2024绵阳中考数学试题及解析

2024年四川省绵阳市中考数学试卷

一'选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求

1.-4的肯定值是（）

A.4B.-4C.—D.--

44

2.下列计算正确的是（）

A.x2+x5=x7B.x5-X2：Z3XC.X2«X5：ZX10D.x5-rx2=x3

3.下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（）

士士

D.

aa

4.如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体,它的主视图为（）

)

A.-1B.-3C.1D.3

6.如图，沿AC方向开山修建一条马路，为了加快施工进度，要在小山的另一边找寻点E同时施工,

从AC上的一点B取NABD=150°,沿BD的方向前进，取NBDE=60°,测得BD=520m,BC=80m,并且

AC,BD和DE在同一平面内，那么马路CE段的长度为（)

A.180mB.260后C.(260T-80)mD.(2600-80)m

7.如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点0,AC_LAB,E是BC中点，Z\A0D

的周长比AAOB的周长多3cm,则AE的长度为（）

8.在关于X、y的方程组X+2出-二,未知数满意心。，y>3那么m的取值范围在数轴上应

表示为()

A，012T3-10C.01D.T?-101

9.如图，AABC中AB=AC=4,NC=72°,D是AB中点，点E在AC上，DE±AB,贝I]cosA的值为()

A,返匚B.在二c.&D.西出

2442

10.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,随机抽取3张，用抽到的三个数

字作为边长，恰能构成三角形的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

10202010

11.如图，点E,点F分别在菱形ABCD的边AB,AD±,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b<2a；②a+2c-b>0；③b>a>c；④b?+2ac

<3ab.其中正确结论的个数是（）

二'填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.

13.因式分解：2mx2-4mxy+2myJ.

14.如图，AC〃BD,AB与CD相交于点0,若A0=AC,NA=48°,ND=.

15.依据绵阳市统计年鉴，2024年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万人用科学记数法

表示为—人.

16.AOAB三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(4,6),B(3,0),以0为位似中心，将aOAB

缩小为原来的*,得到AOA'B，,则点A的对应点A，的坐标为—.

17.如图，点。是边长为4T的等边4ABC的内心，将AOBC绕点0逆时针旋转30°得到△0BG,

BG交BC于点D,B6交AC于点E,则DE=.

18.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发觉的，称为杨辉三角形.现用A,表示第三行起

先,从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A^l,A2=2,A3=1,A4=1,A5=3,A6=3,A7=1,

=

贝UA2Q24・

1

11

121

1331

14641

三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

19.计算：(n-3.14)0-|—12sin60°-4|+(-^-)1.

a+1a-1a—1

20.先化简，再求值：(二一-----)4-5—L,其中a=JE+l.

a~aa'-2a+la

21.绵阳七一中学开通了空中教化互联网在线学习平台，为了解学生运用状况，该校学生会把该平

台运用状况分为A(常常运用)、B(间或运用)、C(不运用)三种类型，并设计了调查问卷、先

后对该校初一(1)班和初一(2)班全体同学进行了问卷调查，并依据调查结果绘制成如下两幅不

完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：

(1)求此次被调查的学生总人数；

(2)求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；

(3)若该校初一年级学生共有1000人，试依据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有

多少人.

互联网平台使用情况折浅图

互联网平台使用情况扇形图

22.如图，直线y=kj+7(k,<0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数丫=丝(k2>0)

x

的图象在第一象限交于C、D两点，点0为坐标原点，^AOB的面积为当•，点C横坐标为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)假如一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，恳求出图中阴影部分(不

含边界)所包含的全部整点的坐标.

23.如图，AB为。0直径，C为。0上一点，点D是BC的中点，DELAC于E,DF_LAB于F.

(1)推断DE与。0的位置关系，并证明你的结论；

(2)若0F=4,求AC的长度.

24.绵阳人民商场打算购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少

5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.

