2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第9章9 . 3 向量基本定理及坐标表示

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

课程

理解平面向量基本定理及其意义.

标准

》基础认知-自主学习《

【概念认知】

1.平面向量基本定理

ei,e2是同一平面内两个丕共线的向量，a是这一平面内的任二

条件

向量

结论有且只有一对实数兀，入2,使a=Qei+皿

有关

若由，e2不共线,我们把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量

概念

的一组基底

2.正交分解

对于分解a=Xiei+X2e2，当ei,e2所在直线互相垂直时，这种分解也

称为向量a的正交分解.

【自我小测】

1.若®,ez}是平面a内的一组基底，则下列四组向量能作为平面a

的一组基底的是()

A.{ei-e2,62-ei}B.,2ei+ez,ei+/e2>

C.{202-3ei,6ei-4e2)D.{ei+e2，ei-e2}

选D.对于选项A,ei-e2=-©-ei),所以(ei-e2)II©-ei),故该组

向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e,+e2=2&+1e2],所

以(2ei+e2)II(e.+1e2],故该组向量不能作为该平面的基底；对于选

项C,2e2-3ei=-1(6ei-4e?),所以(2e2-3ei)II(6ei-4e2),故该组

向量不能作为该平面的基底；对于选项D,显然ei+e2与ei-e2不共

线，故该组向量能作为该平面的基底.

_____1?

2.已知平面内不共线的四点O,A,B,C；两足qOA+qOt,

则A6|:|Bt|=()

A.1:3B.3:1C.1:2D.2:1

选D.因为3=jOA+|Ot，所以;Ofe-jOA=|OC-|

06,即:=ISt,也就是◎=2Bt,所以Afe|:|Bt|=

2:1,

3.如图，在正方形ABCD中，设Afe=a,At)=b,Bt)=c,则以

a,b为基底时,At可表示为以a,c为基底时，At可

表示为.

以a,b为基底时，由平行四边形法则得At=a+b以a,c为基底

时，将Bt)平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法

则得At=2a+c.

答案：a+b2a+c

4.已知向量ei,e2不共线，实数x,y满足(3x-4y)ej+(2x-3y)e2=

6ei+3e2,贝[Jx-y=.

由平面向量基本定理，

13x-4y=6,fx=6,

得所以所以x-y=3.

[2x-3y=3,1y=3,

答案：3

5.在平行四边形ABCD中，演

⑴如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点，试用a,b分别表示的,

⑵如图2,如果。是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a,b

表示At).

(l)Bt7=Bt+C?=A£)+1Ct)

f1f1

=AD-2AB=-2a+b.

Dt=Dt+Cfc=ATfe-2At)=a-b.

(2)Bt)=At)-Afe=b-a,

因为。是BD的中点，G是DO的中点，

、3,3

所以Bt；=4Bt)=4(b-a),

一一一一313

所以At；=Afi+B(J=a+1(b-a)=a+1b.

份学情诊断.课时测评《

【基础全面练】

一、单选题

1.{ei,ez}为基底向量，已知向量期=ei-ke2,C&=2ei-e2,Ct)

=3e「3e2,若A,B,D三点共线，则k的值是()

A.2B.-3C.-2D.3

选A.根据题意得Afe=ei-ke2,Bt)=Ct)-=3ei-3e2-2ei+

e2=ei-2e2,因为A,B,D三点共线，

所以Aft=A,Bt)，即ei-ke2=X(ei-2ei),

[1二A,,

所以所以k=2.

[-k=-2X,

2.在^OAB中，P为线段AB上的一点,OP=xOA+yO6,且联

=2PX，则()

2112

A.x=^/y=3B.x=g,y=3

1331

C-x=4,y=4D.x=^,y

选A.因为B?=2PA，所以BO+0P=2P0+

一21

20A,即30=20A+3,所以g=wOA+wOBk,

21

即anx=g,y=3.

3.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，

DE交AF于点H,记晶，Bt分别为a,b,则Atl=()

选B.设Aft=XAf1,Dft=pDfi.

