新高考数学一轮复习讲义 第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差(含解析)_第1页
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文档简介

第54讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差(精讲)题型目录一览①离散型随机变量②离散型随机变量的分布列③离散型随机变量的分布列的性质④离散型随机变量的分布列的均值⑤离散型随机变量的分布列的方差一、知识点梳理一、知识点梳理一、离散型随机变量的分布列1.随机变量的定义在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示.注:①有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数来表示.如掷一枚硬币,SKIPIF1<0表示反面向上,SKIPIF1<0表示正面向上.②随机变量的线性关系:若SKIPIF1<0是随机变量,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是常数,则SKIPIF1<0也是随机变量.2.离散型随机变量的定义对于所有取值可以一一列出来的随机变量,称为离散型随机变量.注:离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量;②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出,而连续型随机变量的结果不能一一列出.3.离散型随机变量的分布列的表示一般地,若离散型随机变量SKIPIF1<0可能取的不同值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取每一个值SKIPIF1<0SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0,以表格的形式表示如下:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我们将上表称为离散型随机变量SKIPIF1<0的概率分布列,简称为SKIPIF1<0的分布列.有时为了简单起见,也用等式SKIPIF1<0,SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的分布列.4.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.注:①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误,也可以用来求分布列中的某些参数.②随机变量SKIPIF1<0所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.二、离散型随机变量的均值与方差1.均值若离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0称SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.均值的性质(1)SKIPIF1<0(为常数).(2)若SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为常数,则SKIPIF1<0也是随机变量,且SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0.(4)如果SKIPIF1<0相互独立,则SKIPIF1<0.3.方差若离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则称SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的方差,并称其算术平方根SKIPIF1<0为随机变量SKIPIF1<0的标准差.4.方差的性质(1)若SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为常数,则SKIPIF1<0也是随机变量,且SKIPIF1<0.(2)方差公式的变形:SKIPIF1<0.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一离散型随机变量的概念策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量;②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出,而连续型随机变量的结果不能一一列出.【典例1】(单选题)下列叙述中,是离散型随机变量的为()A.将一枚质地均匀的硬币掷五次,出现正面和反面向上的次数之和B.某人早晨在车站等出租车的时间C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数D.袋中有SKIPIF1<0个黑球SKIPIF1<0个红球,任取SKIPIF1<0个,取得一个红球的可能性【答案】C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A,掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果,则掷五次,出现正面和反面向上的次数之和为SKIPIF1<0,是常量,A错误;对于B,等出租车的事件是随机变量,但无法一一列出,不是离散型随机变量,B错误;对于C,连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个,是离散型随机变量,C正确;对于D,事件发生的可能性不是随机变量,D错误.故选:C.【题型训练】一、单选题1.在下列表述中不是离散型随机变量的是(

)①某机场候机室中一天的旅客数量SKIPIF1<0;

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数SKIPIF1<0;③某篮球下降过程中离地面的距离SKIPIF1<0;

④某立交桥一天经过的车辆数X.A.①中的SKIPIF1<0 B.②中的SKIPIF1<0 C.③中的SKIPIF1<0 D.④中的SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断,得出答案.【详解】①②④中的随机变量SKIPIF1<0可能取的值,我们都可以按一定的次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;③中的SKIPIF1<0可以取一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故SKIPIF1<0不是离散型随机变量.故选:C2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用SKIPIF1<0表示甲的得分,则SKIPIF1<0表示(

)A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局二次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出SKIPIF1<0的所有可能的情况,即得.【详解】因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,故SKIPIF1<0表示两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选:D.3.①某座大桥一天经过的车辆数为X;②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X;③一天之内的温度为X;④一射手对目标进行射击,命中得1分,未命中得0分,用X表示射手在一次射击中的得分.上述问题中的X是离散型随机变量的是(

)A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【分析】根据离散型随机变量的定义:可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举,②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举,③一天之内的温度是连续型变量,④一次射击中的得分是可一一列举,由离散随机变量的定义知:①②④.故选:B4.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用SKIPIF1<0表示甲的得分,则SKIPIF1<0表示(