(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商

场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部

售出后，可使销售的总利润(利润=售价-进价)超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两

种牛奶有哪几种方案？

25.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a=#0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3),且此抛物

线的顶点坐标为M(-1,4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点D为已知抛物线对称轴上的随意一点，当4ACD与4ACB面积相等时，求点D的坐标；

(3)点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E,将4PCE沿直线CE

翻折，使点P的对应点P'VP、E、C处在同一平面内，恳求出点P'坐标，并推断点P'是否在该

抛物线上.

26.如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为(-

2泥，0)、(0,-&),直线DE_LDC交AC于E,动点P从点A动身，以每秒2个单位的速度沿

着ATDTC的路途向终点C匀速运动，设4PDE的面积为S(S/0),点P的运动时间为t秒.

(1)求直线DE的解析式;

(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围;

?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.

2024年四川省绵阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一'选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求

1.-4的肯定值是（）

A.4B.-4C.—D.--

44

【考点】肯定值.

【分析】计算肯定值要依据肯定值的定义求解，第一步列出肯定值的表达式，其次步依据肯定值定

义去掉这个肯定值的符号.

【解答】解：-4|=4,

二-4的肯定值是4.

故选：A.

【点评】本题主要考查了肯定值的定义，肯定值规律总结：一个正数的肯定值是它本身；一个负数

的肯定值是它的相反数；。的肯定值是0,比较简洁.

2.下列计算正确的是（）

A.x2+x5=x7B.x5-X2=3XC.X2»X5=X10D.X5-?X2=X3

【考点】同底数幕的除法；合并同类项；同底数累的乘法.

【分析】依据合并同类项法则、同底数幕的乘法法则和除法法则进行推断.

【解答】解：x?与《不是同类项，不能合并，A错误；

/与Y不是同类项，不能合并，B错误；

x2»x5=x7,C错误；

X54-X2=X3,D正确，

故选：D.

【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幕的乘除法，驾驭合并同类项法则、同底数幕的乘法法

则和除法法则是解题的关键.

3.下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形.

故选C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的学问.轴对称图形的关键是找寻对称轴，图形两

部分折叠后可重合；中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180度后两部分重合.

4.如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（）

【考点】简洁组合体的三视图.

【分析】依据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可.

【解答】解：依据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，

故选：A.

【点评】本题考查的是简洁几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、

侧面和上面看所得到的图形.

5.若关于x的方程x2-2x+c=0有一根为-1,则方程的另一根为（)

A.-1B.-3C.1D.3

【考点】根与系数的关系.

【分析】设方程的另一根为m,由一个根为-1,利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的

方程，求出方程的解即可得到m的值.

【解答】解：关于x的方程x?-2x+c=0有一根为-1,设另一根为m,

可得-1+m=2,

解得：m=3,

则方程的另一根为3.

故选D.

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax，bx+c=O(a于0),当b?-4ac

时，方程有解,设为x”x2,则有X]+X2=-k,x1x2=—.

aa

6.如图，沿AC方向开山修建一条马路，为了加快施工进度，要在小山的另一边找寻点E同时施工,

从AC上的一点B取NABD=150°,沿BD的方向前进，取NBDE=60°,测得BD=520m,BC=80m,并且

AC,BD和DE在同一平面内，那么马路CE段的长度为()

A.180mB.260后C.(260«-80)mD.(260«-80)m

【考点】勾股定理的应用.

【分析】先依据三角形外角的性质求出NE的度数，再依据锐角三角函数的定义可求BE,再依据线

段的和差故选即可得出结论.

【解答】解：在4BDE中，

；NABD是4BDE的外角，ZABD=150°,ND=60°,

ZE=150°-60°=90°,

,.,BD=520m,

.,.DE=520»sin60o=260次(m),

马路CE段的长度为260y-80(m).

答：马路CE段的长度为(26073-80)m.

故选：C.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的定义是解答

此题的关键.

