2021新高考二轮复习·数学第二编 七 规范答题系列六

规范答题系列六

概率与统计类解答题

例

(12分)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态

分布N(100,17.52),数学成绩的频率分布直方图如下:

(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀

的学生大约各多少人？

(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；

(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随

机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有^人，求^的分布列和数学期望.

参考公式及数据：

若X〜，rr),贝1JP(ju-+a)=0.68,P(ju-+2(r)=0.96,P("

~3cr<XW〃+3cr)=0.99.

解题思路第(1)问，根据正态分布及频率分布直方图可以得出英语成绩和数

学成绩特别优秀的概率，从而求得结果；第⑵问，根据正态分布可得英语的平均

成绩，根据频率分布直方图可得数学的平均成绩，即可得结论；第⑶问，写出4

的所有可能取值，分别计算其概率，写出分布列，计算数学期望即可.

解(1)因为英语成绩服从正态分布M100,17.52),

所以英语成绩特别优秀的概率

Pl=P（X2135）=（1-0.96）x1=0.02,（2分）

由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率

3

P2=0.0016X20X-=0.024,

所以英语成绩特别优秀的学生大约有500X0.02=10人，

数学成绩特别优秀的学生大约有500X0.024=12A.（4分）

（2）本次考试英语的平均成绩为100分，

数学的平均成绩为60X0.16+80X0.168+100X0.48+120X0.16+

140X0.032=94.72分，因为94.72<100,所以本次考试英语的平均成绩较高.（6

分）

（3）英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，f

可取的值有0,1,2,3,（7分）

所以P（4=0）=错误！=错误！，尸4=1）=错误！=错误！，

尸（。=2）=错误！=错误！，P（4=3）=错误！=错误！，（9分）

故^的分布列为

0123

327151

r

14565628

（10分）

3271519

E（a=0X-+lX^+2X-+3X^=g.

3X69

或因为《服从超几何分布，所以石©=1-=杀（12分）

踩点得分

1.根据正态分布计算出英语成绩特别优秀的学生人数给2分.

2.根据频率分布直方图计算出数学成绩特别优秀的学生人数给2分.

3.计算出数学的平均成绩，并与英语平均成绩相比较给2分.

4.正确写出^的所有可能取值给1分.

5.求出随机变量对应的概率值给2分，每个0.5分.

6.写出随机变量的分布列给1分.

7.根据公式求出数学期望值给2分.

答题启示

1.求解正态分布问题的关键：一是〃，片所反映的变量的特征，二是正态曲

线的对称性.

2.由频率分布直方图求解数值时，要注意纵轴表示的是频率/组距.

3.求分布列要先确定离散型随机变量的可能取值，然后分别求出每个取值对

应事件的概率，最后列出分布列的表格，切忌直接列出分布列，痛失步骤分.

［跟踪训练］

（2020•河北省张家口高三5月模拟）（12分）2019年第十三届女排世界杯共12

支参赛球队，比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行U场比赛，最后靠积分

选出最后冠军.积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3-0或3-1取

胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1

分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队

积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为

p（0<p<l）.

（1）第10轮比赛中，记中国队3-1取胜的概率为加），求加）的最大值点P。；

（2）以⑴中的加作为2的值.

①在第10轮比赛中，中国队所得积分为求g勺分布列;

②如果第10轮中国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过

后，无论最后一轮即第U轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概

率；若不能，请说明理由.

解⑴%）=C/（l-p）=3p3（「p）.（l分）

因此，（/?）=3［3p2（l-夕）+必-1）］=322（3-4p）.（2分）

令f（P）=0,得"=|,当"（o,D时，/'（P）＞0,加）在（0,|）上为增函数；

当p£住,1）时,/⑦）＜0,加）在修，1）上为减函数（4分）

所以加）的最大值点po=*（5分）

（2）由⑴知遇.

①珀勺可能取值为3,2,1,0.

尸（。=3）=（1）3+需）彳1一（|=鬻（6分）

Pg=2）=端）［1—1）2=衰,（7分）

P4=1）=C（1—护|/=皂,（8分）

PG=0）=（1-+c（i-|）3x|=枭9分）

所以4的分布列为

3210

189812713

P

256512512256

（10分）

②