新高考数学一轮复习讲义 第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（含解析）

第40讲圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）题型目录一览①圆与圆的位置关系②圆的公共弦问题③圆的公切线问题④圆的综合性问题一、知识点梳理一、知识点梳理一、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆SKIPIF1<0的半径分别是SKIPIF1<0，（不妨设SKIPIF1<0），且两圆的圆心距为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0两圆相交；SKIPIF1<0两圆外切；SKIPIF1<0两圆相离；SKIPIF1<0两圆内切；SKIPIF1<0两圆内含（SKIPIF1<0时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【常用结论】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0．（2）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（3）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（4）求过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为SKIPIF1<0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的SKIPIF1<0值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一圆与圆的位置关系策略方法几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．【典例1】已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0．试求SKIPIF1<0为何值时，两圆SKIPIF1<0：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系，由此可构造方程或不等式求得结果.【详解】（1）由圆SKIPIF1<0方程知：圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0方程知：圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；若两圆内切，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若两圆外切，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若两圆相切，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）若两圆相交，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，两圆相交.（3）若两圆外离，则SKIPIF1<0，即

SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，两圆外离.（4）若两圆内含，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，两圆内含.【题型训练】一、单选题1．（2023高三专题练习）两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【分析】先求出两圆的圆心和半径,再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,得出两圆的位置关系即可.【详解】解:由题知,SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0,半径为3,因为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,圆心为SKIPIF1<0,半径为4,所以两圆心之间的距离为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以两圆相交.故选:B2．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.【详解】圆SKIPIF1<0化成标准方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为外切，故选：B3．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则实数a的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或2 D．1或SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论．【详解】由题可知圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：C．4．（广西梧州市苍梧中学2023届高三5月份高考数学模拟试题）若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，过点SKIPIF1<0的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为SKIPIF1<0，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0方程，解得SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故选：C．5．（东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三二模数学试题）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.【详解】由SKIPIF1<0且半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且半径SKIPIF1<0，结合a大于0，所以SKIPIF1<0时，两圆相交，则SKIPIF1<0，由选项可得A选项为SKIPIF1<0的充要条件；B、D选项为SKIPIF1<0的必要不充分条件；C选项为SKIPIF1<0的充分不必要条件；故选：C6．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相外切，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0取得最大值，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同号，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由圆C1与圆C2相外切，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；要使SKIPIF1<0取得最大值，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同号，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由基本不等式，得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，∴ab的最大值为2．故选：A7．（2023高三专题练习）已知点P，Q分别为圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【分析】根据两圆位置关系求解.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0为1；圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0为2；所以两圆的圆心距SKIPIF1<0，两圆外离，所以SKIPIF1<0，故选：A.8．（广东省深圳市罗湖区部分学校2024届高三上学期开学模拟数学试题）“SKIPIF1<0”是“圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用内含的定义以及充分而不必要条件的定义求解.【详解】当两圆无公切线时，两圆内含，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以两圆的圆心距为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当两圆有公切线时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0能推出圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切线，而圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公切线不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切线”的充分而不必要条件，故选：A.9．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆SKIPIF1<0和两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圆C上至少存在一点P，使得SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆O：SKIPIF1<0位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.【详解】圆C：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，∵圆C上至少存在一点P，使得SKIPIF1<0，∴圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆O：SKIPIF1<0位置关系为相交，内切或内含，如图所示，又圆O：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：B．

