新高考数学一轮复习讲义 第41讲 椭圆及其性质（含解析）

第41讲椭圆及其性质（精讲）题型目录一览①椭圆的定义及其应用②求椭圆的标准方程③椭圆的几何性质④椭圆的离心率一、知识点梳理一、知识点梳理一、椭圆的定义平面内与两个定点SKIPIF1<0的距离之和等于常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作SKIPIF1<0，定义用集合语言表示为：SKIPIF1<0注意：当SKIPIF1<0时，点的轨迹是线段；当SKIPIF1<0时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在SKIPIF1<0轴上焦点在SKIPIF1<0轴上图形标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0统一方程SKIPIF1<0参数方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0第一定义到两定点SKIPIF1<0的距离之和等于常数2SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）范围SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴长长轴长SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0长轴长SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0对称性关于SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴对称，关于原点中心对称焦点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0对于过椭圆上一点SKIPIF1<0的切线方程，只需将椭圆方程中SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0可得焦半径最大值SKIPIF1<0，最小值SKIPIF1<0【常用结论】1.过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为SKIPIF1<0．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为SKIPIF1<0，距离的最小值为SKIPIF1<0．2.椭圆的切线①椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0；②过椭圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0，所引两条切线的切点弦方程是SKIPIF1<0；③椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切的条件是SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一椭圆的定义及其应用策略方法椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．【典例1】（单选题）椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【分析】根据椭圆定义进行求解.【详解】由题意得SKIPIF1<0，由椭圆定义可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故选：D【题型训练】一、单选题1．方程SKIPIF1<0的化简结果是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.【详解】方程的几何意义为动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离和为10，并且SKIPIF1<0，所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为SKIPIF1<0的椭圆，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.故选：C.2．已知点P为椭圆SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该椭圆的两个焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．3【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P为椭圆SKIPIF1<0上的一点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【分析】根据椭圆定义进行求解.【详解】由题意得SKIPIF1<0，由椭圆定义可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故选：D4．已知椭圆SKIPIF1<0为两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0的周长为4，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据椭圆的方程可得SKIPIF1<0的关系，结合SKIPIF1<0的周长，列方程求解，即得答案.【详解】设椭圆SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D5．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点M在C上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】C【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解.【详解】由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，所以由基本不等式可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取得等号，故选:C.6．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，顶点SKIPIF1<0是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在SKIPIF1<0边上，则SKIPIF1<0的周长是（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．16 D．10【答案】C【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】设椭圆的另外一个焦点为SKIPIF1<0，如图，

则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，故选：C.7．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P是椭圆C上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据椭圆定义得SKIPIF1<0，再利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为点P是椭圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立.故选：A.8．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A是C上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0的最大值.【详解】

设椭圆的半焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中间时等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：A.9．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】求得圆心坐标和半径，利用椭圆得到定义转化为SKIPIF1<0，结合圆的性质，求得SKIPIF1<0，进而得到答案.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由椭圆SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0,如图所示，当点SKIPIF1<0四点共线时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.二、填空题10．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】SKIPIF1<0【分析】根据椭圆的第一定义，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而计算求解，可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其中SKIPIF1<0，故点P的轨迹方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<011．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A，B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得SKIPIF1<0，结合题意即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：10.12．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若椭圆上的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根据椭圆定义，得到SKIPIF1<0，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.13．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，|PF1|－|PF2|＝.【答案】SKIPIF1<0【分析】因为线段SKIPIF1<0的中点在y轴上得SKIPIF1<0的长，进而求得SKIPIF1<0.【详解】因为线段SKIPIF1<0的中点在y轴上，可得SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】11【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0;因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：11.

