发觉创新力量.师:结合所学学问,比较指数函数和对数函数的图象和性质.【同学思考,老师提示:从图象、定义域、值域和函数值的变化状况等方面进行比较】【要点学问】指数函数和对数函数的图象与性质比较名称指数函数对数函数一般形式,且,且图象定义域值域函数值的变化状况当时,当时,当时,当时,【概括理解力量】对比指数函数和对数函数的图象和性质,培育同学的概括理解、总结归纳力量.师:这节课你学到了什么?【课堂小结】对数函数的概念、图象与性质【设计意图】同学独立回顾学问点,老师完善、挂念同学形成学问体系,培育同学的归纳总结、规律思维力量.教学评价本节课学习了对数函数的概念、图象与性质,不同函数增长的差异.应用所学学问,完成下题:大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,争辩鲑鱼的科学家发觉鲑鱼的游速(单位:)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数,其中,为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位,而当它的游速为时,其耗氧量为2700个单位.(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式.(2)当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位?解析:要求“当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位”,就是求游速与其耗氧量单位数之间的函数的最大值.具体解题过程如下:(1)由题意,得,解得.故游速与其耗