)A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况,由此可得出合适的选项.【详解】解:甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,所以SKIPIF1<0有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选:D.5.下面是离散型随机变量的是(

)A.电灯泡的使用寿命SKIPIF1<0B.小明射击1次,击中目标的环数SKIPIF1<0C.测量一批电阻两端的电压,在10V~20V之间的电压值SKIPIF1<0D.一个在SKIPIF1<0轴上随机运动的质点,它在SKIPIF1<0轴上的位置SKIPIF1<0【答案】B【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量,据此逐项判断即可.【详解】对于A,电灯泡的使用寿命是变量,但无法将其取值一一列举出来,故A不符题意;对于B,小明射击1次,击中目标的环数SKIPIF1<0是变量,且其取值为SKIPIF1<0,故X为离散型随机变量,故B符合题意;对于C,测量一批电阻两端的电压,在10V~20V之间的电压值SKIPIF1<0是变量,但无法一一列举出X的所有取值,故X不是离散型随机变量,故C不符题意;对于D,一个在SKIPIF1<0轴上随机运动的质点,它在SKIPIF1<0轴上的位置SKIPIF1<0是变量,但无法一一列举出其所有取值,故X不是离散型随机变量,故D不符题意.故选:B.题型二离散型随机变量的分布列策略方法离散型随机变量分布列的求解步骤【典例1】(单选题)一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题意,令SKIPIF1<0表示前k个球为白球,第SKIPIF1<0个球为红球,此时SKIPIF1<0,再进行计算即可求解.【详解】令SKIPIF1<0表示前k个球为白球,第SKIPIF1<0个球为红球,此时SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故选:A.【题型训练】一、单选题1.投掷两枚质地均匀的骰子,记偶数点朝上的骰子的个数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的分布列为(

)A.X12PSKIPIF1<0SKIPIF1<0B.X01PSKIPIF1<0SKIPIF1<0C.

X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

D.

X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

【答案】C【分析】根据离散型随机变量的分布列,即可写出答案.【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为SKIPIF1<0,且相互独立,SKIPIF1<0的取值可能为0,1,2.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的分布列为:XSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选:C.2.一袋中装5个球,编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3个,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】分别计算ξ为1,2,3时的概率即可得到答案.【详解】随机变量ξ的可能值为1,2,3,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选:C3.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为(

)A.X012P0.080.140.78B.X012P0.060.240.70C.X012P0.060.560.38D.X012P0.060.380.56【答案】D【分析】列出X的可能取值,求出每个X对应的概率,即可求出分布列.【详解】易知X的可能取值为0,1,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故X的分布列为X012P0.060.380.56故选:D.二、多选题4.已知随机变量SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0,则实数SKIPIF1<0的值可能是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】求出SKIPIF1<0的分布列,对各选项依次判断即可.【详解】由随机变量SKIPIF1<0的分布列可知,随机变量SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,用表格表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴对于A,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故选项A错误;对于B,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故选项B正确;对于C,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故选项C正确;对于D,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故选项D正确.故选:BCD.5.已知随机变量ξ的分布列为:ξ-2-10123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0,则实数SKIPIF1<0的值可以是(

)A.5 B.7C.9 D.10【答案】ABC【分析】根据随机变量ξ的分布列,求出随机变量SKIPIF1<0的分布列,再找出满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0即可.【详解】由随机变量SKIPIF1<0的分布列,知:SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:ABC.6.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”,至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中,甲,乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军,比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为SKIPIF1<0,且每局比赛的胜负互不影响,记决赛中的比赛局数为X,则(

