新高考数学一轮复习讲义 第35讲 空间向量的运算及其坐标表示（含解析）

第35讲空间向量的运算及其坐标表示（精讲）题型目录一览①空间向量的线性运算②空间共线、共面向量定理的应用③空间向量的数量积运算一、知识点梳理一、知识点梳理一、空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量SKIPIF1<0的起点是SKIPIF1<0，终点是SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0也可以记作SKIPIF1<0，其模记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作SKIPIF1<0．当有向线段的起点SKIPIF1<0与终点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量SKIPIF1<0长度相等而方向相反的向量，称为SKIPIF1<0的相反向量，记为SKIPIF1<0．（4）空间向量的加法和减法运算①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二、空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数SKIPIF1<0与空间向量SKIPIF1<0的乘积SKIPIF1<0称为向量的数乘运算．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0方向相同；当SKIPIF1<0时，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0方向相反．SKIPIF1<0的长度是SKIPIF1<0的长度的SKIPIF1<0倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0．（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（5）直线的方向向量SKIPIF1<0为经过已知点SKIPIF1<0且平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直线．对空间任意一点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0①，其中向量SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0的方向向量，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，则式①可化为SKIPIF1<0②①和②都称为空间直线的向量表达式，当SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，此式叫做线段SKIPIF1<0的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，如果直线SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0或在平面SKIPIF1<0内，则说明向量SKIPIF1<0平行于平面SKIPIF1<0．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（7）共面向量定理如果两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，那么向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．推论：①空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；或对空间任意一点SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，该式称为空间平面SKIPIF1<0的向量表达式．②已知空间任意一点SKIPIF1<0和不共线的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足向量关系式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面；反之也成立．三、空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，通常规定SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0．（2）数量积定义已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，SKIPIF1<0．（3）空间向量的数量积满足的运算律：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（交换律）；SKIPIF1<0（分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；②已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一空间向量的线性运算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【典例1】在空间四边形ABCD中，G为SKIPIF1<0的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可；（2）根据空间向量的运算法则运算即可求解；【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有SKIPIF1<0根据空间向量的运算法则，可得SKIPIF1<0.

【题型训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜棱柱SKIPIF1<0中，AC与BD的交点为点M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0即可得．【详解】SKIPIF1<0-SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0用SKIPIF1<0为基底表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由图形可得SKIPIF1<0，根据比例关系可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据向量减法SKIPIF1<0，代入整理并代换为基底向量．【详解】SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故选：D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.