因为F为CD的中点，所以4=1(At+At)).

yyy

所以Afi=2(At+At))=2(期+2Bt)=]◎+

XBC.AH=AD+DH=AL)+|iDE=AL)+|i(AE-AD)

=(1-++；)=|iA^+(1-2)Bt.

根据平面向量基本定理有g=|i,X=1-.

,24

解得P=5，入二弓•

24

因此有Afi=5a+5b.

4.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点,

则◎=()

3113

A-醺+-B◎+-

44At)4-4At)

31

1期-

c-+D+-

2At)42At)

选D根据题意得：Af=1(At+At),

又At=Afe+At),At=；Afe,

所以Af=1(A6+At)+；同=|A6+；At).

5.如图，在等腰梯形ABCD中，DC=gAB,BC=CD=DA,DE±AC

于点E,则优=()

DC

'E

--------------

A.；Afe-；AtB.gAfe+；At

1f1f1f1f

C.2Afi-4AtD.2+[At

选A.因为CD=DA,DE±AC，所以E是AC的中点，所以优=|

DA+]Dt

=；（DC+CA）+；Dt=Dt-；At,

XS^DCIIAB,DC=|AB,,

1

所以优=1Afe2-

6.如图所示，平面内的两条直线OPi和0P2将平面分割成四个部分

I,□,HI,IV（不包括边界）,若6=aOP；+bOp-,且点P落在第

I部分，则实数a,b满足（）

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

选c.当点P落在第I部分时，OP按向量OP；与亚分解时，一个与

OP；反向，一个与网同向，故a<0,b>0.

二、填空题

7.如图所示，在6x4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,

B,C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则Ot=

设水平向右和竖直向上的单位向量为ei和e2,则|ei|=|e2|=1,ei-e2=

0,

由题图可知，Ot=3e)+2e2,=6ei-3e2,Ot•AHfe=(3ei+

2e2)-(6ei-3ei)=18ei2+3ei-e2-6ez2=12.

答案：12

4

8.已知A,B,D三点共线，且对任意一点C，有Ct)=gCA+XCfi,

贝U入二.

因为A,B,D三点共线，

所以存在实数t,使At)=tAS,

则Ct)-CA=t(Cfi-CA),

即Ct)=CA+t(CT&-CA)=(1-t)CA+,

「t-4

1-1-a,1

所以彳3即入

t=X,

答案：*

9.如图，已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点，EF

与AC交于点G，若®=a,At)=b，用a,b表示At)=

E?=.

1111

+蛇++b++b+13

=EGa2-4-Br)a2-4-

At)4a=4

3.

a+4b.

fi11

E?=EC+Cf=2b-2a-

答案：(a+(b|b-1a

10.已知向量ei,e?不共线，实数x,y满足(x-2)ei+(y-l)e2=5ei

+2e2,贝!Jx二,y=.

因为向量ei,e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x-2=5,

y-1=2,解得x=7,y=3.

答案：73

三、解答题

11.如图所示，在^ABC中，D,F分别是BC,AC的中点，=

2

gAt),Afe=a,At=b.

⑴用a,b表示At),A£,@；

⑵求证：B,E,F三点共线.

(1)如图所示,延长AD到点G，使AO=2At),

A

二C

、、、；/

\•zz

X

连接BG,CG，得至I」平行四边形ABGC加AG=a+b,At)=；&

=2(a+b)qAt)=2(a+b),Af=/At=/b=At

-Afe=T(a+b)-a=(b-2a),=At7-=Jb-a=J(b

•JD乙乙

-2a).

2

⑵由⑴知，此一麻，所以此，跳共线，又时,驻有公共

点B,所以B,E,F三点共线.

12.在^ABC中，At)=；0,过点D作DE〃BC,与边AC相

交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,如图所示.设期

a,At=b,试用基底｛a,b｝表示讯.

A

BMC

【思路导引】设加二入B的，硒=piA^I,

根据At)，m，■不共线，列方程组求X,|i.