7.如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点0,AC±AB,E是BC中点，AAOD

的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为()

【考点】平行四边形的性质.

【分析】由rABCD的周长为26cm,对角线AC、BD相交于点0,若aAOD的周长比AAOB的周长多3cm,

可得AB+AD=13cm,AD-AB=3cm,求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线

性质即可求得答案.

【解答】解：丫口ABCD的周长为26cm,

.■.AB+AD=13cm,OB=OD,

AAOD的周长比△AOB的周长多3cm,

/.(OA+OB+AD)-(OA+OD+AB)=AD-AB=3cm,

；.AB=5cm,AD=8cm.

BC—AD—8CITI.

■••AC±AB,E是BC中点，

.,.AE=—BC=4cm：

2

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.娴熟驾驭平行四边形的性

质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.

2x+y=nrl-7

8.在关于x、y的方程组Jx+2二->,未知数满意心。，y>。，那么m的取值范围在数轴上应

表示为（）

11L；，，

A-0■-1-2-364->BD--q-12---1---0-----1-->C-?]-1।0।112^D^A7-11011121b"

【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用.

【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，依据x》0,y>0求出m的范围，表示在数轴上即可.

'2x+y=nrF7①

【解答】解:

x+2y=8-in©'

①X2-②得：3x=3m+6,即x=m+2,

把x=m+2代入②得：y=3-m,

由心。，y>。，叫3y>0,

解得：-2WmV3,

表示在数轴上，如图所示：

-2-101

故选C

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集,

娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

9.如图，AABC中AB=AC=4,NC=72°,D是AB中点，点E在AC上，DE±AB,贝I]cosA的值为()

A.与1B.与1C.等

【考点】解直角三角形.

【分析】先依据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出NEBC=36°,NBEC=72°,

AE=BE=BC.再证明△BCEs^ABC,依据相像三角形的性质列出比例式暮整，求出AE,然后在△

ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值.

【解答】解：•「△ABC中,AB=AC=4,NC=72°,

/.ZABC=ZC=72°,ZA=36°,

；D是AB中点，DE±AB,

，AE=BE,

J.NABE=NA=36°,

ZEBC=ZABC-ZABE=36",

ZBEC=1800-NEBC-NC=72°,

AZBEC=ZC=72",

.,.BE=BC,

.,.AE=BE=BC.

设AE=x,则BE=BC=x,EC=4-x.

在4BCE与4ABC中，

[NCBE=NBAC=36°

IZC=ZABC=720'

.".△BCE^>AABC,

.CEBE即4_x_x

"BCAC'F_4'

解得x=-2±2掂（负值舍去），

AE=-2+275-

在4ADE中，ZADE=90°,

.,.cosA=-^=2=、而+1

AE-2+275-~4-

故选C.

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分

线的性质，相像三角形的判定与性质，难度适中.证明△BCEs/\ABC是解题的关键.

10.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,随机抽取3张，用抽到的三个数

字作为边长，恰能构成三角形的概率是（）

【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系.

【分析】确定剩下的三边长包含的基本领件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基

本领件，即可求出能构成三角形的概率.

【解答】解：剩下的三边长包含的基本领件为：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,

4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10

个；

设事务B="剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“

则事务B包含的基本领件有：(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个，

故P(A)得

故选A.

【点评】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大.

11.如图，点E,点F分别在菱形ABCD的边AB,AD±,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD

的延长线于H,若则黑的值为(

)

312212

【考点】相像三角形的判定与性质；菱形的性质.

【分析】设DF=a,则DF=AE=a,AF=EB=2a,由△HFDs^BFA,得黑摩萼求出FH,再由HD

ABAFFB2

//EB,得△DGHsaEGB,得5am求出BG即可解决问题.

