新高考数学一轮复习讲义 第23讲 平面向量基本定理和坐标表示（原卷版）

第23讲平面向量基本定理和坐标表示（精讲）题型目录一览①平面向量基本定理的应用②平面向量的坐标运算③向量共线的坐标表示一、知识点梳理一、知识点梳理一、平面向量基本定理和性质（1）共线向量定理如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则一定存在唯一的实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内一点．若A、B、C三点共线SKIPIF1<0存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．（3）中线向量定理如图所示，在SKIPIF1<0中，若点D是边BC的中点，则中线向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，反之亦正确．DDACB二、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正半轴方向相同的两个单位向量SKIPIF1<0作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，我们把有序实数对SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的坐标，记作SKIPIF1<0．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0．（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数，则SKIPIF1<0，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．三、平面向量的直角坐标运算①已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，【常用结论】①减法公式：SKIPIF1<0，常用于向量式的化简．②SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，这是直线的向量式方程．③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一平面向量基本定理的应用策略方法平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．【典例1】在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0；(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为AD中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，点D、E分别AC、BC的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，F是DE的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在平行四边形SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<05．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中线SKIPIF1<0的中点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点M，交边SKIPIF1<0于点N，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．46．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若SKIPIF1<0＝a，SKIPIF1<0＝b，且SKIPIF1<0＝λa＋μb，则λ＋μ等于（）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．在SKIPIF1<0中，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．28．如图，在SKIPIF1<0中，若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一点SKIPIF1<0，则下列结论中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题9．在SKIPIF1<0中，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.10．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.若存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________（请用数字作答）.11．已知SKIPIF1<0，点D满足SKIPIF1<0，点E为线段CD上异于C，D的动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是_________.四、解答题12．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.(1)用SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0；(2)若点F在AC上，且SKIPIF1<0，求AF∶CF.题型二平面向量的坐标运算策略方法平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．【典例1】如图，平面上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的坐标分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)写出向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标；(2)如果四边形SKIPIF1<0是平行四边形，求SKIPIF1<0的坐标.【题型训练】一、单选题1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量SKIPIF1<0的坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)4．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．86．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0方向相反的单位向量是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如图，半径为1的扇形SKIPIF1<0的圆心角为SKIPIF1<0，点C在弧SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题9．若SKIPIF1<0，A点的坐标为SKIPIF1<0，则B点的坐标为__________.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点M的坐标为______.11．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.三、解答题12．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0及向量SKIPIF1<0的坐标.题型三向量共线的坐标表示策略方法平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，求SKIPIF1<0的值．【题型训练】一、单选题1．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．5 B．4 C．3 D．22．梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．14．在平面直角坐标系中，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，C三点共线，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件