)A.乙连胜三场的概率是SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列,然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5,若比赛局数为3时,乙连胜三场的概率是SKIPIF1<0;若比赛局数为4时,乙连胜三场的概率是SKIPIF1<0;若比赛局数为5时,乙连胜三场的概率是SKIPIF1<0;故选项A错误;由题意可知,决赛中的比赛局数SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;故选项B正确;SKIPIF1<0;故选项C错误;令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减,则当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0,故选项D正确;故选:BD.三、填空题7.数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称有一个“巧合”,求“巧合”个数SKIPIF1<0的分布列.【答案】SKIPIF1<00124PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0的可能取值是0、1、2、4,分别求出相应的概率,由此能求出SKIPIF1<0的分布列.【详解】SKIPIF1<0的可能取值是0、1、2、4,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<00124PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<00124PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08.从装有除颜色外其余均相同的3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有SKIPIF1<0个红球,随机变量SKIPIF1<0的概率分布列如下:SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的值分别为、、.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.【详解】依题意,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.9.设随机变量SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用题意得到SKIPIF1<0的分布,然后利用概率之和为1得到SKIPIF1<0,即可求出答案【详解】解:由题意知,SKIPIF1<0的分布为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.10.某社区为了丰富群众的业余活动,倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中,游戏共进行两轮,每小组两位选手,在每轮活动中,两人各投一次,如果两人都投中,则小组得3分;如果只有一个人投中,则小组得1分;如果两人都没投中,则小组得0分.甲、乙两人组成一组,甲每轮投中的概率为SKIPIF1<0,乙每轮投中的概率为SKIPIF1<0,且甲、乙两人每轮是否投中互不影响,各轮结果亦互不影响,则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先写出SKIPIF1<0可能取值,再写出分布列,最后得到不低于3分的概率.【详解】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0可取的值为0、1、2、3、4、6,在一轮活动中,该小组得3分的概率SKIPIF1<0该小组得1分的概率SKIPIF1<0,该小组得0分的概率SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.四、解答题11.将SKIPIF1<0个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号SKIPIF1<0.现从中任取SKIPIF1<0个球,以SKIPIF1<0表示取出球的最大号码.(1)求SKIPIF1<0的分布列;(2)求SKIPIF1<0的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由已知判断随机变量SKIPIF1<0的所有取值,并分别判断其概率,可得分布列;(2)由(1)的分布列可得概率.【详解】(1)由已知可得随机变量SKIPIF1<0的可能取值有:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)由(1)得SKIPIF1<0.12.2022年卡塔尔世界杯(英语:FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二届世界杯足球赛,是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛,体育生更是热爱观看世界杯,某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数,统计人数如下表所示:班级12345喜欢观看世界杯的人数3935383836班级678910喜欢观看世界杯的人数3940374038(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生,就世界杯各国水平发挥进行交谈,求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率;(2)从10个班级中随机选取一个班级,记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X,用上表中的频率估计概率,求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列见解析,SKIPIF1<0【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同,三个班完全相同只有一种情况,就是抽取的三个班恰好是3,4,10班;(2)根据表格计算出人数为35,36,37,38,39,40人的频率,再按照数学期望计算公式计算.【详解】(1)从10个班任取3个班有SKIPIF1<0种选法,人数完全相同只有1种选法,就是恰好抽取3,4,10班,3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率SKIPIF1<0;(2)根据表格知:任取1个班人数为35,36,37,38,39,40的概率为0.1,0.1,0.1,0.3,0.2,0.2,分布列如下表:人数353637383940概率0.10.10.10.30.20.2数学期望SKIPIF1<0(人);综上,(1)3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率SKIPIF1<0;(2)数学期望为38.13.作为北京副中心,通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点,也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任,因此,通州区的发展备受瞩目.2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴(2017)》显示:2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元,比上年增长SKIPIF1<0,下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率,如图一.又根据通州区统计局2018年1月25日发布:2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元,比上年增长SKIPIF1<0.(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图),标出增长率并补全折线图;(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为SKIPIF1<0,现从2011~2017这7年中随机选取2个年份,记X为“选取的2个年份中,增长率高于SKIPIF1<0的年份的个数”,求X的分布列及数学期望;(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为SKIPIF1<0,平均数为SKIPIF1<0,比较和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小(只需写出结论).【答案】(1)见解析(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】(1)根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元,比上年增长SKIPIF1<0”补全折线图(2)根据题意写出SKIPIF1<0的取值并计算对应的概率,写出分布列即可(3)根据题意分别计算SKIPIF1<0,直接写出答案即可【详解】(1)(2)依题意,SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<014.(1)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中随机的抽取出两个数字,记两个数字的和为X.(i)求X的分布列;(ii)求X的数学期望SKIPIF1<0.(2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中随机的抽取出三个数字,记三个数字的和为Y.写出Y的数学期望SKIPIF1<0(只需写出结果即可,不需写出推证过程).【答案】(1)(i)分布列见解析;(ii)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0【分析】(1)(i)直接利用古典概型求概率,列出分布列即可.(ii)利用分布列直接求解期望即可.(2)列出分布列,直接求解期望即可.【详解】(1)(i)X是一个离散型随机变量,SKIPIF1<0,其可能的取值为1,2,3,4,5,…,13,14,15,16,17.用表格表示X的分布列,如下图所示:X1234567891011121314151617PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(ii)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.题型三离散型随机变量的分布列的性质策略方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.【典例1】(单选题)若随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由随机变量SKIPIF1<0的分布列的性质和数学期望公式得出答案.【详解】根据所给的分布列,可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:A.【题型训练】一、单选题1.下表是离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列,则常数SKIPIF1<0的值是(