10．（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为线段SKIPIF1<0中点，P为圆SKIPIF1<0任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意得A为圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一点，设圆SKIPIF1<0的圆心为M，从而得到SKIPIF1<0为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且A为线段SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，所以A为圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0任意一点，设圆SKIPIF1<0的圆心为M，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以圆O与圆M相离，所以SKIPIF1<0的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】关键点点睛：依题意得SKIPIF1<0的几何意义为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．二、多选题11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）下列圆中与圆SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】求出圆SKIPIF1<0的圆心及半径，求出圆心距，即可得出答案.【详解】解：圆SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，对于A，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以两圆相交，故A不符题意；对于B，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，所以两圆外切，故B符合题意；对于C，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，所有两圆内切，故C符合题意；对于D，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心距为SKIPIF1<0，所以两圆外离，故D不符题意.故选：BC.12．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．圆C的半径为18B．圆C截x轴所得的弦长为SKIPIF1<0C．圆C与圆SKIPIF1<0相外切D．若圆C上有且仅有两点到直线SKIPIF1<0的距离为1，则实数m的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A：将一般式配方可得：SKIPIF1<0，A错；B：圆心到x轴的距离为2，弦长为SKIPIF1<0，B对；C：由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆C与圆SKIPIF1<0外切，C对；D：圆C上有且仅有两点到直线SKIPIF1<0的距离为1，d表示圆心与直线的距离，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解之:SKIPIF1<0，D错；故选：BC.13．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交B．若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外离C．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，故A正确，B错误；若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，则圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正确；若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以相交弦长SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.14．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0和两点SKIPIF1<0，若圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能的取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】先求动点SKIPIF1<0的轨迹，再利用圆与圆的位置关系可求SKIPIF1<0的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹为圆SKIPIF1<0（原点为圆心，半径为SKIPIF1<0，不含SKIPIF1<0两点），因为SKIPIF1<0分别在第二象限和第四象限，而圆SKIPIF1<0在第一象限，又SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，故圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共点，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：CD.【点睛】思路点睛：直线与圆中的隐圆问题，大多需要考虑动点的轨迹（常为圆），从而把动点的存在性问题归结圆与圆的位置关系问题.三、填空题15．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相内切，则实数m的值为．【答案】0或2【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相内切求出SKIPIF1<0的值为.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以两圆的圆心距SKIPIF1<0，又因为两圆内切，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：0或2.16．（黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题）写出一个与两坐标轴和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0都相切的一个圆的标准方程为．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（写出其中一个即可）【分析】做出图像，即可求解.【详解】圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，画图可知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都与坐标轴和圆SKIPIF1<0相切．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（写出其中一个即可）17．（山东省枣庄市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题）满足圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交的一个a值为．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，只要在区间SKIPIF1<0即可）【分析】根据两圆相交可求得圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，即可得SKIPIF1<0的范围，从而可的答案.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为两圆相交，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以满足圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交的一个a值可以为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.（答案不唯一，只要在区间SKIPIF1<0即可）18．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，此时直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截的弦长为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得SKIPIF1<0，接着计算SKIPIF1<0到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，即圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，即圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故所截弦长为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<019．（2023高三专题练习）若圆SKIPIF1<0上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆SKIPIF1<0上，则r的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出圆SKIPIF1<0关于y轴的对称圆SKIPIF1<0的方程，由题意知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有交点，由此可列出不等式，即可求得答案.【详解】圆SKIPIF1<0关于y轴的对称圆为圆SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0，根据题意，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有交点，又圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的圆心距为SKIPIF1<0，要满足题意，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<020．（重庆市2024届高三上学期9月联考数学试题）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，且圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可得：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，根据两圆的位置关系列式求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为d，如图，SKIPIF1<0只能在直线SKIPIF1<0的左侧，则SKIPIF1<0，