二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】由于SKIPIF1<0不共面，可以作为基底，将SKIPIF1<0表示出来即可.【详解】由图可知，SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D正确；故选：BD.三、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）在长方体SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若用向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据空间向量的加法法则求解即可【详解】由题意，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<07．（2023·高三课时练习）已知在四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据向量的运算法则即可求解.【详解】如图所示：可知：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型二空间共线、共面向量定理的应用策略方法证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【典例1】已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数k的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】根据已知条件结合向量共线定理求解即可【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以存在唯一实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C【典例2】SKIPIF1<0为空间任意一点，若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出SKIPIF1<0的值.【详解】空间向量共面的基本定理的推论：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为空间任意一点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0＝(2m＋1，3，m－1)，SKIPIF1<0＝(2，m，－m)，且SKIPIF1<0，则实数m的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．－2C．0 D．SKIPIF1<0或－2【答案】B【分析】利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.【详解】当m＝0时，SKIPIF1<0=(1，3，－1)，SKIPIF1<0＝(2，0，0)，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，∴m≠0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得m＝－2.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中：①若向量SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0所在的直线平行；②若向量SKIPIF1<0所在的直线为异面直线，则向量SKIPIF1<0一定不共面；③若三个非零向量SKIPIF1<0两两共面，则向量SKIPIF1<0共面；④已知空间的三个不共面向量SKIPIF1<0，则对于空间的任意一个向量SKIPIF1<0，总存在实数x，y，z使得SKIPIF1<0.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①②空间向量SKIPIF1<0共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；③利用四面体四条侧棱说明即可；④根据空间向量基本定理即可判断.【详解】①若向量SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0所在的直线平行或重合，错误；②若向量SKIPIF1<0所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故SKIPIF1<0共面，错误；③若三个向量SKIPIF1<0两两共面，如下图：显然SKIPIF1<0不共面，错误；④已知空间的三个不共面向量SKIPIF1<0，则对于空间的任意一个向量SKIPIF1<0，根据空间向量基本定理知：总存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，正确.所以正确的个数是1，故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）设向量SKIPIF1<0不共面，空间一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共面的一组数对SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0四点共面，则SKIPIF1<0选项A：SKIPIF1<0.判断错误；选项B：SKIPIF1<0.判断错误；选项C：SKIPIF1<0.判断正确；选项D：SKIPIF1<0.判断错误.故选：C4．（2022·全国·高三专题练习已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三向量共面，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，设SKIPIF1<0，列方程组即可求出λ的值．【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，∴设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为实数），即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用空间向量的共面定理得到SKIPIF1<0，再利用空间向量相等的性质及坐标运算即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，所以存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据向量共面的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】选项A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面；选项B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面；选项C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0构成的平面内，SKIPIF1<0不在这个平面内，不符合.选项D，因为SKIPIF1<0共线，所以SKIPIF1<0共面.故选：ABD三、填空题7．（2023·高三课时练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则x＋y的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入坐标,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<08．（2023·高三课时练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，利用空间向量的数量关系求SKIPIF1<0坐标，进而求SKIPIF1<0的坐标，利用空间向量模的坐标表示求SKIPIF1<0.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．（2023·高三课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三向量共面，则实数SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可得，存在实数x，y，使SKIPIF1<0，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为SKIPIF1<0不平行，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三向量共面，所以存在实数x，y，使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<010．（2022·全国·高三专题练习）设点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0确定的平面上，则实数SKIPIF1<0．【答案】16【分析】利用空间向量共面定理，写出向量坐标，列出方程组，求解方程组可得答案.【详解】由已知得：SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0四点在同一平面上，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023·全国·高三专题练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且SKIPIF1<0，若P，A，B，C四点共面，则实数SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据给定条件，利用向量共面充要条件推理计算作答.【详解】因A，B，C三点不共线，P，A，B，C四点共面，则对空间中任意一点O，有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G在线段MN上，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】以SKIPIF1<0作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得SKIPIF1<0的表示，从而可得SKIPIF1<0的值，最后可得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不共面，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<013．（2023·上海·高三专题练习）在正方体SKIPIF1<0中，点M和N分别是矩形ABCD和SKIPIF1<0的中心，若点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点P可以是正方体表面上的点.【答案】SKIPIF1<0（或C或SKIPIF1<0边上的任意一点）【分析】因为点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0三点共面，只需要找到平面SKIPIF1<0与正方体表面的交线即可.【详解】解：因为点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0三点共面，因为点M和N分别是矩形ABCD和SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即为经过SKIPIF1<0三点的平面与正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点SKIPIF1<0（或C或SKIPIF1<0边上的任意一点）故答案为：SKIPIF1<0（或C或SKIPIF1<0边上的任意一点）【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.题型三空间向量的数量积运算策略方法空间向量数量积的应用【典例1】已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为1，如图所示，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(3)SKIPIF1<0【分析】根据向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐问运算，即可求解.【详解】（1）解：在正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（2）解：由向量的运算法则，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）解：由SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为1，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.根据向量的减法法则，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四边形SKIPIF1<0的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据向量的线性运算运算律可得SKIPIF1<0，在根据数量积的定义求其值.【详解】由题意，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间夹角均为SKIPIF1<0，结合平面向量线性运算有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】如图建系，求得各点坐标，可得SKIPIF1<0，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.【详解】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0，分别以SKIPIF1<0为x，y，z轴正方向建系，如图所示，设正三棱柱SKIPIF1<0的棱长为2，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0.故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积的运算法则，求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A.5．（2023秋·北京·高三北理工附中校考阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题意可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求解即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为标准正交基底，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为（

）A．1 B．－1C．SKIPIF1<0 D．－SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用投影向量的定义求解即可【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为标准正交基底，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影数量为SKIPIF1<0，故选：A7．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面边长和侧棱长均相等，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值即可.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，棱长均为SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：A.8．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】B【分析】根据空间数量积的运算律计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故选：B9．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，平行六面体SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意，由SKIPIF1<0，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为底面为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体SKIPIF1<0的表面上运动，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在正方体表面上运动时，运动到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值为8.故选：C二、多选题11．（2023秋·福建莆田·高三莆田八中校考阶段练习）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错；对于B选项，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，SKIPIF1<0，C错；对于D选项，SKIPIF1<0，D对.故选：BD.12．（2023·全国·高三专题练习）下面四个结论正确的是（

）A．空间向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若空间四个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线C．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角D．任意向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0【答案】AB【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解】对于A：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点，所以SKIPIF1<0三点共线，故B正确；对于C：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为钝角：则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线得SKIPIF1<0，于是得当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为钝角，故C错误；对于D：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共线向量，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共线向量，故D错误，故选：AB13．（2023·全国·高三专题练习）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为SKIPIF1<0【答案】AB【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：

由向量的加法得到：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以A正确；∵SKIPIF1<0，AB1⊥A1C，∴SKIPIF1<0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BSKIPIF1<0D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<00，故D错误．故选：AB．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0