)X3459PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据分布列的性质运算求解.【详解】由题意可得:SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:C.2.若随机变量SKIPIF1<0的分布列为XSKIPIF1<0SKIPIF1<00123P0.10.20.10.30.10.2则当SKIPIF1<0时,实数SKIPIF1<0的取值范围是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】可由分布列的性质直接求解.【详解】由随机变量SKIPIF1<0的分布列知:SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0时,实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:C.3.随机变量ξ的分布列如下:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0等于(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为SKIPIF1<0可求.【详解】SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选:D.4.若随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由随机变量SKIPIF1<0的分布列的性质和数学期望公式得出答案.【详解】根据所给的分布列,可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:A.5.设随机变量X的分布列为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由分布列中所有概率和为1求解.【详解】由题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选:A.6.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有SKIPIF1<0个人正在使用或等待使用该取款机的概率为SKIPIF1<0,根据统计得到SKIPIF1<0,则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】由概率和为SKIPIF1<0可求解SKIPIF1<0,即为所求.【详解】由题意知,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为SKIPIF1<0.故选:B.二、多选题7.已知随机变量X的概率分布如下表(其中a为常数):X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A.a=0.1 B.P(X≤2)=0.7C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3【答案】ABD【分析】由概率之和为1可判断A,根据分布列计算概率,可判断BCD.【详解】因为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故A正确;由分布列知SKIPIF1<0,故B正确SKIPIF1<0,C错误.SKIPIF1<0,故D正确,故选:ABD8.已知离散型随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<01246SKIPIF1<00.2SKIPIF1<0SKIPIF1<00.1则下列选项正确的是(

)A.SKIPIF1<0 B.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据分布列的性质,以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式,逐项判定,即可求解.【详解】对于A中,由分布列的性质,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以A正确;对于B中,若SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故B正确;对于C中,由概率的定义知SKIPIF1<0,所以C不正确;对于D中,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以D正确.故选:ABD.9.一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球,现不放回地随机从盒子中摸球,每次取一个,直到取到黑球为止,记摸到白球的个数为随机变量SKIPIF1<0,则下列说法正确的是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】CD【分析】A选项,分析出SKIPIF1<0所包含的情况,从而得到SKIPIF1<0,BC选项,分析出SKIPIF1<0所包含的情况,求出SKIPIF1<0,D选项,利用SKIPIF1<0的所有可能有SKIPIF1<0,利用对立事件的概率公式求出SKIPIF1<0.【详解】A选项,SKIPIF1<0,分为第一次即取到黑球,或第一次摸到红球,第二次摸到黑球,或前两次均摸到红球,第三次摸到黑球,故SKIPIF1<0,A错误;BC选项,SKIPIF1<0,即第一次摸到白球,第二次摸到黑球,或前两次一次摸到红球,一次摸到白球,第三次摸到黑球,或前三次有两次摸到红球,一次摸到白球,第四次摸到黑球,故SKIPIF1<0,B错误,C正确;D选项,SKIPIF1<0的所有可能有SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,D正确.故选:CD三、填空题10.已知随机变量X的分布列为X012P0.1SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由条件分别计算出SKIPIF1<0,从而可的结果.【详解】由题可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.11.离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失,丢失数据以x,y代替,其概率分布如下:X123456P0.200.10x0.10y0.20则SKIPIF1<0等于.【答案】SKIPIF1<0【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求SKIPIF1<0的概率.【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.12.随机变量X的分布列如下,其中a,b,c成等差数列,则公差d的取值范围是.XSKIPIF1<001Pabc【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差中项可得SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0,结合分布列的性质运算求解.【详解】因为a,b,c成等差数列,则SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以公差d的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.13.离散型随机变量SKIPIF1<0的概率分布规律为SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是常数,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用概率和为SKIPIF1<0可构造方程求得SKIPIF1<0的值,由SKIPIF1<0可求得结果.【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.题型四离散型随机变量的分布列的均值策略方法求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.(2)求X取每个值时的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).【典例1】(单选题)一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从中随机取出2个球,用SKIPIF1<0表示取出球的最大编号,则SKIPIF1<0(

