2024-2025学年高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.1 垂直关系的判定（教师用书）教案 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步6垂直关系6.1垂直关系的判定（教师用书）教案北师大版必修2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容本节课选自北师大版必修2高中数学第1章“立体几何初步”中的6.1节“垂直关系的判定”。教学内容主要包括：

1.理解垂直关系的定义和性质；

2.学会运用几何法和平面解析法判断线线垂直、线面垂直和面面垂直；

3.掌握垂直关系在实际问题中的应用；

4.能够解决一些简单的垂直关系证明问题，例如证明线与线、线与面、面与面的垂直关系；

5.通过具体实例，让学生感受垂直关系在实际生活中的重要性。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学直观四个方面展开。

1.数学抽象：通过垂直关系的定义和性质的学习，培养学生从具体事物中抽象出数学概念和关系的能力，让学生理解垂直关系在几何图形中的普遍存在和重要作用。

2.逻辑推理：在教学过程中，指导学生运用几何法和平面解析法进行垂直关系的判定，培养学生严密的逻辑思维和推理能力，使学生能够熟练运用所学知识解决问题。

3.数学建模：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为数学模型，运用垂直关系判定方法解决问题，培养学生数学建模的能力。

4.数学直观：借助直观的教具和实际案例，让学生在实际操作中感受垂直关系，培养学生的空间想象力和几何直观。

5.数学素养的综合运用：通过解决垂直关系证明问题，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的综合素质。

在教学过程中，注重引导学生主动探索、合作交流，激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考和创新能力，使学生在掌握知识的同时，提升核心素养。教学难点与重点1.教学重点

（1）垂直关系的定义及其性质：理解垂直关系是两条直线或线与面之间的特殊位置关系，掌握其基本性质，如垂直线段的性质、垂直平面与直线的性质等。

举例：通过实际生活中的例子，如墙角、桌面与地面等，让学生理解垂直关系的概念。

（2）垂直关系的判定方法：重点掌握几何法和平面解析法判断线线垂直、线面垂直和面面垂直的方法。

举例：给出具体的几何图形，让学生判断两条直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系，并说明判定依据。

（3）垂直关系在实际问题中的应用：学会将垂直关系应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。

举例：运用垂直关系解决建筑、工程等领域中的实际问题。

2.教学难点

（1）垂直关系的判定：对于不同类型的垂直关系，判定方法的选择和应用是难点。

突破方法：通过典型例题的讲解和练习，让学生掌握不同情况下的判定方法，如利用垂直线段的性质、点到直线的距离等。

（2）垂直关系的证明：如何运用已知条件和几何定理进行垂直关系的证明，是学生普遍感到困难的地方。

突破方法：指导学生运用逻辑推理和几何定理，分步骤进行证明，并给出详细的解释和说明。

（3）空间想象能力的培养：对于空间几何问题，学生往往缺乏空间想象能力，难以理解垂直关系在不同角度和维度下的表现。

突破方法：利用教具、多媒体等辅助手段，让学生从不同角度观察和思考问题，培养空间想象能力。

在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的学习难点进行有针对性的指导，确保学生能够透彻理解本节课的核心知识。同时，注重引导学生将理论知识与实际应用相结合，提高学生的几何素养和解决问题的能力。教学资源1.软硬件资源

-教学课件（PPT）

-立体几何模型（教具）

-直尺、圆规等绘图工具

-黑板、白板、磁性贴纸

2.课程平台

-学校教学管理系统（发布作业、学习资料等）

-课堂互动软件（如课堂派、雨课堂等）

3.信息化资源

-3D几何绘图软件（辅助展示立体图形）

-数学学科软件（如GeoGebra、MathType等）

-视频资源（讲解难点、展示立体几何动画等）

4.教学手段

-探究式教学（小组合作、讨论交流）

-情境教学（生活实例、实际问题）

-互动教学（提问、回答、讲解）

-演示教学（利用教具、多媒体展示）

-练习与反馈（课堂练习、作业批改、个别辅导）教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是“垂直关系的判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过什么是垂直的现象？”（如墙角、桌面与地面等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直关系的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解垂直关系的基本概念。垂直关系是指两条直线或线与面之间的特殊位置关系，它是几何图形中非常重要的性质。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了垂直关系在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直关系相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂直关系的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“垂直关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了垂直关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂直关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《几何原本》：了解欧几里得几何中的垂直关系及其相关定理。