GBEB2a4

【解答】解：..・四边形ABCD是菱形，

.,.AB=BC=CD=AD,

•；AF=2DF,设DF=a,则DF=AE=a,AF=EB=2a,

；HD〃AB,

.,.△HFD^ABFA,

.HD_DF_HF_1

"ABAFFBT

FH1

.-.HD=1.5a,—,

BH3

.,.FH=—BH,

3

•/HD//EB,

.-.△DGH^AEGB,

.HG_HD_1.5a_3

"GB'EB~~2a~~i

.BG_4_

,.面7，

4

.,.BG=—HB,

7

【点评】本题考查相像三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等学问，解题的关键是利用

相像三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型.

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b〈2a；②a+2c-b>0；③b>a>c；④b?+2ac

<3ab.其中正确结论的个数是（）

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】计算题；二次函数图象及其性质.

【分析】依据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一推断即可.

【解答】解：由图象可知，a>0,b>0,c>0,

-->-1,

2a

.,.b<2a,故①正确,

,:|a-b+c|Vc,且a-b+cVO,

-a+b-cVc,

.'.a-b+2c>0,故②正确，

..b/1

.-—4--,

2a2

.'.b>a,

,V-1,x?>

.'.x1>x2<1,

A—<1,

a

/.b>a>c,故③正确，

'.'b2-4ac>0,

12

「・2acV—b,

2

Vb<2a,

•,■■|b2<3ab,

.'.-|b2=b2+^b2>b2+2ac,

b2+2ac<—b2<3ab,

.,.b2+2ac<3ab.故④正确.

故选D.

【点评】本题考查二次函数的性质、解题的关键是敏捷运用所学学问解决问题，学会利用图象信息

解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题.

二'填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.

13.因式分角星：2mx2-4mxy+2my?=2m(x-y)?.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式2m,再对余下的多项式利用完全平方公式接着分解.

【解答】解：2mx2-4mxy+2my1

=2m(x2-2xy+y2),

-2m(x-y)2.

故答案为：2m(x-y)z.

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式,

然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

14.如图，AC〃BD,AB与CD相交于点0,若A0=AC,NA=48°,ND=66°

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

【分析】先依据等腰三角形的性质得到NAC0=NA0C,然后依据三角形的内角和定理可求得NC的度

数，然后依据平行线的性质可求得ND的度数.

【解答】解：•.•0A=AC,

ZAC0=ZA0C=—X(180°-NA)=—X(180°-48°)=66°.

22

；AC〃BD,

ND=NC=66°.

故答案为：66°.

【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得NC的度数是解题的关

键.

15.依据绵阳市统计年鉴，2024年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万人用科学记数法

表示为5.48X10，人.

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W|a|V10,n为整数.确定n的值时，要

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同.当原数肯定值＞1

时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数.

【解答】解：将548万用科学记数法表示为：5.48X106.

故答案为5.48X106.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10。的形式，其中1W|a|＜

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

16.aOAB三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(4,6),B(3,0),以0为位似中心，将aOAB

缩小为原来的得到aOA'B，,则点A的对应点A，的坐标为(-2,-3)或(2,3).

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】依据假如位似变换是以原点为位似中心，相像比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等

于k或-k进行解答.

【解答】解：.•・以原点0为位似中心，将aOAB缩小为原来的A(4,6),

则点A的对应点A，的坐标为(-2,-3)或(2,3),

故答案为：(-2,-3)或(2,3).

【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为

位似中心，相像比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

17.如图，点。是边长为4T的等边aABC的内心，将AOBC绕点。逆时针旋转30°得到△0B£,

BG交BC于点D,B6交AC于点E,则DE=6-.

昆

【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；旋转的性质.

【分析】令OB】与BC的交点为F,BG与AC的交点为M,过点F作FNJLOB于点N,依据等边三角形

的性质以及内心的性质找出AFOB为等腰三角形，并且△BFOS/^BFD,依据相像三角形的性质找出

BQ的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出&E的长度，由此即可得出DE的长度.

【解答】解：令OB】与BC的交点为F,BG与AC的交点为M,过点F作FNLOB于点N,如图所示.

