2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习1.4数学归纳法基础过关练

*1.4数学归纳法

基础过关练

题组一利用数学归纳法证明等式

1.(2022湖南湘潭一中月考)已知n为正偶数，用数学归纳法证明

心

11111—

++

------由•+9时，若已假设n=k(k22)为偶数时命题为真,

234n-1n

则还需要用归纳假设再证()

A.n=k+1时等式成立

B.n=k+2时等式成立

C.n=2k+2时等式成立

D.n=2(k+2)时等式成立

2.(2021安徽合肥肥东二中月考)用数学归纳法证明等式

l+2+3+-+(2n+l)=(n+l)(2n+l)(n£N+)时，从n=k到n=k+l,等式左边需增添的项是

()

A.2k+2

B.2(k+1)+1

C.(2k+2)+(2k+3)

D.[(k+l)+l][2(k+l)+l]

3用数学归纳法证明(1一{)(1一-a)*…x(l-3)=噗(n12,n£N+).

题组二利用数学归纳法证明不等式

4.用数学归纳法证明各++…+高＞l(n£N+),在验证n=l时，左边的代数式为

x

)

^

11

A-+-B

c34

D.1

5.对于不等式gi2+n<n+l(n£N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当n=l时,不等式成立.

(2)假设当n=k(k21且k£N+)时，不等式成立，即《修+k<k+l,

贝!J当n=k+l时,J(k+1)2+(k+1)

=加+3k+2</(k2+3k+2)+k+2

=J(k+2)2=(k+l)+l,

所以当n=k+l时,不等式成立.

则上述证法()

A.过程全部正确

B.n=l验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+l的推理不正确

6.用数学归纳法证明“l+g+$…+/Fn(n£N+,n>l)”的过程中，从n=k(k£N+,k>l)

到n=k+l时，左边增加的项数为()

A.kB.2k

C.2k-1D.2kl

7•用数学归纳法证明:中沙…+福广母净…+Ar如£N+).

题组三归纳一猜想一证明解决与递推公式有关的数列问题

8.（2021江西上饶月考）已知数列｛aj的前n项和为Sn,a2=14,且an=Q+

n

ijSn-2-'（neN+）.

⑴求兴祟畜

⑵由⑴猜想数列甥的通项公式，并用数学归纳法证明.

9.（2021陕西西安铁一中学期末）在数列｛aj中向］吊+产居.

ZQ九十3

(1)求出a2,a3,并猜想｛an｝的通项公式;

(2)用数学归纳法证明⑴中的猜想.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2.

2.C当11=1<(1<£弗,101)时,左边=1+2+3+-+(21<+1),当n=k+l时，左边

=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选C.

3.证明⑴当n=2时，左边=1-二,右边=四=三,等式成立.

442x24

⑵假设当n=k(k22,k£N+)时，等式成立，

即(1-9(1-3°一讣…、(1-3号

那么当n=k+l时，

V4/\9/V16/\k2JL(k+l)2」2k

4]=空・㈡=*=空上即当n=k+i时,等式也成立.

(k+l)2」2k(fc+1)22(k+l)2(/c+l)

综合⑴(2)知,对任意n22,n£N+等式恒成立.

4.A

5.D在n=k+l时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法.

6.B由题意知，当n=k(k£N+,k>D时，左边=1+、[+…+白,当n=k+l时，左边

=1+J+3+―+白+：+]-+—+^^,所以从n=k至IIn=k+l时，左边增加的项数为

232fe-l2k2fe+l2k+1-l

(2k+1-l)-(2k-l)=2k.

7.证明⑴当n=l时，左边=1,右边=1-三,左边〉右边，所以不等式成立.

⑵假设当n=k(k£N+)时,不等式成立，

111-11111

即RM一+—+•••+--->1-+--+…+——.

I232(251)22342k-l2k

则当n=k+l时，

1111

一十—+・・・+---+-----

I2323-1)2(2k+l)2

>.1-ITl-l-+・・・+1—1—+---1----

2342/c-l2k(2M)2

>.1111•••H-1---.1--1-----1--------

2342/c-l2k(2k+l)(2A+2)

11

2(fc+l)-l2(A+1)'

即当n=k+l时，不等式也成立.

由⑴⑵知,不等式对任何n£N+都成立.

8.解析⑴：an=(；+：)Sn-2n」(neN+),

当n=l时,ai=Si=(；+解得Si=2,则3=1;

当n=2时.,a2=C+%2-2=14,解得S2=16jij^=4;

当n=3时.,a3=S3-S2=(；+3s3-22,解得S3=72,则>9.

(2)由⑴猜想数歹唱｝的通项公式为>叭!1£N+).

用数学归纳法证明如下：

①当n=l时，由⑴可得;=1,结论成立.

当n=2时，由⑴可得包=4,结论成立.

4

②假设当n=k(k£N+,k22)时,$k2,

则当n=k+l时.,ak+i=Sk+i-Sk=(；+W)Sk+i-2k+i”,

即)Sk+i=Sk-2k=2卜・k2-2k=(k2-l)•2k,

则就Sk+i=(k+l)(k-l)•2k.

因为k22,所以Sk+i=2(k+l>・2k=(k+l>・2k+1,

即黑=(k+lE

所以当n=k+l时,结论也成立.

由①②可知，对任何11£^,包=112恒成立.

9.解析⑴:ai=；an+1

2an+3

猜想：a=—(nGN+).

nn+5

⑵证明:①当n=l时,ai=W=上,猜想成立，

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