因为M为BC的中点，所以可=|Bt=1(At-)=|(b-

a),A1C1==a+；(b-a)=；(a+b).因为DN〃BM,AN

与AM共线，

所以存在实数入，|i,使得面=＞邱1=1X(b-a).冰=1

14a+b)=2a+2、

11入、入

因为硒=At)=4a+1Mb-a)=丘-a+/b,

flj

4-2-2，

所以根据平面向量基本定理，得\

&_且

12一2，

所以入=|i=；，所以m=|(b-a)=-1a+|b.

【综合突破练】

一、选择题

1.若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，期=4ei,Bt=

6e?,则3e2-2ei=()

A.AOB.COC.BOD.DO

1111

-=--=-一

选C.3e2-2ei=222At)22Bt)一

BO.

2.如图，在平行四边形ABCD中，AE=；AB,CF=；CD,G为

EF的中点，则皿=()

DF

A.2IAffe-2IAft)B.2IAft)-2IAffe

C.At)D.At)-Afe

选A.在平行四边形ABCD中，

AE=|AB,CF=|CD,G为EF的中点，

21212

Dti=Dt7+Ft)=gDt+]庄=gATfe+2(FO+Dt)=q

A6+；(-|A^+A£-At)]

--At)J=；ATfe-；At).

--碎+-

一3AB+2

3.已知非零向量OA,3不共线，且2m=xOA+yO6，若以

=入期（九£R）,则x,y满足的关系式是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

选A.由PA=,

得OA-0^=-OA),

即OP=(1+X)OA-xofi.

又20^=xOA+y(Jfe,

fx=2+2X,

所以

[y=-2入，

消去入得x+y=2.

畿【加固训练】

设a,b为平面内所有向量的一组基底，已知向量期=a-kb,C6

=2a+b,Ct)=32-1)若人/62三点共线则实数卜的值等于()

A.2B.-2C.10D.-10

选A.At)=ATfe++Ct)=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-

(k+2)b.因为A,B,D三点共线，所以存在实数X使得AS=入At),

即a-kb二九[2a-(k+2)b]=2Xa-X(k+2)b.因为a,b为基底向量,

_E=l,1

所以V解得九=5,k=2.

[k(k+2)=k,'

4.(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量

组，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是()

A.At)与ASB.DA与

C.CA与DtD.OD与3

选AC.对于A,At)与电不共线；对于B,DA=-Bt,则DA与

Bt共线；对于C,CA与反不共线；对于D,Ot)=-OS，则3

与3共线.由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平

面的基底.

畿【加固训练】

若点D,E,F分另!]为^ABC的边BC,CA,AB的中点,且0=

a,Bt=b,则下列结论正确的是()

-1-11

A.DA=a-2bB.此=-/a+]b

C.Cf=-^a-bD.Dt7=；a+；b

选BC.因为点D为边BC的中点，

所以At)=A6+Bt)=A6+；=a+；b,

所以DA=-a-；b；因为点E为边CA的中点，所以3=1

（BA+Bt）=-/a+/b；

因为点F为边AB的中点,

1

所以B=C6+胧=-Bt2-

=-a-b；因为At=Afi+=a+b,

所以足=-1At=-1a-1b.

二、填空题

5.如图所示，已知点G是^ABC的重心，过点G作直线分别交AB,

AC两边于M,N两点,SATvl=xAfe,=yAt,贝U3x+y的

最小值为.

BC

因为G是^ABC的重心，

所以At；=|At+|Afe,

又=xAfe,=yAt,

所以AOA^l+微点,

因为M,G,N三点共线,

所以！+2=1，

fli}1x工4c/T

所以3x+y=(3x+y)氏+句=l+w+亍+3x>3+2、^=

4+2小

3•

当且仅苦4，

3+SJ3+1

即x=-，y=%—时，等号成立，故3x+y的最小值为

yJ

4+2小

4+2仍

里i=i奈­•---3--

6在平行四边形ABCD中E和F分别是边CD和BC的中点若At

=XAfc+iiAt7,其中九，p£R,则九+p=.

设碰=a,At)=b,则At=；a+b,A?=a+

1b.又因为At=a+b,

2?

所以At(Afi+At7),即九=|i=g.

,、4

所以入+|i=Q.

4

答案：Q

7.如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若6=2ei,

Oft=3e2,以ei,ez为基底，表示时与