将aOBC绕点0逆时针旋转30°得到△OBG,

ZB0F=30",

••,点0是边长为4y的等边4ABC的内心,

Z0BF=30°,0B=Y1AB=4,

3

r.△FOB为等腰三角形，BN=[0B=2,

BN_W3,AF.

COSNOBF3"

ZOBF=ZOB,D,NBF0=NBFD,

.,.△BFO^AB.FD,

.B]DB[F

----------二-------->

OBBF_

,.16^=06,-0F=4--i^J,

B〔D二4、/"^-4.

'NOBF=NOCM

在△BFO和△CMO中，有JoB=OC,

ZBOF=COM

」.△BFO丝△CMO(ASA),

.,.OM=BF=^Z1,C,M=4-

33

在△&ME中，ZC,ME=ZM0C+ZMC0=60°,ZC,=30°,

•••“EM=90°,

.,.C|E=CM・sinNC|ME=(4--^^)X^S=2«-2.

32

-

-B,D-C1E=4^/3(4^/^-4)-(2，/^-2)二6一2“应

故答案为：6-2

A

【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相像三角形的判定及性质、全等三角

形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是求出线段BQ、&E的长度.本题属于中档题，难

度不小，解决该题型题目时，用到了相像三角形和全等三角形的判定及性质，因此找出相等的边角

关系是关键.

18.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发觉的，称为杨辉三角形.现用A,表示第三行起

先,从左往右，从上往下,依次出现的第i个数，例如:A,=1,A2=2,A3=1,A4=1,A5=3,A6=3,A7=1,

则A,0”=1953.

1

11

121

1331

14641

【考点】规律型：数字的改变类.

【专题】规律型.

【分析】依据杨辉三角中的已知数据，可以发觉其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，

由题意可以推断A”?"在哪一行第几个数，从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，第n行有n个数，

故除去前两行的总的个数为：呷1)-3,

当n=63时，须:1，-3=2024,

,.,2024<2024,

••・Aw,是第64行第三个数，

故答案为：1953.

【点评】此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发觉其中的规律，计算出所求问题的

答案.

三'解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

19.计算：(n-3.14)°-|乃受sin60。-4|+(y)

【考点】实数的运算；零指数累；负整数指数幕；特别角的三角函数值.

【分析】本题涉及零指数幕、二次根式化简、肯定值、特别角的三角函数值四个考点.针对每个考

点分别进行计算，然后依据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解：：(n-3.14)°-|V12sin60o-4|+(1)

二172正义号-4|+2

=1-|-1|+2

=2.

【点评】本题考查实数的综合运算实力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是

熟记特别角的三角函数值，娴熟驾驭零指数鬲、二次根式化简、肯定值等考点的运算.

a+1a-1-1-

20.先化简，再求值：(力—-----)+工a―，其中a=M+l.

a-aa-2a+la

【考点】分式的化简求值.

【分析】先算括号里面的，再算除法，最终把a的值代入进行计算即可.

-LIa-1A

【解答】解：原式二[,A]—

2

a(a-1)(a-1)1

_「a+1_1a

a(a-1)a-1a-1

_1.a

a(&-1)1

]

当a^1时，原式产’

【点评】本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特别求值题并非是一味的化简，代入，求值.很

多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想

对于解题技巧的丰富与提高有肯定帮助.

21.绵阳七一中学开通了空中教化互联网在线学习平台，为了解学生运用状况，该校学生会把该平

台运用状况分为A（常常运用）、B（间或运用）、C（不运用）三种类型，并设计了调查问卷、先

后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并依据调查结果绘制成如下两幅不

完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：

（1）求此次被调查的学生总人数；

（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；

（3）若该校初一年级学生共有1000人，试依据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有

多少人.

【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图.

【分析】（1）先由折线统计图得到间或运用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生

所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；

（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分

比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；

（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可

得到c程度的总人数的估计值.

