2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2 . 2 空间向量的运算

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

2.2空间向量的运算

第1课时空间向量的加减法与数乘运算

基础过关练

题组一空间向量的加减法

1.（2022天津外国语学校月考）空间任意四个点A,B,C,D,则瓦^而-而等于

（）

LDBB.AD

C.DAD.XC

2.（多选）在正方体ABCD-ABCD中，下列各式运算的结果为温的有（）

A.AB+BC+CDB.AA^+B^+D^

C.AB-QC+B^D.AA^+DC+B^

3.已知正方体ABCD-A.BiCiD,的棱长为1,设荏=a,BC=^,砧3c,贝！J|a+b+c|=（）

A.0B.3C.2+V2D.2近

4.（2021湖南长沙雅礼教育集团期中）直三棱柱ABC-ABG中,若

cX=a,CB=Y）,CC；=c,则54；=（用a,b,c表示）.

题组二空间向量的数乘运算

5.（2021北京八一学校期中）已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则族-

!®+AD）=（）

X.BDB.丽

C.-BDD.-DB

22

6.（2021宁夏长庆高级中学期中）在平行六面体ABCD-ABCD中,M为AC与BD的

交点,若硒％,而小,^A=c,则下列向量中与瓦M相等的向量是（）

A.--a+-b+cB.-a+-b+c

2222

C.-a--b+cD.--a--b+c

2222

7.（2022辽宁大连康考迪亚高级中学月考）如图,在长方体ABCD-ABCD中,P是

线段DB上一点，且BP=2DR^DP=xAB+yAD+zAA^,则x+y+z=()

A4

A.-B.-

33

c4D.1

8.化简日(a+2b-3c)+5(|a[b+|c)-3(a-2b+c)=.

题组三共线向量基本定理

9.已知向量a,b,且荏=a+2b,玩=-5a+6b,丽=7a-2b,则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

10.（2021山东济宁曲阜第一中学月考）已知A,B,C三点不共线,对空间内任意一

点0,若灰泅+矮+河,贝！JP,A,B,C四点（）

488

A.不共面

B.共面

C.不一定共面

D.无法判断是否共面

11.（2022广东深圳华侨城中学月考）设e1,e2是空间两个不共线的向量，已知

荏=e1+ke2,BC=5eMe2,DC=-ex-2e2,且A,B,D三点共线，则实数k=.

第2课时空间向量的数量积

基础过关练

题组一数量积的概念及运算律

1.（2021天津五十五中月考）下列说法错误的是（）

A.设a是空间向量,则a2=|a|2

B.设a,b是两个空间向量,则a•b=b•a

C.设a,b是两个非零空间向量，则（a-b）2=a2-b2

D.设a,b,c是三个空间向量，则a,（b+c）=a,b+a,c

2.（2022辽宁沈阳郊联体月考）已知正四面体ABCD的棱长为1,且

AE=2EB,AF=2FD,则前・DC=（）

2「1c1、2

AA.—B.—C.——D.—-

3333

3.（多选）（2021辽宁盘锦第二高级中学阶段性考试）设几何体ABCD-ABCD是棱

长为a的正方体,则以下结论正确的有（）

A.AB・Z\A=-a2B.AB・A^=42a

C.BC・^D=a2D.AB•C^=a

4.（2020福建三明一中月考）直三棱柱ABC-ABG的底面是边长为2的正三角形,

侧棱长为3,M,N分别为AC,BC的中点,则福•丽=（）

A.2B.-2C.V10D.-V10

5.（2020云南昆明第一中学期末）已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则（a4-

［匕）•b=.

题组二空间向量的数量积的应用

6.已知空间向量a,b,|a|=l,|b1=V2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

7.（2021江苏南京第十四中学调研）若四面体OABC的四个面均为等边三角形,则

cos<OA,'BC>=（）

A.iB.—C.--D.0

222

8.已知空间向量a,b,|a|=3/，|b|=4,m=a+b,n=a+入b,<a,b>=135°,m_Ln,贝!J

入=.

9.在平行四边形ABCD中，AD=4,CD=3,ZD=60°,PAJ_平面ABCD,PA=6,则PC的长

为.

10.（2021山东德州夏津第一中学月考）如图，已知在平行六面体ABCD-ABCD

中,AB=2,AA尸3,AD=1,且NDAB=NBAA尸NDAA百

（1）求BJ）的长；

（2）求E与瓦3夹角的余弦值.