)A.2 B.3 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4,然后求出各自对应的概率,即可求出X的分布列,再计算期望即可.【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4.且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因此X的分布列为:X234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,故选:C.【典例2】(单选题)已知随机变量X的分布列为X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0等于(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合题意,先计算出SKIPIF1<0,再表示SKIPIF1<0,建立等式,解出即可.【详解】结合题意:SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,故选:A.【题型训练】一、单选题1.已知随机变量SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<0123SKIPIF1<00.20.5SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的均值是(

)A.2 B.2.1C.2.3 D.随SKIPIF1<0的变化而变化【答案】B【分析】先求得SKIPIF1<0,然后根据均值的求法求得正确答案.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.故选:B2.随机变量SKIPIF1<0的概率分布为SKIPIF1<0124SKIPIF1<00.40.30.3则SKIPIF1<0等于(

)A.11 B.15 C.35 D.39【答案】B【分析】先根据分布列求出SKIPIF1<0,再根据期望的性质可求得答案【详解】由题意得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选:B3.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的均值是(

)A.6 B.7.8C.9 D.12【答案】B【分析】按步骤求出分布列,再利用均值公式即可得到答案.【详解】设此人的得奖金额为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的所有可能取值为12,9,6.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故分布列为SKIPIF1<01296SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.故选:B.4.为了备战2023斯诺克世锦赛,丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设丁俊晖在每局中获胜的概率为SKIPIF1<0,赵心童在每局中获胜的概率为SKIPIF1<0,且各局胜负相互独立,比赛停止时已打局数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】依题意得到SKIPIF1<0的可能取值,再求出对应的概率,从而求解期望即可.【详解】由题意得,随机变量SKIPIF1<0的可能取值是2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为SKIPIF1<0,若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以期望为SKIPIF1<0.故选:B.5.某品牌饮料正在进行有奖促销活动,一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖,消费者从中随机取出2瓶,记X为其中有奖的瓶数,则SKIPIF1<0为(

)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】根据给定条件,求出X的可能值及对应的概率,再利用期望的定义及性质计算作答.【详解】依题意,X的可能值为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:B6.元宵节庙会上有一种摸球游戏:布袋中有15个大小和形状均相同的小球,其中白球10个,红球5个,每次摸出2个球.若摸出的红球个数为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题意可知SKIPIF1<0的可能取值为0,1,2,然后求出相应的概率,从而可求出SKIPIF1<0,再利用期望的性质可求得结果.【详解】SKIPIF1<0的可能取值为0,1,2,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故选:A.7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的均值(

)A.0.9 B.0.8C.1.2 D.1.1【答案】A【分析】按步骤写出分布列,再利用均值公式即可.【详解】依题意得,SKIPIF1<0的可能取值为0,1,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.可得X的分布列如表所示:SKIPIF1<0012SKIPIF1<00.30.50.2SKIPIF1<0.故选:A.二、多选题8.已知X的分布列为X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a则下列说法正确的有(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】由分布列的性质,可相应的概率和均值.【详解】由随机变量分布列的性质可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故A正确;SKIPIF1<0,故B正确;SKIPIF1<0,故C不正确;SKIPIF1<0,故D正确.故选:ABD9.随机变量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0

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