【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%,从折线图知B类型总人数=26+32=58

人，

所以此次被调查的学生总人数=58+58%=100人;

(2)由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32・100=32%,

所以C类比例=1-58%-32%=10%,

所以类型C的扇形的圆心角=360°X10%=36°,

C类人数=10%X100-2=8人，折线图如下:

(3)依据此次可得C的比例为10%,估计该校初一年级中C类型学生约1000X10%=100人.

【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示肯定的数量，依据数量的多少描出各点,

然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减改变.折线图不但可以

表示出数量的多少，而且能够清晰地表示出数量的增减改变状况.也考查了扇形统计图和用样本估

计总体.

k

22.如图，直线y=kx+7(k,<0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y=_Z(k2>0)

X

的图象在第一象限交于c、D两点，点0为坐标原点，aAOB的面积为萼，点C横坐标为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)假如一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，恳求出图中阴影部分(不

含边界)所包含的全部整点的坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）分别令x=0、y=0,求得对应y和x的值，从而的得到点A、B的坐标，然后依据三角

形的面积公式可求得k,的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标，由点C的坐标可求得反比例

函数的解析式；

（2）由函数的对称性可求得D（6,1）,从而可求得x的值范围，然后求得当x=2、3、4、5时,

一次函数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标.

7

【解答】解：（D•••当x=0时，y=7,当y=0时，x=-「，

K1

7

.­.A（--j—,0）、B（0、7）.

K1

•••S"OB=』OA|・|OB|=］义（-J"）X7=萼,解得k产-1.

，直线的解析式为y=-x+7.

•••当x=1时，y=-1+7=6,

.,.C（1,6）.

,

..k2=1X6=6.

•••反比例函数的解析式为y=p

（2）..・点C与点D关于y=x对称，

.,.D（6,1）.

当x=2时，反比例函数图象上的点为（2,3）,直线上的点为（2,5）,此时可得整点为（2,4）；

当x=3时，反比例函数图象上的点为（3,2）,直线上的点为（3,4）,此时可得整点为（3,3）；

当x=4时，反比例函数图象上的点为（4,.|）,直线上的点为（4,3）,此时可得整点为（4,2）；

当x=5时，反比例函数图象上的点为（5,-I）.直线上的点为（5,2）,此时，不存在整点.

5

综上所述，符合条件的整点有（2,4）、（3,3）、（4,2）.

【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得冗的值是解

题的关键.

23.如图，AB为。0直径，C为。0上一点，点D是衣的中点，DELAC于E,DFLAB于F.

（1）推断DE与。。的位置关系，并证明你的结论；

（2）若0F=4,求AC的长度.

【考点】直线与圆的位置关系；三角形中位线定理；垂径定理；切线的判定.

【分析】(1)先连接OD、AD,依据点D是前的中点，得出NDAO=NDAC,进而依据内错角相等，判

定OD〃AE,最终依据DELOD,得出DE与。0相切；

(2)先连接BC交0D于H,延长DF交。0于G,依据垂径定理推导可得0H=0F=4,再依据AB是直径,

推出0H是4ABC的中位线，进而得到AC的长是0H长的2倍.

【解答】解：(1)DE与。0相切.

证明:连接OD、AD,

•••点D是前的中点，

•■•BD=CD>

ZDAO=ZDAC,

---OA=OD,

ZDAO=ZODA,

NDAC=NODA,

.,.0D/7AE,

•.•DE±AC,

.-.DE±OD,

.•.DE与。。相切.

(2)连接BC交OD于H,延长DF交。。于G,

由垂径定理可得：OH±BC,BQ

-'-DG=BC>

；.DG=BC,

弦心距0H=0F=4,

,.,AB是直径，

.,.BC±AC,

.'.OH#AC,

.,.OH是AABC的中位线,

.,.AC=20H=8.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线.本题也可以

依据aODF与aABC相像，求得AC的长.

24.绵阳人民商场打算购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少

5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.

