山东省济南市第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGEPAGE24山东省济南市第一中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题留意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题共70分）一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．直线的倾斜角()A． B． C． D．2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)3．在四面体中，为中点，，若，，，则（）A． B．C． D．4．设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的肯定值等于8,则曲线的标准方程为（）A． B． C． D．5.万众瞩目的北京冬奥会将于2024年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA. B. C. D.6．设，向量且，则（）A． B． C．3 D．47.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．8.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9.已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．10．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（）A． B． C． D．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）11．圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为B．线段AB中垂线方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为12．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点13．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角为C．平面D．直线与平面所成的角为14.已知实数，满意方程，则下列说法错误的是（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最大值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15.双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______.16．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________.17．若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．18．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________________________．解答题（本小题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题10分）若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.（本小题10分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.(1）求双曲线的方程；(2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.21.（本小题12分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于､两点，假如，求.22.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.23.（本小题14分）已知椭圆左、右焦点为、，，若圆方程，且圆心满意.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，过与垂直的直线交圆于两点，为线段中点，求的面积的取值范围.济南市第一中学2024-2025学年度上学期期中试题（一）高二数学留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．直线的倾斜角()A． B． C． D．【答案】A【解析】可得直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又∵∴2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)D解析：由题意可知，直线l的方程为y＝eq\r(3)x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，半径R＝2.圆心(0，2)到直线eq\r(3)x－y＝0的距离d＝eq\f(2,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝1，所以弦长l＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(3).3．在四面体中，为中点，，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．【详解】解：依据题意得，，，，故选：．【点睛】本题考查空间向量基本定理的简洁应用以及向量的线性运算，属于基础题．4．设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的肯定值等于8,则曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，所以，又因为椭圆的离心率为，所以，因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的肯定值等于8，所以，所以曲线的标准方程为.故选：A5.万众瞩目的北京冬奥会将于2024年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意先求大椭圆离心率为，依据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为，再依据小椭圆的短轴长为10cm，代入公式即可得解.【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.6．设，向量且，则（）A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】，，，7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以.故选：A8、.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.9.已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则A、B在直线的异侧或在直线上，则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故选C．10．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，设平面PEF的法向量，则，取得，设平面与平面所成角为，则多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线方程为B．线段AB中垂线方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径，所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD12．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满意，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.13．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角为C．平面D．直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】解：对于A，故三棱锥的体积为定值，故A正确对于B，，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误对于C，若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为则，即令，则所以直线与平面所成的角为，正确14.已知实数，满意方程，则下列说法错误的是（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】CD【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分15.双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；详解】由题意得：，双曲线的方程为，故答案为：.16．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________．【答案】【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，所以，，，设平面的法向量为，则令，则，所以平面的一个法向量．点到平面的距离为，17．若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.18．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________________________．18.(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)．又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2|a|),2)＝|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(|2a－3|),2)，所以d2＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(6),2)＝r2，即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(（2a－3）2),2)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3),2)＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题10分）若直线的方程为.（1）若直线与直线垂直，求的值；（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.【解析】解：（1）直线与直线垂直，，解得．（2）当时，直线化为：．不满意题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．直线在两轴上的截距相等，，解得：．该直线的方程为：，．20.（本小题10分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.【解析】（1）设所求双曲线方程为代入点得，即所以双曲线方程为，即.（2）.直线的方程为.设联立得满意由弦长公式得点到直线的距离.所以21.（本小题12分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于､两点，假如，求.【解析】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，，即，解得，故直线的方程为，代入