能力提升练

题组空间向量的数量积的应用

1.已知空间向量a+b+c=O,|a|=2,|b|=3,）c|=4,则cos<a,b>=（）

1111

A.-B.iC.--D.i

2324

2.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足荏•尼=0,获«同=0,而•而=0,

则ABCD一定是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

3.（2021江苏南京期中）如图,在三棱柱ABC-AEG中,BG与B,C相交于点

0,NAiAB=NAAC=60°,ZBAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,贝峨段AO的长度为（）

A.经B.V29CD.V23

22

4.（2022辽宁营口第二高级中学月考）已知MN是长方体ABCD-ABCD外接球的一

条直径，点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别是1,1,V2,则再祈,丽的

取值范围为（）

r1「31

A.B.--,0

ri「31

C.--,1D.--,1

24

5.（2021山东滨州博兴第三中学月考）已知空间向量m,n,设|m|=l,|n|=2,2m+n与

m-3n垂直，a=4m-n,b=7m+2n,则<a,b>=

6.已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=l,〈a,b>=60°,则使向量a+入b与入a-2b的夹

角为钝角的实数人的取值范围是.

7.（2022安徽无为华星学校月考）如图,二面角a-1-p为135°,A£a,BQB,

过A,B分别作1的垂线,垂足分别为C,D,若AC=1,BD=V2,CD=2,则AB的长度

为.

8.如图所示，四边形ABCD是矩形,EF〃AB,AB=4,EF=2,AADE和ABCF都是边长为

2的等边三角形,G是AD上一动点,求FG的长度的范围.

EF

AR

答案与分层梯度式解析

第1课时空间向量的加减法与数乘运算

基础过关练

1.CBA+CB-CD^CB+'BA-CD^-CD=DA.故选C.

2.BCDA.AB+'BC+CD=AD^ACi;

B.AA^=AA^—A;

C.荏-或+B1。；=荏+鬲+/。；=荏+西+B1。；=温;

D.AA[+'DC+B^=AAi+A^Bi+B^=ACi.故选BCD.

3.D|a+b+c|=|AB+'BC+A^\=\AC+A^i\=2\AC\=2^2.故选D.

4.答案a-b+c

解析BA^^BA+AA^=BC+Z\4+CC[=~CB+CA+CC1=-b+a+c=a-b+c.

5.D如图，取CD的中点F,连接AF,EF,

•・•三棱锥A-BCD中,E是BC的中点，

AE-^(AC+AD)=AE-AF=FE=^DB,故选D.

c

6.A如图，连接BD.

。|c

u

A/?

BM=BB+BM=AA+^BD=AA+^BD=c+^(AD~ABy-111

111111111i二c+-2(b-a)2=-2a+-b+c,故

选A.

7.B由题意得*三仄面

所以而=西+印=西+：第=西+：(丽-西)=|西一-(DA+AB)=^AB-

33

1-->2--->

V+依，

又加X荏+y而+z河,福AD,西不共面，

所以x=1,y=-|,z=|,

所以x+y+z=|.故选B.

8.答案沁春

解析原式,a+b-2c+Ua-gb+Uc-3a+6b-3c

22323

=f-+—-3)a+(l--+6)b+(--+--3)c

\237k2)23

=-a+-b--c.

626

9.A因为前+而丽=2a+4b=2(a+2b)=2福

所以A,B,D三点共线.

10.B因为前次巧砺+［记

所以8OP=6OA+OB+OC,

即6(OP-OA)=(OB-OP)+(OC-OP),

即6AP=PB+PC,

即而』丽+工丽.

66

故P,A,B,C四点共面,故选B.

11.答案1

解析：A,B,D三点共线，.•.荏和丽共线,故存在实数入，使荏=X丽，由题意

故塔

^BD=BC+CD=(5ei+4e2)+(ei+2e2)=6(ei+e2),即ei+ke2=6入e1+6入e2,

得卜》

Ik=1.

第2课时空间向量的数量积

基础过关练

1.CaJ|a|2cos0=|a|：故A中说法正确；

由向量数量积的运算律知B,D中说法正确；

设a,b的夹角为。，则(a•b)J(|a||b|cos6)2=|a|2|b|2cos26Wa?•b2,故C

中说法错误.

2.C由题意得加=|丽，ZBDC=60°,所以

EF•~DC^-BD-DC^-X1X1Xcos(180°-60°

333

故选c.