-《立体几何图形的画法》：学习如何准确地绘制立体图形，以及在不同角度观察垂直关系。

-《建筑中的几何学》：探索垂直关系在建筑设计中的应用，如高楼大厦的稳定性分析。

-《工程制图》：了解垂直关系在工程图纸中的表示方法及其在实际工程中的作用。

-《数学史上的几何学家》：了解几何学家在垂直关系研究方面的贡献和发现。

2.课后自主学习和探究

-研究垂直关系在其他学科中的应用，如物理学中的力的分解、化学结构中的分子构型等。

-探索垂直关系在自然界中的存在，如晶体结构、植物生长方向等。

-设计并制作一个垂直关系演示装置，用于解释线线垂直、线面垂直和面面垂直的概念。

-利用3D建模软件，如SketchUp或Blender，创建一个包含多种垂直关系的立体几何模型。

-研究垂直关系在艺术作品中的应用，如绘画中的透视法、雕塑中的立体构成等。

-分析并解释生活中常见的垂直现象，如桥梁的拱形结构、建筑物的立面设计等。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

（1）垂直关系的定义及其性质：垂直关系是指两条直线或线与面之间的特殊位置关系，具有垂直线段的性质、垂直平面与直线的性质等。

（2）垂直关系的判定方法：本节课学习了几何法和平面解析法判断线线垂直、线面垂直和面面垂直的方法。

（3）垂直关系在实际问题中的应用：通过实例分析，了解垂直关系在建筑、工程等领域的重要性。

2.当堂检测

（1）选择题

①以下哪个选项不是垂直关系的判定方法？

A.几何法

B.平面解析法

C.向量法

D.观察法

②下列哪个图形展示了线面垂直关系？

A.直线与平面相交

B.直线与平面平行

C.直线在平面内

D.平面与平面垂直

（2）填空题

①两条直线互相垂直，它们的夹角是______度。

②如果一个点到直线的距离是0，那么这个点与直线之间的位置关系是______。

（3）解答题

①请用几何法证明：在等腰三角形中，底边上的高线与底边垂直。

②请利用平面解析法判断：在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)到平面xoy的距离。

（4）实际应用题

①在一座大桥的设计中，桥墩与水面的夹角为60度，请用所学知识解释这个夹角对大桥稳定性的影响。

②在一栋建筑物的设计中，为了使建筑物显得更加美观，设计师采用了垂直线条作为立面设计的主要元素。请分析这种设计对建筑物外观和结构的影响。板书设计①重点知识点：

-垂直关系的定义与性质

-两条直线垂直：夹角为90度

-线与面垂直：线在面内或与面相交成直角

-面与面垂直：相交线垂直于其中一个面

-垂直关系的判定方法

-几何法：利用垂直线段的性质、点到直线的距离等

-平面解析法：利用向量的点积、坐标计算等

-垂直关系在实际问题中的应用

②重点词句：

-"垂直线段最短"

-"点到直线的距离"

-"线线垂直、线面垂直、面面垂直"

-"几何法与平面解析法"

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点和难点，如用红色标注关键词语，蓝色标注公式和判定方法。

-利用图形和示意图，展示立体几何中的垂直关系，增强视觉效果。

-创意布局，如在板书两侧添加与教学内容相关的趣味插图，如建筑物的立体图、自然界中的垂直现象等。

-设计互动环节，让学生上台参与板书，如在判定方法部分，邀请学生上台演示如何使用几何法和平面解析法判断垂直关系。典型例题讲解例题1：证明线线垂直

题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是AB的中点，证明：CD垂直于AB。

解答：连接AD和BD，由于AB=AC，点D是AB的中点，所以AD=DC，∠ADB=∠ADC。又因为三角形ADB和三角形ADC是全等的，所以∠BDC=90度，即CD垂直于AB。

例题2：证明线面垂直

题目：直线l在平面α内，点P是直线l外的一点，且直线l垂直于过点P的平面β，证明：直线l垂直于平面β。

解答：过点P作平面β的垂线，设垂足为H，连接PH。由于直线l垂直于平面β，所以PH垂直于直线l。又因为PH在平面α内，所以直线l垂直于平面α。

例题3：证明面面垂直

题目：平面α和平面β相交于直线l，平面α垂直于平面β，证明：平面α垂直于平面β。

解答：由于平面α和平面β相交于直线l，且平面α垂直于平面β，所以直线l垂直于平面β。又因为直线l在平面α内，所以平面α垂直于平面β。

例题4：应用垂直关系解决实际问题

题目：在一栋建筑物的设计中，设计师希望在立面设计中采用垂直线条作为主要元素。请分析这种设计对建筑物外观和结构的影响。

解答：采用垂直线条作为立面设计的主要元素可以使建筑物显得更加挺拔和稳定。垂直线条可以