新高考数学一轮复习知识清单+巩固练习专题10 复数及其应用（原卷版）

第第页专题10复数及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1复数的基本概念1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.2、复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))3、复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知识点2复数的几何意义1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量SKIPIF1<0知识点3复数的四则运算1、复数的运算法则设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a，b，c，d∈R)，则：（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）SKIPIF1<02、复数运算的几个重要结论（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.（4）(1±i)2＝±2i.（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.知识点4复数的三角形式1、复数的辅角（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。2、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。3、复数的代数式与三角式互化将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义（1）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r则z这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的（3）复数乘法运算三角表示推广：z1=r特别的，当z1=5、复数除法运算的三角表示及其几何意义（1）复数除法运算的三角表示：已知z1=则z这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.（2）两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把O一、复数的分类对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．【典例1】若复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）为实数，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0为虚数单位，若SKIPIF1<0为实数，则实数SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．4C．2D．SKIPIF1<0【典例3】已知复数SKIPIF1<0是虚数，则实数m的取值范围是（）A．RB．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、求复数标准代数式形式的两种方法1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知复数SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．2D．3三、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【典例1】复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【典例2】已知复数z满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限四、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.【典例1】已知i为虚数单位，则SKIPIF1<0=.【典例2】若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是虚数单位，则SKIPIF1<0．五、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=−b±b2−4ac2a=2\*GB3②（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(将此代入方程ax【典例1】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0在复数范围内的两个解，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一个根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数，则SKIPIF1<0.六、复数的代数式与三角式互化将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=【典例1】（多选）已知SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0，则下列选项不是SKIPIF1<0的三角形式的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）把复数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0对应的向量SKIPIF1<0分别按逆时针方向旋转SKIPIF1<0和SKIPIF1<0后，重合于向量SKIPIF1<0且模相等，已知SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0的代数形式和它的辐角分别是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】复数SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0易错点1忽视复数SKIPIF1<0是纯虚数的充要条件点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数SKIPIF1<0为纯虚数SKIPIF1<0，往往容易忽略虚部不等于0.【典例1】若SKIPIF1<0为纯虚数，则复数SKIPIF1<0的虚部为.【典例2】i是虚数单位，若复数SKIPIF1<0为纯虚数，则SKIPIF1<0．易错点2错误的理解复数比大小点拨：两个复数不能直接比大小，但如果SKIPIF1<0成立，等价于SKIPIF1<0。【典例1】已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为.【典例2】已知SKIPIF1<0为虚数单位，若复数SKIPIF1<0