因为圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为1，依题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，故圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题21．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0外切，求圆心SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根据圆C与圆A、圆B外切，得到SKIPIF1<0，再利用双曲线的定义求解.【详解】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标SKIPIF1<0，圆C半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是双曲线的一支，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其轨迹方程为SKIPIF1<0.22．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切.(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的长.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）分别求出两圆的半径及圆心，由两圆外切可得圆心距等于两圆半径之和，注意方程SKIPIF1<0表示圆时SKIPIF1<0的范围；（2）求出圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】（1）解：由圆SKIPIF1<0，得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由圆SKIPIF1<0，得圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）解：圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.题型二圆的公共弦问题策略方法两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．【典例1】已知圆C的圆心为SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆SKIPIF1<0的公共弦的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】（1）由题意得圆C的半径为SKIPIF1<0，故圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圆心距为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即两圆相交，将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相减得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故两圆的公共弦长为SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．（2023高三专题练习）过圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交点的直线方程为（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.【详解】联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以过两圆交点的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C2．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B两点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得SKIPIF1<0.【详解】将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相减得直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B3．（重庆市第八中学校2023届高三下学期适应性月考（八）数学试题）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦恰为圆SKIPIF1<0的直径，则圆SKIPIF1<0的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再由公共弦为直径得圆心SKIPIF1<0在直线上，代入圆心坐标可求半径，进而求出圆的面积.【详解】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为SKIPIF1<0，因为公共弦为圆SKIPIF1<0的直径，所以圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故选：D.4．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，然后k取特值解方程组可得交点.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得公共弦所在直线方程为：SKIPIF1<0，分别取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：A5．（2023高三专题练习）已知圆C过圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共点．若圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意求解圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦方程，再计算圆SKIPIF1<0中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可【详解】由题，圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的两式相减，化简可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故公共弦长为SKIPIF1<0，故圆C的半径为SKIPIF1<0，故圆C的面积为SKIPIF1<0故选：B6．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0引圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为切点，则直线SKIPIF1<0经过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的两条切线，所以SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，因为点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，所以设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的中点的横坐标为：SKIPIF1<0，纵坐标为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0为直径的圆的标准方程为：SKIPIF1<0，而圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即为直线SKIPIF1<0的方程，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.7．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线恒过点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把两圆的方程作差即可得出公共弦所在直线方程，再利用直线系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直线方程SKIPIF1<0，由重要不等式求SKIPIF1<0的取值范围．【详解】由圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，两式相减，得圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线方程为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时取等，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C．二、多选题8．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则（

）A．两圆的圆心的距离为25B．两圆相交C．两圆的公共弦所在直线方程为SKIPIF1<0D．两圆的公共弦长为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】A选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距；B选项，利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定是否相交；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长.【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆心距SKIPIF1<0，A错误；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两圆相交，B正确；两圆相减得：SKIPIF1<0，故两圆的公共弦所在直线方程为SKIPIF1<0，C错误；圆心SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由垂径定理得：两圆的公共弦长为SKIPIF1<0，D选项正确.故选：BD9．（2023高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0有两条公切线B．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．圆SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圆SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得SKIPIF1<0，即得公共弦SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，直线SKIPIF1<0经过圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，故圆SKIPIF1<0中不存在比SKIPIF1<0长的弦，故C错误；对于D，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为2，圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0上的点到直线SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD.10．（2023高三专题练习）圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为SKIPIF1<0B．线段AB中垂线方程为SKIPIF1<0C．公共弦AB的长为SKIPIF1<0D．P为圆SKIPIF1<0上一动点，则P到直线AB距离的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆SKIPIF1<0的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出SKIPIF1<0到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误．【详解】对于选项A，因为圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确；对于选项B，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，则线段AB中垂线的斜率为SKIPIF1<0，即线段AB中垂线方程为SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故B正确；对于选项C，圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正确；对于选项D，P为圆SKIPIF1<0上一动点，圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，所以P到直线AB距离的最大值为SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD．11．（安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，则（

）A．若SKIPIF1<0的半径为1，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交弦所在的直线为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得的最短弦长为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】直接求SKIPIF1<0的半径即可判断A；两圆方程相减即可得相交弦所在直线方程，从而判断B；易知直线SKIPIF1<0过定点，当定点与圆心连线与SKIPIF1<0垂直时，可得弦长最小值，从而判断C；先根据SKIPIF1<0的最小值确定两圆的位置关系并求出SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0的最大值，可判断D.【详解】由题意得，SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半径为1，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两圆方程相减，得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交弦所在的直线为SKIPIF1<0，故B错误；易得直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，则圆心SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0被SKIPIF