3.AC如图所示,在正方体ABCD-ABCD中，

对于A,手在前方向上的投影数量为-a,

.'.AB,G_A=-a；故A正确；

对于B,不B在南方向上的投影数量为a,

：.AB•而=a2,故B错误；

对于C,硕在前方向上的投影数量为a,

：.BC•乖=a?,故C正确；

对于D,**在万方向上的投影数量为一包

：.AB•不;=一22,故D错误.

故选AC.

4.B由题意得AA」AB,|荏|=2,所以河•荏=0.

因为M,N分别为A£,BC的中点，

所以府=京+萍,AN=^AB+^AC,

所以荏•'NM=AB•(AM-AN)=AB•(AA^+^AC-^AB-^AC^=AB-AA^-

-AB2=0-2=-2.

2

5.答案0

解析..ab是单位向量，.・.a2=b2=L

Ia|=|a+b|,a2+2a•b+£=1,故a•b=-|,

(a+-b]•b=a•b+-b2=--+-=0.

\27222

6.Da-b与a垂直，...(a-b),a=0,

a,a-a,b=|a|2-1a||b|cos<a,b>=l-lXV2Xcos<a,b>=0,cos<a,b>=-^-.

V0°W〈a,b>W180°,，<a,b>=45°.

7.D设四面体OABC的棱长为a.

因为说=觉-砺，

所以瓦彳•'BC=OA•(OC-OB)=0A•OC-OA-OB=aJ,cospa?.cos^=0,

所以cos<OA,前〉一竺•丝••=().

\OA\\BC\

8.答案-|

解析由m_Ln得(a+b),(a+入b)=0,即a?+(1+入)a•b+入bW),所以

18+(1+X)X3V2X4Xcos135°+16入=0,即2入+3=0,解得人=一|.

9.答案7

解析^PC=PA+AD+DC,

所以

~PC2=(PA+AD+DC)2=\PA\2+\AD\2+\DC\2+2PA・AD+2PA•DC+2AD・DC=62+42+

32+2|ZD|・I瓦|COS120°=61T2=49,所以|而|=7.

10.解析(1)由题可矢口,B^=B^B+'BA+AD=AD-AB-AAi，那么瑜2=(而_荏_

初产而2+荏2+矶a.2而,万一2而•AA^+2AB-A47=l2+22+3-

2X(1X2+1X3-2X3)x|=15,

因此BJ)的长为危.

(2)连接AB由题知,也=西=矶-福

=J32+22-2X3X2X|=V7,

所以E・B^D=(AAi-AB)・(AD-AB-AA1)=AD•AA^-AD-AB+AB2-

ZT2=1X3X--1X2Xi+2-32=--,

1222

匚UI、I/心r\>r>r\\CD1,%D3A/105

所以COS<CD1,B1D〉—―------.

11|CDi||81D|V7XV1570

能力提升练

1.DVa+b+c=0,/.a+b=-c,

/.(a+b)2=|a12+1b12+2a,b=|c|',

a-b_l

:.a•b=|,/.cos<a,b>='

W\b\4

故选D.

2.B因为痛・AC=0,AB・AD=0,AC•AD=0,

所以瓦•BD=(AC-AB)・(AD-AB)=AC-AD-AC•AB-AB•AD+AB2=AB2>Q,

所以cosB熹黑>0,故NB是锐角，

同理而♦CD>0,DC•DB>0,可得NC,ZD都是锐角，故ABCD是锐角三角形，故选

B.

3.A•.•四边形BCCB是平行四边形,

丽三西屈+西）,

-------»------>-------»------>1------>1--------

40=4B+B。=BC+

221

1，一>1......>1一一）

『c+次+出，

2

22

VZAlAB=ZAIAC=60°,ZBAC=90°,\A=3,AB=AC=2,：.AB=AC=4,AAi=9,AB•

AC=0,

AB•AA^=AC・祝=2X3义cos60°=3,

：.AO2=^(AB+AC+

Z4^)2=J(AB2+AC2+AAf+2AB•AC+2AB•AA^+2AC•汨)哼

A\A0\爸,即AO爸.故选A.

4.B连接DBb则DB,是长方体外接球的一条直径.

因为MN是长方体外接球的一条直径,

所以不妨令M与D重合,N与R重合，

则外接球的直径为41+1+2=2,半径为1.

设长方体外接球的球心为0,则

PM•PN=(PO+OM)•(PO+ON)=(PO+OM)•(PO-OM)=\PO\2-\OM\2=\PO\2-1.

因为点P在长方体表面上运动,所以|时程,1],所以|砌2寸,1],

所以|对「-I斗为].故选B.

L4

5.答案0°

解析,/(2m+n