题型二求椭圆的标准方程策略方法待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤【典例1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(SKIPIF1<0，－2)和B(－2SKIPIF1<0，1)两点；（2）a＝4，c＝SKIPIF1<0；（3）过点P(－3，2)，且与椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程；（2）求得SKIPIF1<0，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；（3）首先求得SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0点坐标求得SKIPIF1<0，由此求得椭圆方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点在椭圆上可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故所求椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．（2）因为a＝4，SKIPIF1<0所以b2＝a2－c2＝1，SKIPIF1<0所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是SKIPIF1<0；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是SKIPIF1<0．（3）因为所求的椭圆与椭圆SKIPIF1<0的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5．设所求椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有SKIPIF1<0①又a2－b2＝c2＝5，②由①②解得a2＝15，b2＝10．故所求椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．【题型训练】一、单选题1．“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程SKIPIF1<0表示椭圆SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.2．设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，上顶点为B．若SKIPIF1<0，则该椭圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0的值，即可求解.【详解】由椭圆的几何性质，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0.故选：A.3．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，则C的方程可能为（）A．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1 B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1C．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1 D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1【答案】A【分析】由题SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得a的取值范围，选出椭圆的方程.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，平方可得SKIPIF1<0，由题SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.4．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，M为C上一点，若SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，则C的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0的周长可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得SKIPIF1<0关系式，解方程可得SKIPIF1<0的值，即可求得答案【详解】因为SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以M的坐标为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0，故选：A5．已知椭圆C的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0的直线与C交于A，B两点．若SKIPIF1<0的周长为12，则椭圆C的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据已知条件求得SKIPIF1<0，由此求得椭圆SKIPIF1<0的标准方程.【详解】依题意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴上，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B6．已知直线SKIPIF1<0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出直线SKIPIF1<0与两坐标轴的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据SKIPIF1<0，可设椭圆的方程为SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可.【详解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴上.设椭圆的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0.故选：C.7．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦点为SKIPIF1<0，其上下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该椭圆的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得SKIPIF1<0，即可得到答案.【详解】根据题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在椭圆中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.故选：D.8．若椭圆SKIPIF1<0的中心为坐标原点､焦点在SKIPIF1<0轴上；顺次连接SKIPIF1<0的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接SKIPIF1<0的四个顶点构成四边形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可知，SKIPIF1<0，解之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程；【详解】设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，由题可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．故选：A.9．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，则椭圆C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.【详解】可设椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：C二、填空题10．已知椭圆C：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1【分析】根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程.【详解】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝SKIPIF1<0·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝1.故答案为：SKIPIF1<011．若椭圆的两焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在椭圆上，且三角形SKIPIF1<0的面积的最大值为12，则此椭圆方程是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】根据三角形SKIPIF1<0的面积的最大值求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，从而求得椭圆方程.【详解】依题意SKIPIF1<0，椭圆焦点在SKIPIF1<0轴上，三角形SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．若一个椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦距2c成等差数列，则SKIPIF1<0＝.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差数列的性质和椭圆中SKIPIF1<0的关系列式，解关于a，c的方程得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即可得出答案．【详解】SKIPIF1<0长轴长2a，短轴长2b，焦距2c成等差数列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.【答案】SKIPIF1<0【分析】讨论焦点在SKIPIF1<0轴和在SKIPIF1<0轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出SKIPIF1<0，即可得到结果.【详解】当焦点在SKIPIF1<0轴上时，设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，故舍弃.当焦点在SKIPIF1<0轴上时，设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题14．根据下列条件求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且椭圆经过点SKIPIF1<0；(3)椭圆经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)离心率为SKIPIF1<0且过点SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）依题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，从而得解；（2）依题意可得SKIPIF1<0，根据椭圆的定义及两点的距离公式求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，从而得解；（3）设椭圆方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入点的坐标得到方程组，求出参数的值，即可得解；（4）分焦点在SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴两种情况讨论，分别计算可得.【详解】（1）依题意SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆方程是SKIPIF1<0.（2）依题意椭圆的焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0．又椭圆经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆方程是SKIPIF1<0.（3）设椭圆方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程是SKIPIF1<0.（4）若焦点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0，又离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0；若焦点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0，又离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0；综上可得，所求椭圆方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型三椭圆的几何性质策略方法利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，M为SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】由于SKIPIF1<0为定值，所以当点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最大时，SKIPIF1<0面积取得最大值，即当SKIPIF1<0与短轴的一个端点重合时，SKIPIF1<0面积的最大【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆的性质可知当SKIPIF1<0与短轴的一个端点重合时，SKIPIF1<0面积的最大，所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，故选：A【题型训练】一、单选题1．椭圆SKIPIF1<0的短半轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据椭圆方程确定短半轴长即可.【详解】由椭圆方程知：SKIPIF1<0，即短半轴长为SKIPIF1<0.故选：B2．椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由椭圆的标准方程求解即可.【详解】由于椭圆标准方程为：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以焦点在SKIPIF1<0轴上，故焦点坐标为：SKIPIF1<0.故选：C.3．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．5 D．9【答案】A【分析】根据焦点坐标得SKIPIF1<0，根焦点在SKIPIF1<0轴，可以判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可得.【详解】由题意得，SKIPIF1<0，因焦点在SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A4．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（