（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商

场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部

售出后，可使销售的总利润（利润=售价-进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两

种牛奶有哪几种方案？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用.

【分析】（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x-5）元，由题意列出关

于x的方程，求出x的值即可；

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y-5）件，依据题意列出关于y的不等式组，求出

y的整数解即可得出结论.

【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x-5）元，

由题意得，一笑,解得x=50.

x-5x

经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义.

(2)设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶(3y-5)件,

3y-5+yC95

由题意得1/、/、/、、，解得23VyW25.

(49-45)(3y-5)+(55-50)y〉37：

；y为整数，

，y=24或25,

二共有两种方案：

方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；

方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件.

【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

25.(12分)如图，抛物线y=ax?+bx+c(a*0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3),

且此抛物线的顶点坐标为M(-1,4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点D为已知抛物线对称轴上的随意一点，当4ACD与4ACB面积相等时，求点D的坐标；

(3)点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E,将4PCE沿直线CE

翻折，使点P的对应点P'与P、E、C处在同一平面内，恳求出点P'坐标，并推断点P'是否在该

抛物线上.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式;

(2)设点D坐标为(-1,yD),依据三角形的面积公式以及4ACD与4ACB面积相等，即可得出关

于y0含肯定值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；

(3)作点P关于直线CE的对称点X,过点P'作PHl_y轴于H,设P'E交y轴于点N.依据对称

的性质即可得出aEONgACP'N,从而得出CN=NE,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM

的解析式，进而得出点P的坐标，在RtZ\P'NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相像三角形的

性质以及线段间的关系即可找出点P'的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即

可得出结论.

【解答】解：(1);抛物线丫=2*2+6*+(:经过点C(0,3),顶点为M(-1,4),

c=3/__1

-■^-=-1,解得：,b=-2.

Za

a-b+c=41c=3

，所求抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.

(2)依照题意画出图形，如图1所示.

令y=-x?-2x+3=0,解得：x=-3或x=1,

故A(-3,0),B(1,0),

,,.0A=0C,AA0C为等腰直角三角形.

设AC交对称轴x=-1于F(-1,yF),

由点A(-3,0)、C(0,3)可知直线AC的解析式为y=x+3,

."=-1+3=2,艮[JF(-1,2).

设点D坐标为(-1,yD),

贝US&0c=2DF・AO=*X|yD-2|X3.

"=

又‘；SZiABc=^AB・0C=4x[1-(-3)]X3=6,SAADCSAABC,

|yD-2|X3.=6,解得：yD=-2或丫户6.

..•点D的坐标为(-1,-2)或(1,6).

(3)如图2,点P'为点P关于直线CE的对称点，过点P'作PH_Ly轴于H,设P'E交y轴于点N.

'/CNP，=ZENO

在△EON和acp’N中，，/CP'N=NE0N=90°,

P，C=PC=OE

.,.△EON^ACP/N(AAS).

设NC=m,则NE=m,

VA(-3,0)xM(-1,4)可知直线AM的解析式为y=2x+6,

.•.当y=3时，x=--|,即点P(--1,3).

.・pC二PC二三，P，N二3-m,

由勾股定理，得：C1）2+（3-m）2=m2

在RtZkP'NC中,

解得：

O

FP，苫CN・P，H=—PzN・PZC,

2

9

.'.P,H=—.

10

由"HP'8博'N可得：/送

.•,CH=ff；2.=—,

CN5

69

55

■.P,的坐标为（县，2）

105

将点P'（名，3）代入抛物线解析式,

105

得：y=

101005

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质以及

相像三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于y。含肯

定值符号的一元一次方程；（3）求出点P'坐标.本题属于中档题，难度不小，（3）中求出点P'

的坐标是本题的难点，运用垂直平分线的性质找点的坐标亦可.

26.如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（-

2泥，0）、（0,-泥），直线DE_LDC交AC于E,动点P从点A动身，以每秒2