）cm

A．30 B．10 C．20 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，据此即可求解．【详解】在大椭圆中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴小椭圆的长轴长为20．故选：C5．已知椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点都在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于坐标原点对称，下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0为定值C．SKIPIF1<0的焦距是短轴长的2倍D．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】C【分析】由椭圆方程，结合椭圆的对称性、定义及余弦定理判断各项的正误即可.【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A正确，C错误；由椭圆的对称性知，SKIPIF1<0，所以B正确；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角，所以存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以D正确.

故选：C6．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆的左、右焦点，若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离.【详解】设椭圆的焦距为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为SKIPIF1<0．故选：B7．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的焦距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，得出SKIPIF1<0轴，进而得到SKIPIF1<0为等边三角形，求得SKIPIF1<0，即可求解.【详解】如图所示，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0.故选：A.

8．点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点的椭圆SKIPIF1<0上，若线段SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍【答案】D【分析】根据线段SKIPIF1<0的中点M在y轴上，推出SKIPIF1<0轴，由此可设SKIPIF1<0，代入椭圆方程求出SKIPIF1<0，再根据两点间的距离公式求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可得解.【详解】

由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵线段SKIPIF1<0的中点M在y轴上，且原点O为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0轴∴可设SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（

）

A．轨道Ⅱ的长轴长为SKIPIF1<0B．轨道Ⅱ的焦距为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D．若SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0越大，轨道Ⅱ的离心率越小【答案】AB【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为SKIPIF1<0，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.【详解】设椭圆长轴SKIPIF1<0，短轴SKIPIF1<0，焦距SKIPIF1<0，对于B，由椭圆的性质知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B正确；对于C，由上知SKIPIF1<0，若R不变，SKIPIF1<0越小，SKIPIF1<0越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故C错误；对于D，因为SKIPIF1<0，若r不变，R越大，则SKIPIF1<0越小，所以SKIPIF1<0越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故D错误.故选：AB10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（SKIPIF1<0）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，SKIPIF1<0，则（）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为SKIPIF1<0C．椭圆的标准方程可以是SKIPIF1<0D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程SKIPIF1<0，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为SKIPIF1<0，D正确．故选：BCD．三、填空题11．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据椭圆的标准方程以及其离心率的定义，可得答案.【详解】由椭圆SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的长轴长SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则SKIPIF1<0．【答案】4【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出长轴长和短轴长，再根据题意列方程可求得结果.【详解】将椭圆方程化为标准形式为SKIPIF1<0，所以长轴长为2，短轴长为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：413．设P是椭圆SKIPIF1<0上任意一点，F为C的右焦点，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆C的长轴长为．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得答案.【详解】SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，长轴长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．椭圆SKIPIF1<0的内接正方形的周长为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为SKIPIF1<0，代入椭圆方程即可求解SKIPIF1<0，进而可求周长.【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以周长为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0

15．椭圆SKIPIF1<0的四个顶点所围成的四边形的面积是.【答案】40【分析】利用椭圆方程可写出四个顶点的坐标，即可求出围成的四边形的面积.【详解】由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为SKIPIF1<0，故这四个顶点围成的四边形为菱形，所以面积SKIPIF1<0.故答案为：4016．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.【详解】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆SKIPIF1<0上，所以点(m,n)满足椭圆的范围SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.17．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为cm.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据两个椭圆的离心率相同列方程，化简求得正确答案.【详解】设小椭圆的长半轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以小椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型四椭圆的离心率策略方法求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的